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2019 | Buch

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

In 60 fachübergreifenden Vorlesungen präsentiert

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch präsentiert in 60 Kapiteln (Vorlesungseinheiten) eine Fülle interessanter ökonomischer Problemstellungen, die mathematisch ausführlich unterlegt werden. Die Gliederung ist sehr benutzerfreundlich sowohl für Studierende als auch für Lehrende und eignet sich gut für einen kompletten Vorlesungszyklus. Jedes Kapitel, das einer anderthalbstündigen Vorlesung entspricht, ist aufgeteilt in die drei Abschnitte Ökonomische Fragestellung – Mathematisches Modell – Schlussfolgerungen und Fazit. Die Beispiele kommen aus wichtigen Teilgebieten der Wirtschaftswissenschaften wie z.B. Mikro- und Makroökonomie, Marketing, Finanzwesen, Big Data Analytics, Controlling, Ökonometrie, internationaler Handel, Wirtschaftspolitik, Kundenmanagement. Das didaktische Konzept fußt auf dem Prinzip der Interdisziplinarität. Das Wechselspiel wirtschaftswissenschaftlicher Fragestellungen und mathematischer Methoden zeichnet dieses Lehrbuch in besonderer Weise aus. Zur primären Zielgruppe gehören angehende Wirtschaftswissenschaftler und -informatiker, die sich eine mathematische Grundausbildung aneignen möchten. Wegen der Vielzahl der betrachteten Modelle ist das Buch auch für ökonomisch interessierte Mathematiker und generell für mathematisch-ökonomisch Interessierte sehr nützlich.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

Frontmatter
Kapitel 1. Aussagen

Mathematische Aussagen und ihre logischen Verknüpfungen werden behandelt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Abwertung der heimischen Währung und der Höhe der Exportgeschäfte?

Vladimir Shikhman
Kapitel 2. Mengen

Mengen und Relationen werden behandelt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Spiegeln experimentelle Auswahlergebnisse einen in sich konsistenten Entscheidungsprozess wider?

Vladimir Shikhman
Kapitel 3. Abbildungen

Abbildungen und ihre elementaren Eigenschaften werden behandelt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden Fragestellung vermittelt: Welche Zuordnungen sind aus ökonomischer Sicht stabil, sodass jeder Beteiligte sich angemessen behandelt fühlt?

Vladimir Shikhman
Kapitel 4. Zahlen

Zahlenbereiche werden eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie können Gerechtigkeitsvorstellungen gemessen und erklärt werden?

Vladimir Shikhman
Kapitel 5. Vollständige Induktion

Das Prinzip der vollständigen Induktion wird erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie sind die Stimmenanteile der Länder je nach ihrer Bevölkerungsgröße so festzulegen, dass die individuelle Einflussnahme der Bürger verschiedener Länder gleich ist?

Vladimir Shikhman

Lineare Algebra

Frontmatter
Kapitel 6. Vektoren

Die Vektorrechnung wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie lässt sich Inflation und Volatilität aus beobachtbaren Preisentwicklungen herleiten?

Vladimir Shikhman
Kapitel 7. Matrizen

Die Matrizenrechnung wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie sieht die zusammengesetzte TechnologieTechnologie aus, die Rohstoffe über Zwischenprodukte direkt in Endprodukte überführt?

Vladimir Shikhman
Kapitel 8. Lineare Gleichungssysteme

Die Lösung linearer Gleichungssysteme mittels des Gauß-Algorithmus wird erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Aus welchen Lebensmitteln muss eine Ration bestehen, um vorgegebene Ernährungsstandards zu gewährleisten?

Vladimir Shikhman
Kapitel 9. Rang

Der Rangbegriff einer Matrix wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie viele Merkmale gehen in die Bewertung der Filme durch die Nutzer ein?

Vladimir Shikhman
Kapitel 10. Inverse Matrix

Der Begriff der inversen Matrix wird diskutiert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Welchen Konsum kann man durch die Güterproduktion sicherstellen, wenn man den dafür benötigten Eigenverbrauch berücksichtigt?

Vladimir Shikhman
Kapitel 11. Determinante

Die Berechnungsvorschrift für die Determinante einer Matrix wird dargestellt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie schnell wächst bzw. schrumpft die Produktion im Vergleich zu den dafür eingesetzten Gütern?

Vladimir Shikhman
Kapitel 12. Polynome

Polynome werden besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie bestimmt man die Rendite einer Anleihe?

Vladimir Shikhman
Kapitel 13. Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Begriffe der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix werden eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel des Google-Problems vermittelt.

Vladimir Shikhman
Kapitel 14. Definitheit

Die Definitheit einer Matrix wird eingeführt und erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie wirken die Preiseffekte auf das Güterangebot ein?

Vladimir Shikhman

Analysis

Frontmatter
Kapitel 15. Folgen I

Der Begriff einer Folge wird definiert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie lässt sich die demografische Entwicklung modellieren und prognostizieren?

Vladimir Shikhman
Kapitel 16. Folgen II

Die Konvergenz von Folgen wird untersucht. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Auf welche Art und Weise werden Zinsen berechnet?

Vladimir Shikhman
Kapitel 17. Reihen I

Der Begriff einer Reihe wird definiert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: In welchem Maße verändert sich das Bruttoinlandsprodukt durch Staatsausgaben?

Vladimir Shikhman
Kapitel 18. Reihen II

Die Konvergenz von Reihen wird untersucht. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Nach welchem Muster werden Kunden voneinander angeworben?

Vladimir Shikhman
Kapitel 19. Logarithmus- und Exponentialfunktion

Die Logarithmus- und Exponentialfunktion werden eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie hängen psychische Reaktionen von physischen Stimuli ab?

Vladimir Shikhman
Kapitel 20. Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen werden eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie können konjunkturelle Schwankungen vorhergesagt werden?

Vladimir Shikhman
Kapitel 21. Grenzwert

Grenzwerte von Funktionen werden besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Inwiefern wirken sich Wahrnehmungsfehler auf das Kundenverhalten aus?

Vladimir Shikhman
Kapitel 22. Stetigkeit

Stetige Funktionen werden behandelt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Unter welchen Bedingungen existieren Gleichgewichtspreise?

Vladimir Shikhman

Differenzialrechnung

Frontmatter
Kapitel 23. Ableitung

Der Ableitungsbegriff einer Funktion wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie wirkt sich die Änderung einer unabhängigen Variablen auf die davon abhängige Größe aus?

Vladimir Shikhman
Kapitel 24. Kurvendiskussion

Der Ableitungsbegriff wird bei die Kurvendiskussion einer Funktion angewandt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Nach welchem Muster werden Gütermärkte gesättigt?

Vladimir Shikhman
Kapitel 25. Regel von de l’Hospital

Die Regel von de l’Hospital wird erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie lassen sich die Beziehungen zwischen den Inputs und dem daraus ergebenden Output innerhalb der Produktionstheorie darstellen?

Vladimir Shikhman
Kapitel 26. Gradient

Der Ableitungsbegriff wird auf die Funktionen mehrerer Veränderlicher verallgemeinert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie ändert sich der Output, wenn man alle Inputs im Produktionsprozess simultan ändert?

Vladimir Shikhman
Kapitel 27. Hesse-Matrix

Der Begriff einer Hesse-Matrix von Funktionen mehrerer Veränderlicher wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie lautet das Gesetz vom abnehmenden Grenznutzen im Fall mehrerer Konsumgüter?

Vladimir Shikhman
Kapitel 28. Taylor-Formel

Die Taylor-Formel wird hergeleitet. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie ist das Zinsänderungsrisiko einer Investition abzuschätzen?

Vladimir Shikhman
Kapitel 29. Kettenregel

Die mehrdimensionale Kettenregel wird hergeleitet. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie skaliert sich der Output bzgl. der dafür eingesetzten Produktionsfaktoren?

Vladimir Shikhman
Kapitel 30. Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme wird präsentiert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie berechnet man die Renditen unterschiedlicher Finanzprodukte?

Vladimir Shikhman
Kapitel 31. Implizite Funktion

Der Satz über die implizite Funktion wird für den zweidimensionalen Fall erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie lassen sich die Produktionsfaktoren Kapital und Arbeit gegeneinander substituieren, sodass die Ausbringungsmenge sich nicht ändert?

Vladimir Shikhman
Kapitel 32. Sensitivitätsanalyse

Der Satz über die implizite Funktion wird für den mehrdimensionalen Fall erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie entwickeln sich das Bruttoinlandsprodukt und der Zinssatz, wenn man Staatsausgaben, Geldmenge bzw. Steuern ändert?

Vladimir Shikhman

Integralrechnung

Frontmatter
Kapitel 33. Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral wird besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie hoch ist die Tagesleistung einer Arbeitskraft, wenn man eine typische m-Arbeitskurve zugrunde legt?

Vladimir Shikhman
Kapitel 34. Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral wird besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie wird der Ertrag aus seinem Grenzertrag ermittelt?

Vladimir Shikhman
Kapitel 35. Flächeninhalt

Die Berechnung der Flächeninhalte mittels bestimmter Integrale wird erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie fasst man die Einkommensungleichheit kenntlich zusammen?

Vladimir Shikhman
Kapitel 36. Uneigentliches Integral

Uneigentliche Integrale werden besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie lässt sich die Lebensdauer eines technischen Systems schätzen?

Vladimir Shikhman
Kapitel 37. Parameterabhängiges Integral

Parameterabhängige Integrale werden besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie lassen sich die oben beschriebenen Obsoleszenzeffekte in einer Ökonomie gesamtwirtschaftlich quantifizieren?

Vladimir Shikhman

Optimierung

Frontmatter
Kapitel 38. Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien für unrestringierte Optimierungsprobleme werden formuliert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie berechnet man die gewinnmaximierende Kombination der Produktionsfaktoren in einem Unternehmen?

Vladimir Shikhman
Kapitel 39. Ausgleichsrechnung

Grundlagen der Ausgleichsrechnung werden besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie werden die Modellparameter anhand statistischer Daten optimal geschätzt?

Vladimir Shikhman
Kapitel 40. Multiplikatorenregel von Lagrange

Die Multiplikatorenregel von Lagrange wird formuliert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Welche Konsumstruktur wird durch die Nutzenmaximierung generiert?

Vladimir Shikhman
Kapitel 41. Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen

Die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen werden formuliert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie konstruiert man ein Portfolio mit dem minimalen Risiko, welches eine vorgegebene erwartete Rendite garantiert?

Vladimir Shikhman
Kapitel 42. Umhüllungssatz

Der Umhüllungssatz wird präsentiert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Welchen Effekt hat die Änderung der Güterpreise und des Mindeststandards auf die Ausgabenfunktion?

Vladimir Shikhman
Kapitel 43. Lineare Optimierung

Die Grundlagen der linearen Optimierung werden dargelegt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie begründet man die Vorteilhaftigkeit des internationalen Handels?

Vladimir Shikhman
Kapitel 44. Dualität

Die Dualität der linearen Optimierung wird erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Auf welche Art und Weise ordnet man den Wirtschaftsobjekten Werte zu?

Vladimir Shikhman
Kapitel 45. Komplementarität

Die Komplementarität der linearen Optimierung wird erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie werden knappe Ressourcen dafür verwendet, die Wohlfahrt der Marktteilnehmer zu maximieren?

Vladimir Shikhman

Spieltheorie

Frontmatter
Kapitel 46. Maximin-Lösung

Nullsummenspiele und zugehörige Miximin-Lösungen werden untersucht. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Warum kommt es zur geografischen Konzentration ökonomischer Aktivitäten?

Vladimir Shikhman
Kapitel 47. Nash-Gleichgewicht

Das Konzept des Nash-Gleichgewichts wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie kann man den stabilen Marktzustand eines Oligopols beschreiben?

Vladimir Shikhman
Kapitel 48. Shapley-Wert

Das Konzept des Shapley-Werts wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie kann man die Abstimmungsmacht politischer Akteure bei der Mehrheitsfindung abschätzen?

Vladimir Shikhman
Kapitel 49. Pre-Kernel

Das Konzept des Pre-Kernels wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Nach welchem Prinzip soll man das Schuldnervermögen so unter den Gläubigern aufteilen, dass ihren Forderungen zwar nicht gänzlich entsprochen wird – sie zumindest in das Insolvenzverfahren einbezogen werden?

Vladimir Shikhman

Dynamische Systeme

Frontmatter
Kapitel 50. Separation der Variablen

Die Separation der Variablen zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen wird erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie verläuft die Ausbreitung von Innovationen?

Vladimir Shikhman
Kapitel 51. Variation der Konstanten

Die Variation der Konstanten zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen wird erläutert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie sieht die zeitliche Entwicklung wichtiger makroökonomischer Größen (wie Preisniveau, Staatsschuld, Budgetdefizit und Zinssatz) in gegenseitiger Abhängigkeit aus?

Vladimir Shikhman
Kapitel 52. Gleichgewichte

Der Begriff eines Gleichgewichts gewöhnlicher Differentialgleichungen wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wird das langfristige Wirtschaftswachstum in einer Volkswirtschaft überwiegend durch den technischen Fortschritt oder den steigenden Einsatz von Kapital und Arbeit hervorgerufen?

Vladimir Shikhman
Kapitel 53. Linearisierung

Die Linearisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen um eines ihrer Gleichgewichte wird diskutiert. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie sehen periodische Schwankungen der Beschäftigungs- und Lohnentwicklung aus?

Vladimir Shikhman
Kapitel 54. Stabilität

Die Stabilität der Gleichgewichte gewöhnlicher Differentialgleichungen wird untersucht. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Welche Preisanpassungen führen zu Gleichgewichtspreisen und stabilisieren somit die Gütermärkte?

Vladimir Shikhman

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Frontmatter
Kapitel 55. Diskrete Zufallsvariablen

Diskrete Zufallsvariablen werden behandelt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Ist die Wahrscheinlichkeit, eine in der Sache richtige Entscheidung zu treffen, in einer Demokratie oder in einer Autokratie höher?

Vladimir Shikhman
Kapitel 56. Stetige Zufallsvariablen

Stetige Zufallsvariablen werden behandelt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie kann man auf die Zeit zwischen zwei Kundenankünften schließen?

Vladimir Shikhman
Kapitel 57. Korrelation

Die Korrelation von Zufallsvariablen wird definiert und ihre Eigenschaften werden hergeleitet. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie wirkt sich die Diversifikation auf das Risiko eines Portfolios quantitativ aus?

Vladimir Shikhman
Kapitel 58. Bayes-Formel

Die Bayes-Formel wird besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie schließt man anhand von Testmessungen auf Defekt bzw. Funktionsfähigkeit eines Produktes?

Vladimir Shikhman
Kapitel 59. Zentraler Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz wird besprochen. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie kann man den Aktienkurs unter Einbeziehung vorhandener Statistiken prognostizieren?

Vladimir Shikhman
Kapitel 60. Markow-Kette

Das Konzept einer Markov-Kette wird eingeführt. Der Stoff wird am Beispiel der folgenden ökonomischen Fragestellung vermittelt: Wie kann man die Markentreue der Kunden als Ergebnis eines Kaufprozesses bestimmen?

Vladimir Shikhman

Klausuraufgaben mit Lösungen

Frontmatter
Kapitel 61. Grundlagen

Aufgaben zum Thema Grundlagen.

Vladimir Shikhman
Kapitel 62. Lineare Algebra

Aufgaben zum Thema Lineare Algebra.

Vladimir Shikhman
Kapitel 63. Analysis

Aufgaben zum Thema Analysis.

Vladimir Shikhman
Kapitel 64. Differenzialrechnung

Aufgaben zum Thema Differenzialrechnung.

Vladimir Shikhman
Kapitel 65. Integralrechnung

Aufgaben zum Thema Integralrechnung.

Vladimir Shikhman
Kapitel 66. Optimierung

Aufgaben zum Thema Optimierung.

Vladimir Shikhman
Kapitel 67. Spieltheorie

Aufgaben zum Thema Spieltheorie.

Vladimir Shikhman
Kapitel 68. Dynamische Systeme

Aufgaben zum Thema Dynamische Systeme.

Vladimir Shikhman
Kapitel 69. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Vladimir Shikhman
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
verfasst von
Prof. Dr. Vladimir Shikhman
Copyright-Jahr
2019
Electronic ISBN
978-3-658-24543-6
Print ISBN
978-3-658-24542-9
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-24543-6

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