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2022 | Buch

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Band 3: Mehrdimensionale Analysis und nichtlineare Optimierung

verfasst von: Prof. Dr. Hans M. Dietz

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Dieses Buch entwickelt verständlich und gut nachvollziehbar diejenigen Themen der Mathematik, die für ein erfolgreiches Studium der Wirtschaftswissenschaften unverzichtbar sind. Hierbei wird die mathematische Darstellung stets durch ökonomische Anwendungen motiviert. Zahlreiche farbige Abbildungen und Übersichten visualisieren den Stoff; ausführliche Erläuterungen und Übungsaufgaben helfen, ihn zu verstehen und zu beherrschen.

Im Zentrum des dritten Bandes stehen grundlegende Themenbereiche der mehrdimensionalen reellen Analysis und Optimierung. Grundeigenschaften und Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher, implizite Funktionen sowie Extremwertprobleme mit und ohne Nebenbedingungen werden ausgiebig behandelt. Zusammen mit den in den beiden vorangehenden Bänden entwickelten Grundlagen fließen diese Themen in die Behandlung ökonomisch besonders interessanter Fragestellungen aus der Mikro- bzw. Makroökonomik ein. Die abschließende Einführung in Differenzen- und Differenzialgleichungen erlaubt es zudem, dynamische Modelle der Makroökonomik beispielhaft zu behandeln.

Eine Besonderheit dieses Buches ist, dass nicht nur Methoden zur zahlenmäßigen Lösung von Problemen behandelt werden, sondern zugleich viel Wert auf das qualitative Verständnis der Probleme und ihrer Lösungen gelegt wird. Deswegen erhält die mathematische Argumentation, verbunden mit ökonomischen Überlegungen, ausreichend Raum.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Reelle Funktionen mehrerer Veränderlicher

Frontmatter
Kapitel 1. Einführung
Zusammenfassung
In Band 1 wurden die wechselseitigen Beziehungen je zweier ökonomischer Größen betrachtet und eine davon als von der anderen abhängig angesehen. Mathematisch wurde der Zusammenhang dann z.B. mit Hilfe einer reellen Funktion f in der Form y = f(x) ausgedrückt. In der Realität sind ökonomische Beziehungen komplexer, und nahezu jede ökonomische Größe hängt ihrerseits von mehreren anderen Größen ab. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher zu betrachten. Dieses Kapitel illustriert das anhand einiger ökonomischer Grundbeispiele und vermittelt weiterhin die dazu benötigten mathematischen Grundlagen wie Bezeichnungsweisen, Definitionsbereiche und das weiterhin oft verwendete Baukastenprinzip.
Hans M. Dietz
Kapitel 2. Wissenswertes über n
Zusammenfassung
Die Analyse von Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher beginnt bei ihren Definitionsbereichen. In höheren Dimensionen treten zu deren Eigenschaften solche hinzu, die im eindimensionalen Fall gar keine oder nur eine geringe Rolle spielen. Anliegen dieses Kapitels ist daher zunächst, die wichtigsten von ihnen zu rekapitulieren und zu vertiefen. Betrachtet werden dabei insbesondere die Ordnungs-, Abstands- und Konvergenzbegriffe in den mehrdimensionalen Räumen \({\mathbb{R}}\)n.
Hans M. Dietz
Kapitel 3. Vertikalschnitte
Zusammenfassung
Dieses Kapitel verbindet zwei Themen: Die Analyse von Funktionen mehrerer Veränderlicher und ihre Visualisierung anhand von Vertikalschnitten. Diese Technik wird in ökonomischen Untersuchungen oft verwendet. Ihre verbreitetste Form ist unter dem Namen “ceteris paribus-Analyse” bekannt. Ihr Wesen besteht darin, dass sämtliche Einflussgrößen bis auf eine festgehalten warden und davon ausgehend die Wirkung dieser einen Einflussgröße analysiert wird.
Hans M. Dietz
Kapitel 4. Niveaumengen und Höhenlinien
Zusammenfassung
Niveaumengen – bzw. spezieller: Höhenlinien – bilden in der ökonomischen Theorie den Gegenstand einer grafischen Analyse von Problemen und damit eines ihrer mächtigsten Werkzeuge. Im Gegensatz zur Situation bei Vertikalschnitten werden hier nicht “alle Variablen bis auf eine” festgehalten und so der Einfluss einer einzigen Input-Variablen auf den Funktionswert als Output untersucht; vielmehr wird bei festgehaltenem Output nach den zugehörigen Inputvariablen gefragt. Es lassen sich dabei nicht allein interessante ökonomische Erkenntnisse gewinnen; vielmehr ist auch eine effektive Visualisierung der Graphen von Funktionen zweier Veränderlicher möglich.
Hans M. Dietz
Kapitel 5. Beschränkte Funktionen
Zusammenfassung
In Band 1 wurde der Begriff einer beschränkten Funktion behandelt. Dabei spielte es keinerlei Rolle, von welcher Art der Definitionsbereich D der betrachteten Funktion f : D\({\mathbb{R}}\) ist. Auf diese Weise gelten alle aus Band 1 bekannten Aussagen unverändert hier fort, d.h., auch für Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher. Im Interesse besserer Lesbarkeit wird in diesem Kapitel im kurz an die Definition und einige Grundaussagen erinnert.
Hans M. Dietz
Kapitel 6. Stetige Funktionen
Zusammenfassung
Aus Band 1 ist bekannt, dass die Stetigkeit von Funktionen oft von großem Nutzen ist. Werden dort zunächst nur Funktionen einer reellen Variablen thematisiert, geht es hier nun allgemeiner um Funktionen von mehreren reellen Variablen. Auch hier kommt der Stetigkeit eine grundlegende Bedeutung zu. In diesem Kapitel wird der Stetigkeitsbegriff nochmals aufgegriffen – diesmal unter dem Aspekt der Mehrdimensionalität der Argumente –, und es werden nützliche Konsequenzen der Stetigkeit aufgezeigt.
Hans M. Dietz
Kapitel 7. Ableitungsbegriffe
Zusammenfassung
In der Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen ist “Ableitung” ein zentrales Thema. Das ist auch bei Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher der Fall, wobei dank höherer Dimensionalität interessante neue Aspekte und geometrische Deutungen hinzutreten. Allein schon der Ableitungsbegriff verzweigt sich in mehrere Richtungen – mit unterschiedlichen Nutzanwendungen. Dieses Kapitel geht ausführlich darauf ein und behandelt partielle, Richtungs-, totale und implizite Differentiation sowie die erforderlichen Ableitungstechniken und -regeln. Weiterhin wird auf Approximationen und Elastizitäten mit Blick auf ökonomische Anwendungen eingegangen.
Hans M. Dietz
Kapitel 8. Monotone Funktionen
Zusammenfassung
Monotone Funktionen einer reellen Variablen wurden in Band 1 ausgiebig behandelt. Das Konzept der Monotonie ist nicht allein mathematisch interessant, sondern drückt gerade aus ökonomischer Sicht unverzichtbare Eigenschaften ganzer Funktionenklassen aus. In diesem Kapitel wird die Betrachtung auf monotone Funktionen mehrerer Veränderlicher ausgedehnt.
Hans M. Dietz
Kapitel 9. Konvexe Funktionen
Zusammenfassung
Konvexe Funktionen einer reellen Veränderlichen werden im Band 1 eingehend behandelt. Schon dort erweist sich Konvexität als mathematisch wie ökonomisch sehr interessant. Hier wird dieses Konzept auf Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher übertragen, wobei es zunächst um begriffliche Grundlagen und wichtige Eigenschaften konvexer Funktionen geht. Im Weiteren wird sich zeigen, dass wesentliche ökonomische Phänomene untrennbar mit dem Konzept der Konvexitat zusammenhängen.
Hans M. Dietz
Kapitel 10. Homogene Funktionen
Zusammenfassung
Besonders in der Mikro- und Makroökonomie spielen sogenannte homogene Funktionen eine herausragende Rolle, weil sie in mehrfacher Hinsicht besonders einfach sind. So nennt man z.B. eine Produktionsfunktion linear-homogen, wenn eine simultane Steigerung aller Faktoreinsätze um ein und denselben Prozentsatz zu einer Outputsteigerung um denselben Prozentsatz führt. Dieses Kapitel stellt die notwendigen Begriffe sowie einige bemerkenswerte Eigenschaften homogener Funktionen vor.
Hans M. Dietz
Kapitel 11. Extremwerte
Zusammenfassung
Die Theorie der Extremwerte ist grundlegend für das Verständnis ökonomischer Zusammenhänge, denn bei fast allen ökonomischen Fragestellungen geht es um eine Maximierung – z.B. des Nutzens oder des Gewinns – oder um eine Minimierung – z.B. der Kosten oder des Ressourcenverbrauchs. Deswegen sind Methoden zur Bestimmung von Extremwerten und -stellen von besonderem Interesse. Die dazu in Band 1 entwickelten Grundprinzipien wirken auch bei Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher fort. Jedoch werden die Methoden hier dank höherer Dimensionalität komplexer und sicherlich auch interessanter.
Hans M. Dietz
Kapitel 12. Extremwerte unter Nebenbedingungen
Zusammenfassung
Im vorangehenden Kapitel wurde bereits deutlich, dass bei der Lösung globaler Extremwertprobleme die Randuntersuchung ein hohes Gewicht hat. Die dafür angeführten Beispiele hatten zunächst keinen engen Bezug zu ökonomischen Fragestellungen, weil zuerst einmal das nötige Handwerkszeug bereitzustellen war. Wir werden nun einige Beispiele anführen, die zeigen, dass Randuntersuchungen gerade in der Ökonomie besonders interessant sind. Mathematisch gesehen handelt es sich um Extremwertprobleme unter Nebenbedingungen. Mangels innerer Punkte, die den Nebenbedingung genügen, haben sich sich zu Lösung dieser Probleme eigene Methoden entwickelt, von denen die grundlegendsten hier dargestellt werden.
Hans M. Dietz

Dynamik

Frontmatter
Kapitel 13. Differenzengleichungen
Zusammenfassung
Differenzengleichungen sind ein ideales Mittel, die zeitliche Dynamik sich schrittweise verändernder ökonomischer Größen zu erfassen, und haben deswegen in der Ökonomie eine breite Anwendung erlangt. In diesem Kapitel wird auf einige besonders wichtige Klassen von Differenzengleichungen eingegangen.
Hans M. Dietz
Kapitel 14. Gewöhnliche Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Gewöhnliche Differentialgleichungen – kurz GDGL – sind Gleichungen, die einen Zusammenhang zwischen einer differenzierbaren Funktion einer reellen Veränderlichen und ihren Ableitungen herstellen. Derartige Gleichungen spielen bei volkswirtschaftlichen Betrachtungen, insbesondere bei der Analyse von Wachstumsprozessen, in der Mathematik der Finanzmärkte und in anderen Bereichen der Ökonomie eine große Rolle. Selbstverständlich sind sie auch in den Naturwissenschaften und der Technik von herausragender Bedeutung. In diesem Kapitel wird auf einige besonders wichtige Klassen von GDGL eingegangen.
Hans M. Dietz
Kapitel 15. Anhang I: Beweise
Zusammenfassung
Dieser Anhang richtet sich an mathematisch stärker interessierte Leserinnen und Leser. Es werden einige Beweise bzw. Beweisideen zu Aussagen aus dem vorausgehenden Text zusammengestellt, die sich nicht immer in Standardlehrbüchern finden.
Hans M. Dietz
Kapitel 16. Anhang II: Lösungen von Übungsaufgaben
Zusammenfassung
In diesem Anhang finden sich überwiegend ausführliche, teils auch kurze Lösungen zur Mehrzahl der in den vorangehenden Kapiteln enthaltenen Übungsaufgaben.
Hans M. Dietz
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
verfasst von
Prof. Dr. Hans M. Dietz
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-64947-3
Print ISBN
978-3-662-64946-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64947-3

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