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Über dieses Buch

Die umfassende Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler!

Ausgehend von der Schulmathematik wird verständlich und gut nachvollziehbar schrittweise der Stoff entwickelt, der für ein erfolgreiches Bachelor- und Master-Studium unerlässlich ist. Zur ausgefeilten Didaktik des Buches gehört es, dass sehr viel Wert auf die Motivation der mathematischen Darstellung durch ökonomische Anwendungen gelegt wird und möglich Wissenslücken „vor Ort“ im Text geschlossen werden. Zahlreiche farbige Abbildungen und Übersichten visualisieren den Stoff; ausführliche Erläuterungen und Übungsaufgaben helfen, ihn zu verstehen und zu beherrschen. Der Einstieg wird durch eine Anleitung zum Lesen mathematikhaltiger Texte zusätzlich erleichtert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Vorkenntnisse und Grundlagen

Frontmatter

1. Grundlagen

Im vorliegenden Text versuchen wir, mit einem Minimum an vorausgesetzten Schulkenntnissen auszukommen.

Hans M. Dietz

2. Mathematik “lesen”

Wir wollen uns in diesem Kapitel nun ein wenig intensiver mit dem Lesen „von Mathematik“ beschäftigen.

Hans M. Dietz

3. Relationen

Die Beziehungen (oder umgangssprachlich „Relationen“) zwischen ökonomischen Objekten und Größen können sehr vielfältig sein. Herstellungsbeziehungen drücken aus, ob ein bestimmtes Produkt von einer bestimmten Firma hergestellt wurde oder nicht. Ordnungsbeziehungen bestehen z.B. zwischen den Preisen, die von verschiedenen Herstellern für dasselbe Produkt gefordert werden. Funktionelle Beziehungen bestehen beispielsweise zwischen dem Ernteertrag auf einem Feld und der eingesetzten Düngemittelmenge. Wenn ein Haushalt den Kauf eines neuen Fernsehers dem einer neuen Waschmaschine vorzieht („präferiert“), stehen Fernseher und Waschmaschine in einer Präferenzbeziehung.

Hans M. Dietz

4. Abbildungen

Hans M. Dietz

II Analysis im R1

5. Wissenswertes über die Menge $$\mathbb{R}^1$$ reeller Zahlen

An dieser Stelle stellen wir einige der in diesem Text benutzten Schreibweisen zusammen und präzisieren Bezeichnungen, die wir im Abschnitt 0.1 „Das Notwendigste zuerst“ eher intuitiv eingeführt hatten

Hans M. Dietz

6. Folgen, Reihen, Konvergenz

In diesem Kapitel werden wir uns mit den in gewissem Sinne einfachsten reellen Funktionen beschäftigen, die der Abbildung aufeinanderfolgender Größen dienen und für die sich deshalb auch die spezielle Bezeichnung Folgen eingebürgert hat. Sie spielen nicht nur innerhalb der Mathematik, sondern auch in der Ökonomie eine große Rolle.

Hans M. Dietz

7. Reelle Funktionen einer Variablen – Grundlagen

Ökonomische Zusammenhänge werden oft dergestalt untersucht, dass eine bestimmte ökonomische Größe – etwa ein erzielter Gewinn – in einen funktionellen Zusammenhang mit einer anderen Größe – z.B. dem Absatz eines bestimmten Gutes – gestellt wird. Das mathematische Abbild eines solchen Zusammenhang stellt eine reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen – kurz „reelle Funktion“– dar. Kennt man ihre mathematischen Eigenschaften, so lassen sich diese direkt ökonomisch interpretieren und führen so zu neuen Einsichten.

Hans M. Dietz

8. Beschränkte Funktionen

Oft ist von Interesse, ob die Funktionswerte einer gegebenen Funktion beliebig groß bzw. klein werden können.

Hans M. Dietz

9. Stetige Funktionen

Hans M. Dietz

10. Differenzierbare Funktionen

Der Ableitungsbegriff ist zweifellos einer der wichtigsten im Thema „reelle Funktionen“. Aus der Schulmathematik wird damit zunächst immer der Anstieg einer Tangente an den Graphen einer Funktion assoziiert. Wir werden sehen, dass die Bedeutung der Ableitung weit über diese Interpretation hinausgeht. Das gilt insbesondere mit Blick auf die Ökonomie, in der oft gefragt wird, wie sich kleinste Änderungen von Inputgrößen auf den Output auswirken.

Hans M. Dietz

11. Monotone Funktionen

Die folgenden Bilder zeigen Beispiele für Graphen reeller Funktionen, die sich in ihrem Wachstumsverhalten unterscheiden.

Hans M. Dietz

12. Konvexe Funktionen

Hans M. Dietz

13. Extremwertprobleme

Angenommen, ein Unternehmen kann beim Absatz von x Mengeneinheiten eines Gutes X einen Gewinn in Höhe von G(x) Geldeinheiten erzielen.

Hans M. Dietz

14. Integralrechnung

Viele Autofahrer wissen, dass der werksseitig angegebene sogenannte Durchschnittsverbrauch ihres Pkw nur eine Rechengröße ist. In Abhängigkeit von Wetter, Fahrsituation und anderen Faktoren kommt es jedoch auf den Momentanverbrauch an. Dieser ist insbesondere im Winter bei einem Kaltstart besonders hoch – er kann z.B. in der Größenordnung von 40 l/100km liegen – und pegelt sich erst nach einigen gefahrenen Kilometern, wenn der Motor Betriebstemperatur erreicht hat, in der Nähe des Normwertes – z.B. bei 8 l/100km – ein.

Hans M. Dietz

15. Reelle Funktionen in der Ökonomie

In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, in Gestalt welcher mathematischen Eigenschaften sich ökonomische Anforderungen an Produktions-, Kosten- und andere Funktionen widerspiegeln. Dabei ist es grundsätzlich Angelegenheit des Anwenders – also des bzw. der ökonomen –, zu entscheiden, über welche ökonomischen Eigenschaften solche Funktionen verfügen sollen. Wir leisten hier lediglich Hilfe bei der „übersetzung“ der ökonomischen in mathematische Eigenschaften (und zurück). Einmal in die Sprache der Mathematik übersetzt, können ökonomische Funktionen mathematisch untersucht und daraus weitergehende Schlüsse gezogen werden.

Hans M. Dietz

Lineare Algebra

Frontmatter

16. Matrizen

„Matrizen“ sind ein Gegenstand der Mathematik, der manchem Leser bereits sehr vertraut sein mag, denn die sogenannte „Matrizenrechnung“ ist bereits seit dem 19. Jahrhundert bekannt und wird in vielen Mathematik- Leistungskursen an Gymnasien vermittelt. Wir wollen uns hier jedoch einmal auf den Standpunkt stellen, es handele sich um ein völlig unbekanntes Gebiet (der Leser kann aushilfsweise versuchen, alles zuvor darüber Gelernte zu vergessen). Der Grund für unsere unbelastete Sichtweise ist folgender: Wir werden dadurch nachvollziehen können, warum und wie Mathematik entsteht – und zwar genau so, wie „wir ökonomen“ sie brauchen.

Hans M. Dietz

17. Modellierungs- und Problembeispiele

In diesem Kapitel wollen wir eine Verbindung zwischen „unserer“ Theorie der Matrizen und beispielhaften ökonomischen Problemen herstellen.

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10. Vektoren

Im vorangehenden Kapitel destillierten wir aus zahlreichen ökonomischen Beispielen Mathematisches: Wir entwickelten den Begriff der Matrix sowie sämtliche Rechenoperationen für Matrizen

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als mathematische Abstraktionen ökonomischer Inhalte. Einen Vorteil solcher Abstraktionen lernten wir bereits kennen: Durch Konzentration auf das Wesentliche können wir die notwendigen Berechnungen schneller und sicherer bewältigen. Ein weiterer Vorteil der Abstraktion ist es, dass die abstrakten Begriffe, einmal geschaffen, völlig andersartig interpretiert werden können als ursprünglich und auf diese Weise neue Ideen und Lösungsansätze entstehen. Als Beispiel dafür zeigen wir in diesem Kapitel, wie Vektoren – als spezielle Matrizen – und die Rechenoperationen mit ihnen geometrisch interpretiert werden können. Auf diese Weise wird einfachste geometrische Anschauung, über die im Prinzip schon jedes Kind verfügt, als Erkenntnisquelle nutzbar. Dank dieser Quelle werden wir in der Lage sein, zentrale offene Fragen zu beantworten – insbesondere Matrizen zu invertieren (Kapitel 18) und lineare Gleichungssysteme zu lösen (Kapitel 19). Der Leser wird in diesem Kapitel relativ wenige ökonomische Beispiele finden, denn die Konzentration auf die geometrische Anschauung ist durchaus beabsichtigt. Später, wenn die gewünschten mathematischen Resultate vorliegen (Kapitel 18 und 19), werden wir aus der geometrischen Sichtweise zur ökonomischen Sichtweise zurückkehren.

Hans M. Dietz

19. Lineare Räume

Dieses Kapitel ist aus gutem ökonomischem Grund ein „mathematisches“. Es ist an der Zeit, die Frage zu beantworten, was den vielen bereits betrachteten Beispielen gemeinsam ist. Das Ziel dabei ist erstens, eine möglichst einheitliche einfache „Sprache“ zur Formulierung von Problemen zu finden. Dazu werden einige neue mathematische Begriffe wie „linearer Raum“, „linear unabhängig“ oder „Basis“ eingeführt. Zweitens – und womöglich interessanter – ist es, dass diese Vereinfachungen den Blick frei machen werden für einige verblüffend einfache Problemlösungen.

Hans M. Dietz

20. Lineare Gleichungssysteme

Hans M. Dietz

21. Determinanten und Anwendungen

Unsere erste Begegnung mit dem Begriff „Determinante“ hatten wir im Beispiel 15.49, als wir uns fragten, ob – und gegebenenfalls wie – eine beliebige (2, 2)−Matrix A invertierbar sei.

Hans M. Dietz

22. Quadratische Formen und Definitheit

Hans M. Dietz

23. Konvexe Mengen und lineare Ungleichungen

Hans M. Dietz

24. Einfache lineare Optimierung

Von „linearer Optimierung“ spricht man, vereinfacht gesagt, immer dann, wenn die Lösung eines linearen Ungleichungssystems mit der Aufgabe verbunden wird, eine lineare Funktion zu maximieren oder zu minimieren. Probleme dieser Art treten in der Praxis, vor allem in der Wirtschaft, in nahezu unendlicher Vielfalt auf. Deswegen hat sich seit etwa Mitte des 20. Jahrhunderts eine eigene mathematische Theorie dafür etabliert. Ihre Darstellung würde den Rahmen dieses Buches bei weitem sprengen; wir wollen aber zumindest einige grundlegende Ideen und Lösungstechniken vermitteln.

Hans M. Dietz

Backmatter

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