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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Mengenlehre und Logik

Zusammenfassung
Wer sich mit Mathematik beschäftigt, wird schnell vor der Notwendigkeit stehen, Aussagen korrekt formulieren und in richtiger Weise miteinander verknüpfen zu müssen. Häufig werden sich derartige Aussagen auf Objekte beziehen, die zu Mengen zusammengefaßt sind.
Siegfried Scholz

2. Rechnen mit reellen Zahlen und Termen

Zusammenfassung
Häufig liegen die tieferen Ursachen für die Startprobleme, die Studienanfänger mit dem Fach Mathematik haben, in Unsicherheiten beim Umgang mit reellen Zahlen. Um solche Unsicherheiten zu beseitigen, räumt dieses Kapitel dem Üben elementarer Rechengesetze breiten Raum ein. Im einzelnen geht es um folgende Schwerpunkte:
Siegfried Scholz

3. Gleichungen und Ungleichungen

Zusammenfassung
Gleichungen und Ungleichungen für eine reelle Variable (hier: x) treten im Zusammenhang mit den verschiedensten Problemstellungen auf, so z.B. bei der Suche nach dem natürlichen Definitionsbereich, den Nullstellen oder den Extremstellen einer vorgegebenen reellen Funktion, bei der Ermittlung der Schnittpunkte von zwei Kurven, bei Bilanzproblemen der Mechanik, der Ökonomie und anderer Anwendungsgebiete. Aus der großen Vielfalt von denkbaren Aufgabenstellungen wird in diesem Kapitel nur ein sehr kleiner Ausschnitt von leicht lösbaren algebraischen Gleichungen und Ungleichungen behandelt. Logarithmische und Exponentialgleichungen traten bereits in den Aufgaben A 2.19, A 2.21 auf, goniometrische Gleichungen folgen später in A 4.19. Einfache Ungleichungen sind im Rahmen von A 4.7 zu lösen. Die Ermittlung ganzzahliger Nullstellen von Polynomen wird in den Aufgaben des Abschnitts 4.4. geübt.
Siegfried Scholz

4. Funktionen

Zusammenfassung
Der Funktionsbegriff spielt eine fundamentale Rolle in der Mathematik. Das ihm gewidmete Kapitel weist daher eine besondere Breite auf.
Siegfried Scholz

5. Vektoren und ihre Anwendung in der analytischen Geometrie der Ebene

Ohne Zusammenfassung
Siegfried Scholz

6. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Viele Aufgabenstellungen aus verschiedensten Gebieten (z.B. analytische Geometrie, Ökonomie, Statik, Physik, Elektrotechnik) führen auf lineare Gleichungssysteme. Zur Lösung solcher Systeme mit nur zwei Gleichungen für zwei Unbekannte, wie sie etwa bei der Ermittlung des Schnittpunkts zweier in der x, y-Ebene liegender Geraden auftreten, eignen sich
  • das „Gleichsetzungsverfahren“ (beide Gleichungen werden nach derselben Unbekannten aufgelöst und danach die beiden entstehenden Terme einander gleichgesetzt),
  • das „Einsetzungsverfahren“ (eine Gleichung wird nach einer Unbekannten aufgelöst, und diese Unbekannte wird in der zweiten Gleichung durch den soeben erhaltenen Term ersetzt),
  • das „Additionsverfahren“ (die Gleichungen werden mit geeigneten Faktoren multi-pliziert, so daß bei der anschließenden Addition der Gleichungen eine Unbekannte herausfällt und man nur noch eine Gleichung für eine Unbekannte übrig behält).
Siegfried Scholz

7. Zahlenfolgen

Zusammenfassung
Die Aufgaben dieses Kapitels beschäftigen sich mit
  • der Umsetzung verschiedener Bildungsvorschriften für Zahlenfolgen (A 7.1–7.2);
  • arithmetischen und geometrischen Zahlenfolgen und deren Summen (A 7.3);
  • Monotonie-, Beschränktheits-, Konvergenz- und Grenzwertuntersuchungen bei unendlichen Zahlenfolgen (A 7.4–7.8);
  • Anwendungen aus der Finanzmathematik bzw. Chemie, zu deren Behandlung lediglich Kenntnisse über arithmetische (A 7.9–7.11) und geometrische Zahlenfolgen (A 7.12–7.14) benötigt werden.
Siegfried Scholz

8. Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen

Zusammenfassung
Entsprechend der Definition des Grenzwerts bei Funktionen mittels des Grenzwerts bei Zahlenfolgen werden in A 8.1 Grenzwertuntersuchungen unter Verwendung spezieller Zahlenfolgen durchgeführt. A 8.2 erfordert die Anwendung bekannter Grenzwertsätze, gegebenenfalls mit vorherigen geeigneten Umformungen der Funktionen. Bei den in A 8.4 auf Stetigkeit zu untersuchenden Funktionen ermittelt man zunächst diejenigen x, für die f(x) nicht definiert ist. Zur Charakterisierung von Unstetigkeitsstellen im Innern oder auf dem Rand des Definitionsbereichs betrachtet man die rechts- und linksseitigen Grenzwerte an diesen Stellen. In analoger Weise sind die Aufgaben A 8.5 – 8.8 zu behandeln.
Siegfried Scholz

9. Differentialrechnung

Zusammenfassung
Für die Differentialrechnung von Funktionen einer reellen Variablen ist der Begriff der (1.) Ableitung der Funktion f: y = f(x),
$$y' = f'\left( x \right) = \frac{{df}}{{dx}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h},$$
(A)
von fundamentaler Bedeutung; hierauf aufbauend werden die 2. und höheren Ableitungen definiert.
Siegfried Scholz

10. Integralrechnung

Zusammenfassung
Das Hauptanliegen dieses Kapitels besteht darin, handwerkliche Fertigkeiten beim Ermitteln unbestimmter Integrale anzutrainieren. Die Anwendungsmöglichkeiten der Integralrechnung sind vielgestaltig. Im Rahmen dieses Übungsbuches können nur einige ausgewählte Beispiele behandelt werden.
Siegfried Scholz

11. Lösungen

Ohne Zusammenfassung
Siegfried Scholz

Backmatter

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