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2024 | Buch

Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Mathematik interaktiv und verständlich

für Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mediziner

verfasst von: Laura Gioia Andrea Keller

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis
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Über dieses Buch

Dieses Buch deckt alle relevanten mathematischen Themen eines Grundstudiums der Natur- oder Ingenieurwissenschaften ab, von der Analysis (inklusive einer ausführlichen Behandlung gewöhnlicher Differentialgleichungen mitsamt Modellierungsaspekten) und der linearen Algebra bis hin zu den wichtigsten Lösungsmethoden für partielle Differentialgleichungen.

Das selbstständige Erlernen der Inhalte wird durch zahlreiche anwendungs- und praxisrelevante Beispiele motiviert und durch interaktive Aufgaben, verlinkte Videos und Repetitionsfragen gefördert.

Außerdem werden die Studierenden durch direkt in den entsprechenden Programmen bearbeitbare Dateien befähigt, mit den gängigsten Computer-Algebra-Systemen zu arbeiten, wodurch die eigene Auseinandersetzung mit der Materie weiter unterstützt wird.

Insgesamt wird hier nicht nur eine äußerst geschickte didaktische Herangehensweise an die Mathematik umgesetzt, sondern die Themen werden zudem mit modernstenmultimedialen Mitteln aufbereitet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

Frontmatter
Kapitel 1. Logik, Mengen und Zahlen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel beginnen wir mit einigen Grundlagen zur mathematischen Formsprache, es werden gängige Abkürzungen eingeführt, und die Notation, die in der Folge verwendet wird, wird festgelegt.
Diese Einleitung umfasst die wichtigsten Stichworte zur mathematischen Logik, zu wichtigen Konzepten der Mengenlehre sowie eine Liste der gebräuchlichen Zahlmengen.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 2. Komplexe Zahlen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist den komplexen Zahlen gewidmet. Nach der Einführung dieser komplexer Zahlen werden wir uns den Grundrechenoperationen mit diesen zuwenden, eine geometrische Interpretation dieser Rechenoperationen sehen und zum Schluss den Fundamentalsatz der Algebra kennenlernen, welcher besagt, dass jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten in Linearfaktoren zerlegt werden kann.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 3. Folgen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel führen wir eines der grundlegendsten Konzepte ein, welches wir später – insbesondere in der Differentialrechnung – immer wieder verwenden werden: das Konzept eines Grenzwerts respektive der Konvergenz.
Wir werden dieses Konzept im Kontext von Folgen einführen und diskutieren dabei auch verschiedene Varianten des Konzepts eines Grenzwertes und runden unsere Betrachtungen durch angewandte Beispiele ab.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 4. Reihen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist dem zweiten grundlegenden Konzept gewidmet, welches uns in der Analysis, insbesondere in der Integralrechnung, wieder begegnen wird: das Konzept einer Reihe, einfach gesprochen einer „Aufsummierung unzähliger kleinster Beiträge“.
Auch hier werden wir neben den grundlegenden Begriffen und Regeln auch praxisnahe Anwendungen kennenlernen.
Laura Gioia Andrea Keller

Analysis in einer Variablen

Frontmatter
Kapitel 5. Funktionen in einer Variablen
Zusammenfassung
Funktionen kennen Sie schon ganz gut aus dem Gymnasium. Nichtsdestotrotz wollen wir hier die Grundlagen nochmals zusammenstellen, denn Funktionen sind das zentrale Objekt, mit welchem wir uns in Analysis A und Analysis B, respektive in Mathematik I und Mathematik II, beschäftigen. Erste Beispiele von Funktionen haben wir bereits im letzten Kapitel kennengelernt: Wie wir uns erinnern, können wir Folgen auch als Funktionen \(f: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}\) auffassen. Außerdem ist uns bereits geläufig, dass die idealste Art und Weise, eine physikalische, biologische, chemische oder auch ökonomische Situation zu beschreiben, die Idee ist, eine geeignete Funktion anzugeben. Da uns also die Idee der Funktion sowie deren Einsatz bereits gut vertraut sind, gehen wir hier direkt zum Kern der Angelegenheit, nämlich der mathematischen Umsetzung. Es geht also einerseits darum, bekannte Ideen zu festigen (z. B. das Konzept der Funktion), andererseits auch darum, diese Ideen weiterzuentwickeln (z. B. Stetigkeit) und Neues dazuzulernen.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 6. Differentialrechnung in einer Variablen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel lernen wir eines des zentralen Konzepte der Analysis kennen, die sogenannte Ableitung.
Stark vereinfacht kann man sagen, dass es sich dabei um eine zusätzliche, lokale Information handelt, welche das Verhalten einer Funktion detaillierter beschreibt, wenn wir uns vorstellen, dass wir an einer festen Stelle des Graphen der gegebenen Funktion unendlich stark hineinzoomen.
Die meisten werden diese Idee bereits aus dem Gymnasium kennen. Wir werden nichtsdestotrotz die Idee nochmals erklären, dann aber mit weiteren spannenden Folgerungen weitermachen.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 7. Integralrechnung in einer Variablen
Zusammenfassung
Im letzten Kapitel haben wir gesehen, dass wir durch immer stärkeres „Hineinzoomen“ am Graphen einer Funktion zur Tangente respektive durch Grenzübergang beim Differenzenquotienten zur Ableitung einer Funktion gelangen. Damit haben wir weitere Informationen über die betrachtete Funktion gewonnen. Wie sieht es nun aber aus, wenn wir immer stärker „herauszoomen“? Wir können diese Frage auch leicht anders formulieren: Was passiert, wenn wir unzählige kleine Effekte „zusammenfassen“ wollen? Genau die Fragen und die entsprechenden Ideen führen uns zu einem neuen, zentralen Konzept der Analysis, nämlich der Integration. Wir werden dabei zwei „Varianten“ kennenlernen, nämlich die unbestimmte und die bestimmte Integration.
Laura Gioia Andrea Keller

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Frontmatter
Kapitel 8. Gewöhnliche Differentialgleichungen – ODEs
Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es um gewöhnliche Differentialgleichungen, also um Gleichungen, bei welchen nicht eine Zahl als Lösung gesucht ist, sondern eine Funktion. Von der Struktur her kommen in solchen Gleichungen insbesondere auch Ableitungen der gesuchten Funktion vor. Wir werden in diesem Kontext nicht nur die zentrale Frage ausfürlich behandeln, mit welchen Techniken solche Differentialgleichungen gelöst werden können, sondern auch die Frage studieren, woher überhaupt solche Differentialgleichungen kommen, uns also auch mit der Modellierung befassen. In unseren Überlegungen werden wir fast alles verwenden, was wir in den vorangehenden Kapitel gelernt haben.
Laura Gioia Andrea Keller

Lineare Algebra

Frontmatter
Kapitel 9. Lineare Algebra
Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir die wichtigsten mathematischen Hilfsmittel aus der Linearen Algebra zusammen. Neben der Analysis, die wir in den vorangehenden Kapitel gesehen haben, bildet die Lineare Algebra einen der Grundpfeiler der Mathematik. Insbesondere für Anwendungen liefert sie unverzichtbare Werkzeuge.
Laura Gioia Andrea Keller

Analysis in mehreren Variablen

Frontmatter
Kapitel 10. Funktionen in zwei und mehr Variablen
Zusammenfassung
Den Funktionsbegriff haben wir bereits kennengelernt. Etwas genauer ausgedrückt: Wir haben gesehen, was wir unter einer Funktion in einer Variablen verstehen wollen, nämlich eine Zuordnungsvorschrift, welche einem Argument (einem Input aus dem Definitionsbereich) genau eine abhängige Variable (den Output) zuordnet. In diesem Kontext haben wir schlussendlich auch unter den Stichworten Modellierung und Differentialgleichungen gesehen, dass wir mit dem Konzept einer Funktion viele interessante Situationen aus der Biologie, der Chemie, der Medizin und vielen weiteren Wissenschaften mathematisch beschreiben und untersuchen können. Wie wir aber aus dem Alltag wissen, hängen viele Phänome nicht nur von einer Inputgröße ab. Es liegt also nahe, dass es äußerst praktisch ist, das bereits bekannte und wichtige Konzept der Funktionen auf allgemeinere Situationen auszudehnen und zu verallgemeinern, also insbesondere auf Fälle, in welchen eine Outputgröße von zwei oder mehr Inputs abhängt. Wie wir sehen werden, ist diese neue Situation von Funktionen, welche von mehr als einem Input abhängen, zwar leicht komplizierter, aber auch interessanter!
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 11. Differentialrechnung in zwei und mehr Variablen
Zusammenfassung
Wie wir schon im Fall von Funktionen in einer Variablen gesehen haben, werden viele Eigenschaften von Funktionen – und im Speziellen von Phänomenen aus anderen Bereichen wie der Physik, der Chemie oder der Biologie, welche durch Funktionen beschrieben werden – erst dann ersichtlich, wenn wir Veränderungsraten, insbesondere momentane Veränderungsraten studieren. Dies wollen wir nun auch für den Fall von Funktionen in zwei und mehr Variablen tun. Wie wir sehen werden, ist die Grundidee der Ableitung nach wie vor die gleiche, wie wir sie schon im Fall von Funktionen in einer Variablen gesehen haben. Dennoch gibt es auch neue Phänomene, die wir ebenfalls kennenlernen werden. Die folgenden Überlegungen werden mehrheitlich im Fall von Funktionen in zwei Variablen dargestellt. Dies dient primär der Einfachheit der Präsentation und dem erleichterten Verständnis. Die Resultate, die wir sehen werden, gelten aber selbstverständlich für Funktionen mit beliebig vielen Argumenten. Die entsprechenden Formeln werden wir jeweils am Ende der entsprechenden Kapitel kurz zusammenfassen.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 12. Integralrechnung in zwei und mehr Variablen
Zusammenfassung
Neben der Differentialrechnung hat auch die Integralrechnung ein Pendant im Kontext von Funktionen in zwei und mehr Variablen. Auch in diesem allgemeineren Kontext ist die Grundidee nach wie vor die gleiche wie bei Funktionen in einer Variablen: Es geht darum, eine „Vielzahl kleiner Effekte“ zusammenzufassen, aufzusummieren. Die folgenden Überlegungen werden – wie schon bei der Differentialrechnung in zwei und mehr Variablen – mehrheitlich im Fall von Funktionen in zwei Variablen dargestellt. Dies dient primär der Einfachheit der Präsentation und dem erleichterten Verständnis. Die Resultate, die wir sehen werden, gelten aber selbstverständlich für Funktionen mit beliebig vielen Argumenten.
Laura Gioia Andrea Keller

Vektoranalysis

Frontmatter
Kapitel 13. Parametrisierungen
Zusammenfassung
Bis jetzt waren wir jeweils mit der Situation konfrontiert, dass die untersuchte Größe, der Output einer Funktion, jeweils eine skalare Größe war, also eine (reelle) Zahl, und zwar unabhängig davon, wie viele Argumente involviert sind. Im Folgenden wollen wir eine leicht veränderte Situation untersuchen, in welcher gleichzeitig mehrere Outputgrößen untersucht werden. In der Regel werden alle diese Outputs zu einem Vektor oder einem Tupel zusammengefasst.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 14. Vektorfelder
Zusammenfassung
Wie wir bereits gesehen haben, gibt es Größen – wie beispielsweise die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung –, welche die Eigenschaft haben, dass sie nicht nur eine absolute skalare Größe (Schnelligkeit) angeben, sondern auch eine Richtung (vgl. auch Kapitel über Parametrisierungen). Wir können uns die einfach als „vektorwertige Zuordnungsvorschrift“ vorstellen, was uns schlussendlich zum Begriff eines Vektorfeldes führen wird. Neben der Diskussion dieses Konzepts werden wir uns auch einige Kontexte anschauen, in welchen solche speziellen Zuordnungsvorschriften sehr nützlich sind, um Fragen zu untersuchen, denen wir bereits einmal begegnet sind. Zusammen mit dem Konzept der Parametrisierung bildet das Konzept des Vektorfeldes die Basis der sogenannten Vektoranalysis.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 15. Linienintegrale- und Oberflächenintegrale
Zusammenfassung
Wie wir schon beim Konzept der Integration (in einer oder mehreren Variablen) gesehen haben, kann aus einer Vielzahl kleiner Effekte eine neue Größe ermittelt werden, beispielsweise eine zurückgelegte Strecke, ein nichtgerades Volumen, eine Gesamtzahl von Bakterien oder die Maße einer Platte mit gekrümmtem Rand. Für einige verwandte Fragen, bei welchen ebenfalls nach einem „Gesamteffekt“ kleinster Beiträge gefragt wird, haben wir noch keine Antworten kennengelernt, beispielsweise für die Frage nach der in einem Kraftfeld verrichteten Arbeit oder für die Frage nach dem Fluss einer Flüssigkeit durch eine permeable Membran. Diese und ähnliche Fragen wollen wir in diesem Kapitel untersuchen. Mathematisch werden wir dabei auf die Konzepte der Parametrisierungen, der Vektorfelder und natürlich der bereits bekannten Integration zurückgreifen.
Laura Gioia Andrea Keller

Partielle Differentialgleichungen

Frontmatter
Kapitel 16. Partielle Differentialgleichungen – PDEs
Zusammenfassung
Im Kap. 8 haben wir ausführlich über Differentialgleichungen gesprochen. Dabei haben wir ausschließlich Funktionen als Unbekannte gesehen, die von einer einzigen Variablen abhängen. Es kamen in solchen Differentialgleichungen also nur gewöhnliche Ableitungen vor. Daher werden solche Differentialgleichungen auch gewöhnliche Differentialgleichungen genannt.
Laura Gioia Andrea Keller

Computer Algebra Systeme

Frontmatter
Kapitel 17. Benutzung von Matlab
Zusammenfassung
Auf den nun folgenden Seiten finden Sie einige praktische Hinweise, wie Sie das Programm „Matlab“ benutzen können, um mit Hilfe dieses Computer-Algebra-Systems die im vorliegenden Werk diskutieren Konzepte numerisch umsetzen zu können und zu einem vertieften, anschaulichen Verständnis nutzen zu können.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 18. Benutzung von Mathematica
Zusammenfassung
Auf den nun folgenden Seiten finden Sie einige praktische Hinweise, wie Sie das Programm „Mathematica“ benutzen können, um mit Hilfe dieses Computer-Algebra-Systems die Konzepte des vorliegenden Buches numerisch umsetzen zu können und zu einem vertieften, anschaulichen Verständnis nutzen zu können.
Laura Gioia Andrea Keller
Kapitel 19. Benutzung von Maple
Zusammenfassung
Auf den folgenden Seiten finden Sie einige praktische Hinweise, wie Sie das Programm „Maple“ benutzen können, um mit Hilfe dieses Computer-Algebra-Systems die in diesem Buch besprochenen Konzepte numerisch umsetzen zu können und zu einem vertieften, anschaulichen Verständnis nutzen zu können.
Laura Gioia Andrea Keller
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik interaktiv und verständlich
verfasst von
Laura Gioia Andrea Keller
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65548-1
Print ISBN
978-3-662-65547-4
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65548-1

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