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Über dieses Buch

Dieses kompakte und gut verständliche Mathematikbuch besticht durch seine gelungene Stoffauswahl und seine didaktischen Vorzüge: Anschaulicher, aufgelockerter Stil, Zusammenfassung eines jeden Kapitels, Randnotizen zur schnellen Navigation, Verständnistests nach jedem Kapitel, Beispiele und Anwendungen, Übungsaufgaben und deren Lösung, Typische Fehler und ihre Vermeidung, Tipps fürs Studium.

Die Autoren konzentrieren sich auf den heute relevanten Stoff und verzichten auf überflüssige Beweise. Moderne Themen wie Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik werden überzeugend dargestellt. Das Buch eignet sich zur Vorlesungsbegleitung ebenso wie zum Selbststudium und als Nachschlagewerk. Darüber hinaus werden für Studierende und für Lehrende im Internet kostenlos zahlreiche Ergänzungen zum Download zur Verfügung gestellt: Didaktisch aufbereitete Folien, kommentierte Lösungen zahlreicher Übungen im Buch mittels Computeralgebra-System Maple, Lernsoftware „Mathematische Grundlagen" zur Wiederholung des Schulwissens Mathematik, Lernprogramm „Mathematik kompakt", welches den Stoff aus dem Buch ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Mathematische Grundbegriffe

„Grundbegriffe“, „Grundlagen“ — das klingt easy, das hört sich an wie Fingerübungen beim Klavierspielen. Grundlagen kann man zunächst als Lernen und Einüben einer Notation verstehen, so wie Sie z.B. zuerst merkwürdig aussehende Zeichen lernen müssen, bevor Sie überhaupt mit der griechischen, russischen, chinesischen oder japanischen Sprache beginnen können. Aber keine Angst, den meisten Studierenden sind die grundlegenden mathematischen Bezeichnungen, wie etwa die Mengenschreibweise, schon seit der Schule bekannt. Insofern ist dieses erste Kapitel wirklich recht einfach.
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

2. Folgen und endliche Summen

Auch dieses Kapitel über „Folgen“ ist ein eher einfacher Ausschnitt aus der Mathematik, in dem allerdings bereits ein wirklich grundlegender mathematischer Begriff, nämlich der des Grenzwerts (oder Limes), auftritt. Der Begriff „Folge“ (oder „Reihenfolge“) ist auch in der Umgangssprache gebräuchlich und bezeichnet nicht nur eine diffuse „Menge“, sondern nummeriert die Elemente — es gibt ein erstes, ein zweites, ein drittes usw. In der Mathematik sind solche Folgen meistens unendlich und bestehen oft aus Zahlen. Interessant wird es, wenn sich die Folgenglieder einer Zahl immer mehr annähern, wie etwa die Zahlen 1, 1/2, 1/3, 1/4, … sich immer mehr der Zahl 0 nähern. Eine exakte Formulierung des zugrunde liegenden Grenzwertbegriffs gehört mit zu den wichtigsten Errungenschaften der modernen Mathematik.
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

3. Funktionen

Mit Zahlen sind wir groß geworden — und sie begegnen uns immer wieder: sei es im Kaufhaus, in der Bank oder auch in der Hochschule. Hier hat man Ihnen als erste Amtshandlung einen Studentenausweis mit einer Matrikelnummer überreicht. Mathematisch gesprochen steckt eine bijektive Funktion zwischen der Menge aller Studierenden der Hochschule und der Menge der vergebenen Matrikelnummern dahinter. Das Wort „Funktion“ beinhaltet dabei, dass Sie genau eine Matrikelnummer bekommen und nicht etwa zwei oder drei verschiedene. Und mit „bijektiv“ ist gemeint, dass keineswegs zwei Studierende dieselbe Matrikelnummer erhalten dürfen — das gäbe schließlich ein einziges Chaos, wollte man Prüfungsergebnisse auf Studierende verbuchen
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

4. Algebra

Die Mathematik ist — wie andere Wissenschaften auch — in einzelne Disziplinen eingeteilt. In den Ingenieurwissenschaften und in der Physik hat man schon immer vom Teilgebiet der Analysis profitiert — ja, man kann fast sagen, dass die Entwicklung der Technik, dass die Industrielle Revolution ohne die Differential- und Integralrechnung in dieser Weise vielleicht nicht stattgefunden hätte.
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

5. Lineare Algebra

Der Begriff des Vektors (und oft auch der von Vektorräumen) wird schon in der Schule vermittelt — in der Analytischen Geometrie, wo mit Begeisterung Geraden mit Geraden, Geraden mit Ebenen, Ebenen mit Ebenen usw. geschnitten werden. Vektoren fasst man dabei einfach als Verschiebungspfeile auf und benutzt sie, etwa um Geraden durch die Angabe eines Punktes und eines solchen Verschiebungspfeils zu beschreiben.
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

6. Differentialrechnung

Die Differentialrechnung wurde von Newton (1643-1727) und von Leibniz (1646-1716) unabhängig voneinander begründet. Zusammen mit der Integralrechnung wird sie „Infinitesimalrechnung“ oder auf Englisch „calculus“ genannt. Newton benötigte diese Art der Mathematik zur Beschreibung und Lösung von Problemen aus der Mechanik.
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

7. Reihen

Einen gewissen Einblick in Reihen und Taylorreihen haben wir schon im Kapitel über Differentialrechnung erhalten, nämlich beim Satz von Taylor. Hier wird eine (differenzierbare) Funktion durch ein (Taylor-) Polynom n-ten Grades angenähert. Wir stellen uns nun einfach vor, den Grad n dieses Polynoms immer größer zu wählen — so dass wir keine endliche Summe, sondern eine unendliche Summe erhalten.
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

8. Integration

Die Integralrechnung von Funktionen in einer Veränderlichen kennt man z.T. aus der Schule — hier hat man auch die anschauliche Bedeutung des Integrals ∫ a b f(x), dx als Flächeninhalt gelernt. Zum Glück läuft Integration aber nicht über Flächenmessung ab: Wenn man etwa ∫1 2 x 2 dx berechnen will, muss man nicht das Intervall [1,2] in kleine Teilintervalle unterteilen und über diesen Teilintervallen winzige Rechtecke ausmessen. Es genügt, eine so genannte Stammfunktion von f(x)=x 2, etwa F(x)=1/3 x 3, zu finden und diese Stammfunktion an den Integrationsgrenzen auszuwerten (F(2) − F(1)). Die Ableitung der Stammfunktion (hier F(x) = 1/3 x 3) ergibt wieder die ursprüngliche Funktion (hier f(x) = x 2). Die Integralrechnung ist also in gewisser Weise die Umkehrung der Differentialrechnung: Ableiten und Integrieren sind inverse Operationen. Dieser (im Moment noch) wenig exakten Formulierung liegt der so genannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zugrunde.
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

9. Die komplexen Zahlen

Die meisten Studierenden der Ingenieurwissenschaften oder der Mathematik haben eher früher als später mit Programmiersprachen und evtl. auch mit Computeralgebrasystemen zu tun, von den Informatikerinnen und Informatikern ganz zu schweigen. Meist sind dort gewisse Zahlentypen vordefiniert, etwa ganze Zahlen (integer) und reelle Zahlen (real, float, double), oft auch so genannte komplexe Zahlen (complex). Insbesondere in der Elektrotechnik (Regelungstechnik etc.) gehören diese Zahlen zum Handwerkszeug und leisten gute Dienste, denn die rein reelle Rechnung wäre wesentlich schwerfälliger und mühseliger.
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

10. Differentialgleichungen

Die fortschreitende Mathematisierung der Physik und der Technik im Zuge der Differential- und Integralrechnung führte recht schnell zur Entstehung eines weiteren Zweiges der Mathematik: Viele mechanische oder allgemein physikalische und technische Phänomene können nämlich durch Differentialgleichungen beschrieben werden. Ein Beispiel ist die Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite, die von viel mathematischer Prominenz, nämlich von Euler, D’Alembert, D.Bernoulli, später auch von Lagrange behandelt wurde
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

11. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Stellen Sie sich einmal vor, dass eine meist tödlich verlaufende Virusinfektion etwa drei Promille der Bevölkerung befällt. Und nehmen wir weiterhin an, es gäbe einen Test zur Früherkennung dieser Krankheit. (Im Zeitalter von Aids, Ebola und Alzheimer sind solche Gedankengänge nicht allzu abwegig, zumal abzusehen ist, dass u.a. durch die Genforschung mit immer mehr Tests zu rechnen ist.) Allerdings sind solche Tests zwar oft sehr gut, aber kaum perfekt: Der oben angesprochene Test entdeckt etwa zuverlässig 99.9 % der Befallenen. Andererseits produziert er aber auch falsche positive Ergebnisse, d.h. etwa 2 % der Gesunden werden durch den Test fälschlicherweise als positiv befunden. Wenn man Ihnen denn Ihr positives Testergebnis mitteilen würde, wären Sie dann entsetzt? Nun, es bestünde auch dann noch kein Anlass, sich auf Krankheit und Tod vorzubereiten, denn nur etwa 13% aller positiv Getesteten sind auch wirklich von der Krankheit befallen — Wer hätte das gedacht?
Yvonne Stry, Rainer Schwenkert

Backmatter

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