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2025 | Buch

Mathematik trainieren: Brüche, Funktionen & Co.

Womit man im MINT-Studium rechnen muss

verfasst von: Joachim Siegert, Nataliya Togobytska

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Dieses Buch gibt eine Hilfestellung bei der Vorbereitung auf ein MINT-Studium. Viele angehende Studierende dieser Fächer zeigen größere Lücken im elementaren mathematischen Grundwissen. Das Buch richtet sich an diejenigen, die mit Motivation und Fleiß ihre Kenntnisse in den ausgewählten mathematischen Themenkomplexen vor Studienbeginn und in den ersten Semestern verbessern möchten, speziell bei einer längeren Pause nach der Reifeprüfung oder ohne Abitur.

Das Buch animiert zum Wiederholen, Vertiefen und interaktiven Trainieren elementarer Zusammenhänge und Fertigkeiten, die insbesondere für MINT-Studiengänge wichtig sind. Neben dem Überprüfen des Wissensstandes und dem Reaktivieren bekannter Inhalte geht es dabei vor allem um das selbstständige Üben handschriftlicher Umformungen von Gleichungen und Ungleichungen, den Umgang mit Thermen und Funktionen, die Parameter enthalten sowie um eine zügige Bearbeitung der Aufgaben.

Die inhaltliche und methodisch-didaktische Gestaltung wurden in der zweiten Auflage grundlegend überarbeitet. Neu sind die Kapitel lineare Gleichungssysteme, Vektorrechnung und komplexe Zahlen/komplexer Rechnung.

In den einzelnen Kapiteln werden die theoretischen Sachverhalte zunächst bereitgestellt und an Beispielen erläutert. Übungsaufgaben und Tests regen zum selbstständigen Arbeiten und Lösen an.

Zwei nachfolgende separate Kapitel beinhalten die Lösungswege zu allen Übungen und Tests. Dabei werden wichtige Teilschritte ausführlich präsentiert, häufig anzutreffende Fehler kommentiert und falsche Herangehensweisen analysiert.

Das letzte Kapitel enthält Tipps und Hinweise zum Lernen im Semester sowie zur Vorbereitung bzw. dem taktisch klugen Vorgehen in schriftlichen Prüfungen.

Am Schluss findet man Links zu Lernvideos der Firma sofatutor.com, die in der Mediathek der HTW Berlin zur Verfügung stehen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Bruchrechnung und Umstellen von Gleichungen
Zusammenfassung
Beim Umstellen von Formeln bzw. Gleichungen und beim Zusammenfassen von Termen kommt man selten ohne Anwendung der Bruchrechnung aus. Oft treten dabei keine Zahlenwerte, sondern Variable und Parameter auf. In diesem Kapitel werden die grundlegenden Vorgehensweisen der Bruchrechnung erläutert und trainiert, dazu zählen die Bildung des Hauptnenners und die Beseitigung von Doppelbrüchen.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 2. Potenzen und Wurzeln
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die Vereinfachung von Ausdrücken trainiert, die Potenzen und Wurzeln mit verschiedenen Exponenten enthalten. Als Grundlage dienen die Potenz- und Wurzelgesetze. Die Anwendung der Potenzrechnung wird beim Rationalmachen des Nenners und beim Finden des Hauptnenners erläutert und geübt.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 3. Binomische Formeln und binomischer Lehrsatz
Zusammenfassung
Binomische Formeln und der binomische Lehrsatz werden in den MINT-Fächern oft verwendet und sollten deshalb in verschiedenen Schreibweisen und mit unterschiedlichen Variablen beherrscht werden. In diesem Kapitel werden der Binomialkoeffizient, die Fakultät, das Pascal'sche Dreieck, der binomische Lehrsatz und binomische Formeln erläutert und anschließend die Vereinfachung von Brüchen mithilfe binomischer Formeln trainiert. An alltäglichen Beispielen wird die Anwendung des Binomialkoeffizienten demonstriert.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 4. Polynomdivision
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die Polynomdivision bzw. Partialdivision wiederholt und mit anspruchsvolleren Beispielen trainiert. Es wird demonstriert, wie man diese Vorgehensweise verwenden kann, um bei einem Polynom mithilfe der Nullstellen Linearfaktoren abzutrennen und binomische Formeln zu beweisen.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 5. Mengenlehre
Zusammenfassung
Ein wichtiger Bestandteil der Mathematik ist die Mengenlehre. Mengen treten oft als Punktmengen auf bzw. werden in der Kombinatorik genutzt. Zentrale Grundbegriffe, Schreibweisen der Mengenlehre und Verknüpfungen von Mengen werden in diesem Kapitel erläutert und trainiert, wobei der Mengenbegriff selbst als bekannt vorausgesetzt wird. Beispiele für Anwendungen in der Kombinatorik runden das Ganze ab.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 6. Funktionen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden elementare Eigenschaften von Funktionen einer reellen Variablen trainiert: Monotonie, Symmetrie, Periodizität und Umkehrbarkeit. Weiterhin wird erläutert, wie sich Parameter auf den Verlauf eines Funktionsgraphen auswirken; dies ist insbesondere in MINT-Fächern von Bedeutung, wenn konkrete Zahlenwerte nicht zur Verfügung stehen und deshalb der Kurvenverlauf nur prinzipiell skizziert werden kann. Bei ausgewählten Zahlenfolgen bzw. diskreten Funktionen wird beispielhaft die Monotonie untersucht, wobei gleichzeitig das Rechnen mit einfachen Ungleichungen geübt werden kann.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 7. Lineare Funktionen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel trainiert der Leser lineare Funktionen, die verschiedenen Darstellungsformen einer Geradengleichung und deren Anwendung bei orthogonalen Geraden, der Berechnung des Schnittpunkts mehrerer Geraden sowie des Abstands eines Punktes zu einer Geraden. Ergänzt wird dies durch Aufgaben mit Betragsfunktionen und der grafischen bzw. rechnerischen Lösung linearer Ungleichungen. Als weiterer grundlegender Aspekt wird die Wirkung von Parametern auf den Verlauf von Geraden erläutert, wobei die Skizze des Graphen unter Beachtung von Verschiebungen, Streckung bzw. Stauchung und Spiegelung an den Achsen exemplarisch schrittweise entwickelt wird. Dieser einfache Algorithmus ist auf andere elementare Funktionen leicht übertragbar.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 8. Quadratische Funktionen
Zusammenfassung
Oft verwendet man in den MINT-Fächern quadratische Funktionen bzw. quadratische Terme, entsprechende elementaren Grundlagen setzt man als bekannt voraus. In diesem Kapitel werden quadratische Funktionen und damit verbundene Details wie p-q-Formel, Scheitelpunktform, quadratische Ergänzung, sowie die Lösung quadratischer Ungleichungen trainiert. Die in Kap. 7 vorgestellte Methode der schrittweisen Erzeugung der Skizze eines Funktionsgraphen wird auf Parabeln angewendet. Bei anspruchsvolleren Aufgaben mit Parametern werden zudem Bruchrechnung, binomischen Formeln und die Bestimmung von Schnittmengen geübt.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 9. Potenz- und Wurzelfunktionen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Potenz-, Hyperbel- und Wurzelfunktionen erläutert. Insbesondere bei Wurzelfunktionen muss der jeweilige Definitionsbereich beachtet werden, ebenso bei Wurzelgleichungen. Das Lösen von Wurzelgleichungen ist i. d. R. damit verbunden, dass Scheinlösungen auftreten können; daher ist bei diesen Aufgaben eine Probe unverzichtbar. Beim Lösen der Aufgaben werden Bruchrechnung, binomische Formeln, die Bestimmung von Schnittmengen und die p-q-Formel trainiert.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 10. Exponential- und Logarithmusfunktionen
Zusammenfassung
In den MINT-Fächern rechnet man häufig mit Logarithmen. In diesem Kapitel werden grundlegende Sachverhalte wie der Logarithmusbegriff, die Logarithmengesetze, Exponential- und Logarithmusfunktionen erläutert. Der Leser lernt und trainiert an Exponential- bzw. Logarithmusgleichungen den Umgang mit Logarithmen und das Logarithmieren. Insbesondere bei Logarithmusgleichungen ist der Definitionsbereich zu beachten. Bei der Lösung der Aufgaben werden binomische Formeln, die Lösung quadratischer Gleichungen mithilfe der p-q-Formel und die Bestimmung von Schnittmengen geübt.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 11. Trigonometrische Funktionen
Zusammenfassung
Viele Prozesse und Abläufe in der Technik und Informatik wiederholen sich periodisch; für ihre mathematische Beschreibung verwendet man trigonometrische Funktionen. In diesem Kapitel werden insbesondere die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensfunktion sowie die entsprechenden Umkehrfunktionen erläutert und trainiert. Grundlegende Sachverhalte wie Umrechnen von Bogenmaß in Grad, Winkelbeziehungen am Vollkreis, Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck, Additionstheoreme, der Satz des Pythagoras am Einheitskreis und die Lösung von Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen unter Beachtung der Periodizitätseigenschaft werden geübt.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 12. Kurven und Funktionen in Polarkoordinaten
Zusammenfassung
Jeder Punkt in der x-y-Ebene kann sowohl mit kartesischen Koordinaten als auch mit Polarkoordinaten beschrieben werden. Bei Aufgaben, die mit Kreisen, Ellipsen und anderen Kurven zusammenhängen, ist die Benutzung von Polarkoordinaten oftmals vorteilhafter und an die Anwendung angepasster als die Verwendung kartesischer Koordinaten. Viele in der Technik auftretende Kurven sind zudem mithilfe von Funktionen in Polarkoordinaten einfacher darstellbar und leichter zu analysieren. In den Ingenieurwissenschaften gelingt es damit oft besser, vor allem Bewegungsabläufe mathematisch zu beschreiben. In diesem Kapitel werden grundlegende Sachverhalte, der Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten, die Beschreibung von Kreisen und Ellipsen sowie die Anwendung von Funktionen in Polarkoordinaten bei ebenen Kurven erläutert und geübt.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 13. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Lineare (algebraische) Gleichungssysteme werden in vielen Gebieten der Technik- und Wirtschaftswissenschaften zur mathematischen Modellierung eingesetzt. Alle unbekannten Größen treten dabei linear auf. In den Anwendungen enthalten die Gleichungen nicht selten konstante Parameter, die dann auch in die Lösung übergehen. In diesem Kapitel werden die für die Handrechnung geeigneten Systeme mit zwei Unbekannten betrachtet. Verschiedene Lösungsverfahren, Lösbarkeitseigenschaften und Zusammenhänge mit linearen Funktionen und Ungleichungen werden erläutert und trainiert. Ausführlich wird auf Gleichungssysteme mit spezieller Struktur eingegangen.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 14. Vektorrechnung
Zusammenfassung
In vielen Anwendungen im MINT-Bereich wird Vektorrechnung benötigt, sei es bei der Berechnung von Bahnkurven oder Bewegungsabläufen von Robotern, der mathematischen Beschreibung von Schwingungen, Strömungen und anderer zeit- bzw. geschwindigkeitsabhängiger Prozesse, der Untersuchung von Kraftwirkungen oder der Erzeugung von Kurven in der Computergrafik. In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Vektorrechnung in der x-y-Ebene wiederholt, an Beispielen erläutert und geübt. Dazu zählen der Zusammenhang zwischen Koordinaten und Komponenten, das Rechnen mit Vektoren, das Skalarprodukt, die orthogonale Projektion, das Zerlegen eines Vektors in Komponenten bzgl. zweier linear unabhängiger Vektoren. Damit sollen insbesondere Studierende unterstützt werden, die keine oder nur geringe Vorkenntnisse auf diesem Gebiet besitzen.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 15. Komplexe Zahlen und komplexwertige Rechnung
Zusammenfassung
Bei der theoretischen Untersuchung von mechanischen und elektrischen Schwingungen, der mathematischen Beschreibung von Stromkreisen und der Übertragung von Signalen bietet die Menge der reellen Zahlen nur unzureichende Möglichkeiten; es werden komplexe Zahlen und komplexwertige Rechnungen benutzt. Einige Sachverhalte sind dabei zumindest ähnlich zu den Vorgehensweisen im Reellen bzw. in der Vektorrechnung, andere jedoch unterscheiden sich grundlegend und erfordern ein völlig anderes Vorgehen. In diesem Kapitel werden die grundlegenden Sachverhalte und Schreibweisen der komplexen Zahlen erläutert und geübt. Dazu zählen Betrag und Argument, Grundrechenarten, Potenzieren und Radizieren, die Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene und das Lösen von Ungleichungen.
Auch mit diesem Kapitel sollen insbesondere Studierende unterstützt werden, die keine oder nur geringe Vorkenntnisse auf diesem Gebiet besitzen bzw. ohne Abitur.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 16. Hinweise und Lösungen zu den Übungen
Zusammenfassung
In diesem ergänzenden Kapitel wird insbesondere dem Leser mit größeren Problemen in der Elementarmathematik Hilfe und Unterstützung zur Lösung der Übungsaufgaben der vorherigen Kapitel angeboten. Die detaillierten Hinweise bestehen aus kleinen leicht nachvollziehbaren Teilschritten. Bei der Lösung der Aufgaben werden Bruchrechnung, Umstellen von Gleichungen, binomische Formeln, die Anwendung der p-q-Formel und die Lösung von linearen und quadratischen Ungleichungen besonders geübt.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 17. Hinweise und Lösungen zu den Tests
Zusammenfassung
In diesem ergänzenden Kapitel werden die Lösungen der Testaufgaben ausführlich erläutert und falsche Lösungen kommentiert. Die Testaufgaben der Kap. 1-15 sollte man unter Beachtung der vorgegebenen Zeit vorab selbstständig lösen, vielleicht auch als Eingangstest zum entsprechenden Themengebiet. Oft kann die Lösung auf verschiedenen Wegen erfolgen. Daher kann dieses Kapitel auch zum Vergleich der eigenen Vorgehensweisen sowie zur Kontrolle der korrekten mathematischen Schreibweise genutzt werden. Gleichzeitig trainiert man bei der Durchführung umfangreicherer händischer Rechnung Ausdauer und Arbeitsgeschwindigkeit.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Kapitel 18. Hinweise zum Studium und Tipps für Klausuren
Zusammenfassung
Studieren will gelernt sein. Dazu gehören Disziplin, Fleiß, Strukturen, Organisation und eine effektive Lernmethodik. Die allgemeinen Hinweise und Tipps in diesem Kapitel sollen helfen, möglichst ohne enttäuschende Fehlleistungen und ohne Prüfungsangst nicht nur im Fach Mathematik zum Erfolg zu gelangen. Das Spektrum der Ratschläge und Empfehlungen reicht von Kleinigkeiten bis hin zu grundsätzlichen Aspekten, die häufig für Studierende nicht selbstverständlich sind. In dieses Kapitel sind Erfahrungen aus eigener jahrzehntelanger Lehrtätigkeit, aus Diskussionen im Kollegenkreis und von erfolgreichen Studierenden verschiedener Studiengänge eingeflossen, die ihrerseits als Tutoren langjährig mit Studienanfängern in MINT-Fächern gearbeitet haben.
Joachim Siegert, Nataliya Togobytska
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik trainieren: Brüche, Funktionen & Co.
verfasst von
Joachim Siegert
Nataliya Togobytska
Copyright-Jahr
2025
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-70607-7
Print ISBN
978-3-662-70606-0
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-70607-7