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Über dieses Buch

Gegen Angst vor Mathematik hilft Verstehen. Dieses Buch setzt nur elementare Schulkenntnisse voraus und führt schrittweise und systematisch von der Bruchrechnung bis zu erstaunlichen Sätzen der Höheren Mathematik. Ausgehend von Problemstellungen aus Elektrotechnik und Maschinenbau werden Differenzial- und Integralrechnung, Vektorrechnung, Differenzialgleichungen, Fourier-Reihen, Integraltransformationen sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik behandelt.

Neben vielen Anwendungsbeispielen aus den Ingenieurwissenschaften finden Sie zu jedem Kapitel zahlreiche Aufgaben (mit Lösungen auf der Website) zum Selbstrechnen.

In der zweiten Auflage wurde unter Berücksichtigung der Leserwünsche der Stoffumfang behutsam erweitert, didaktisch überarbeitet und durch weitere anschauliche Beispiele ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Grundlagen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wiederholen wir den Schulstoff bis zum Beginn der Oberstufe. Das wäre allerdings langweilig, wenn wir nicht schon vor dem Hintergrund der späteren Anwendungen darüber hinausgehende Inhalte einflechten würden (z. B. das Rechnen mit komplexen Zahlen). Außerdem wird in diesem Kapitel eine korrekte mathematische Schreibweise eingeführt. Vielfach herrscht Verwirrung, wann man ein Gleichheitszeichen, wann ein Folgerungszeichen und wann ein Äquivalenzzeichen benutzt. Deshalb beginnen wir mit Grundbegriffen aus Mengenlehre und Logik. Dann kommen wir zu Zahlen und zum Rechnen.
Steffen Goebbels, Stefan Ritter

Chapter 2. Differenzial- und Integralrechung

Zusammenfassung
In diesem und den nächsten Kapiteln beschäftigen wir uns mit der Analysis. Kern dieser Disziplin ist der Umgang mit Näherungswerten, die sich beliebig genau machen lassen. Das führt zu Grenzwertaussagen wie die Berechnung von Ableitungen und Integralen. Damit können wir dann z. B. aus der momentanen Änderung des magnetischen Flusses eine induzierte Spannung berechnen. In diesem Kapitel wagen wir damit den Sprung ins unendlich Kleine und unendlich Große. Heute ist das ungefährlich, aber vor gut 400 Jahren war es das Todesurteil für den Philosophen Giordano Bruno, der für seine Thesen zur Unendlichkeit des Weltalls und der Zeit auf dem Scheiterhaufen landete.
Steffen Goebbels, Stefan Ritter

Chapter 3. Lineare Algebra

Zusammenfassung
Viele physikalische Größen sind durch Angabe eines reellen Wertes bestimmt, wie z. B. die Masse, die Temperatur oder die Leistung. Man bezeichnet sie als Skalare. Feldstärken und Kräfte wirken in eine Richtung, und auch Geschwindigkeiten werden nicht allein durch ihren Betrag, sondern erst durch Angabe der Richtung eindeutig.
Steffen Goebbels, Stefan Ritter

Chapter 4. Funktionen mit mehreren Variablen

Zusammenfassung
Bislang haben wir Funktionen f : D ⊂ ℝ → ℝ betrachtet. Ein reeller Definitionsund Wertebereich ist aber bei Vorgängen in der Wirklichkeit eher selten. Die Regel ist, dass Abhängigkeiten von vielen Parametern bestehen und auch viele Größen beeinflusst werden.
Steffen Goebbels, Stefan Ritter

Chapter 5. Gewöhnliche Differzialgeichungen

Zusammenfassung
Differenzialgleichungen sind von fundamentaler Bedeutung für die Ingenieurmathematik, da viele physikalische Gesetze durch Differenzialgleichungen formuliert sind. Denn oft verhalten sich Größen proportional zu Änderungsraten, also zu Ableitungen. Durch Lösen von Differenzialgleichungen werden wir u. a. die folgenden Fragen beantworten:
  • Wie biegt sich das Seil einer Hängebrücke (Kettenlinie) durch?
  • Wie alt ist ein fossiler Knochen?
  • Wie können wir Kaffee durch Zugabe von Milch schnell abkühlen?
  • Wie entwickeln sich die Ströme beim Einschalten einer Spannung in einem elektrischen Netzwerk?
Mit der Herleitung von Differenzialgleichungen aus physikalischen oder technischen Aufgabenstellungen beschäftigt sich die Mathematische Modellierung.
Steffen Goebbels, Stefan Ritter

Chapter 6. Fourier-Reihen und Integraltransformationen

Zusammenfassung
In Kapitel 1.6.5 haben wir für Spannungen der Form u(t) = û cos(ωt + φ u ) gesehen, dass das Ohm’sche Gesetz auch für Spulen und Kondensatoren gilt. Dabei rechnet man mit komplexen Widerständen (Impedanzen). Diese Widerstände hängen von der Kreisfrequenz ω ab und lassen sich nur für Spannungen angeben, die genau die angegebene Form haben. Wie kann man nun die Ströme berechnen, wenn statt einer kosinusförmigen Spannung ein anderer periodischer Spannungsverlauf vorliegt (z. B. eine Sägezahnspannung)? Uns wäre damit geholfen, wenn man diese periodische Spannung schreiben könnte als Überlagerung (Summe) von kosinusförmigen Spannungen, so dass wir für jede einzelne Spannung die Ströme bestimmen und diese dann anschließend überlagern können. Damit beschäftigen wir uns in diesem Kapitel. Die generelle Idee dabei ist, ein kompliziertes Problem in ein einfacheres zu transformieren, es in der einfacheren Form zu lösen und schließlich diese Lösung in die Lösung des Ausgangsproblems zurückzutransformieren. Möchte man Eisen verformen, so ist es auch einfacher, zunächst das Eisen zu erwärmen (Transformation), es im erwärmten Zustand zu verformen (Lösung des einfacheren Problems) und es anschließend wieder abzukühlen (Rücktransformation).
Steffen Goebbels, Stefan Ritter

Chapter 7. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Zusammenfassung
„Statistics are like bikinis. What they reveal is suggestive, but what they conceal is vital.“ – Aaron Levenstein. Der Begriff „Statistik“ ist aus einer Vorlesung mit der Bezeichnung „collegium politico-statisticum“ von Martin Schmeitzel (1679–1747) entstanden (siehe (Menges, 1982, S. 4)). Hier ging es um Staatenkunde, eine Disziplin, die sich mit (ziemlich vagen) Informationen über Staaten beschäftigte – ein entfernter Vorläufer der heutigen Statistik. Heute werden mittels Statistik große und unübersichtliche Datenmengen übersichtlich aufbereitet. Mit der Darstellung der Daten und der Berechnung von aussagekr äftigen Kenngrößen besch¨aftigt sich die beschreibende Statistik (deskriptive Statistik, siehe Kap. 7.1).
Steffen Goebbels, Stefan Ritter

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