Mathematik visuell und interaktiv

Frontmatter

Kapitel 1. Boolesche Algebren und Mengen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden zunächst die wichtigsten Grundlagen der mathematischen Logik zusammengefasst. Aus Aussagen und logischen Verknüpfungen entsteht eine Struktur, die sich sowohl in der (naiven) Mengenlehre als auch bei der Zusammensetzung von Schaltern oder von logischen Bausteinen mit binären Zuständen wiederfindet. In der Mengenlehre wird dies visualisiert mit sogenannten Venn-Diagrammen. Damit wird die gemeinsame Basis des mathematischen Argumentierens und der digitalen Algorithmen sichtbar.

Hans Cycon

Kapitel 2. Elementare Funktionen und grundlegende Formeln

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die elementaren Funktionen und Formeln vorgestellt, die zentrale Bedeutung für die Formulierung von technischen und physikalischen Zusammenhängen und Abhängigkeiten haben.

Hans Cycon

Kapitel 3. Komplexe Zahlen und komplexe Abbildungen

Zusammenfassung

Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen. Dies ist nicht nur eine rein mathematische Erweiterung (man kann nun alle quadratischen Gleichungen lösen), sondern komplexe Zahlen führen auch mit Hilfe der Eulerschen Gleichungen zu vereinfachten āSchreibweisen in der Elektrotechnik.

Hans Cycon

Kapitel 4. Zahlenfolgen und Reihen

Zusmmenfassung

In diesem Kapitel werden Begriffe wie Zahlenfolgen, Zahlenreihen, Konvergenz und Grenzwerte eingeführt. Folgen, die Grenzwerte haben, liefern Aussagen über die „Feinstruktur“ der reellen Zahlen und erweitern die Menge der rationalen Zahlen \({\mathbb{Q}}\) zur Menge der reellen Zahlen \({\mathbb{R}}\). Indem man Grenzwerte von konvergenten Folgen hinzunimmt, werden die reellen Zahlen „vollständig“.

Hans Cycon

Kapitel 5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Eigenschaften von Funktionen analysiert. Es stellt sich die Frage, wie sich Funktionen verhalten, wenn man in ihrem Definitionsbereich konvergente Folgen betrachtet.

Hans Cycon

Kapitel 6. Differentialrechnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird der Begriff der Ableitung einer Funktion eingeführt. Ein typisches Beispiel für eine Ableitung in der Physik ist die Geschwindigkeit bei der Beschreibung von Bewegungen. Geometrisch kann man die Ableitung als die Steigung der Tangente einer Kurve interpretieren. Die Mathematik, die sich mit Ableitungen beschäftigt, heißt Differentialrechnung. Sie beruht wesentlich auf dem Konzept von Grenzwerten.

Hans Cycon

Kapitel 7. Funktionenreihen

Zusammenfassung

Wie bei den Zahlenreihen in Abschn. 4.2 betrachten wir nun Funktionenreihen, anschaulich „unendliche“ Summen von Funktionen. Dabei beschränken wir uns hier auf Summen von Polynomen, sogenannte Potenzreihen. Polynome sind „einfache“ Funktionen.

Hans Cycon

Kapitel 8. Integralrechnung im Eindimensionalen

Zusammenfassung

Die Integralrechnung beantwortet im Prinzip zwei Fragen, die zunächst sehr verschieden erscheinen: Einerseits die praktische Frage, wie man Flächen unter krummlinigen Kurven berechnen kann. Andererseits die mehr theoretische Frage, ob man zu jeder Funktion eine sogenannte Stammfunktion finden kann, deren Ableitung diese Funktion ist.

Hans Cycon

Kapitel 9. Vektorrechnung

Zusammenfassung

Vektoren sind gerichtete Größen in Physik und Technik, die durch Länge und Richtung beschrieben werden. Sie eignen sich daher in der Mechanik zur Darstellung z. B. von Kraft, Geschwindigkeit oder Drehmomenten, die ja gerichtete Wirkungen haben. In der Elektrotechnik dienen Vektoren zur Beschreibung von magnetischen und elektrischen Feldern, deren Wirkung sich auch über Kräfte auf Ladungen und elektrische Ströme manifestiert.

Hans Cycon

Kapitel 10. Vektorräume (Lineare Räume)

Zusammenfassung

Eine zentrale Eigenschaft von Vektoren ist die Linearität, das heißt, dass man Vektoren addieren und mit einer Zahl multiplizieren kann und das Ergebnis wieder ein Vektor ist. Die einfachsten Beispiele sind dabei die Spaltenvektoren in den Räumen \({\mathbb{R}}^{2}\) und \({\mathbb{R}}^{3}\) (s. Abschn. 9.2.3). Diese Eigenschaft zusammen mit entsprechenden Rechenregeln findet sich aber auch in vielen anderen Mengen, z. B. bei Funktionen, linearen Abbildungen, Lösungsmengen von linearen Differentialgleichungen oder Matrizen. Wir haben also verschiedene Mengen mit gleicher Struktur.

Hans Cycon

Kapitel 11. Matrizen und Determinanten

Zusammenfassung

Matrizen sind Zahlenschemata, die als Koeffizienten bei linearen Gleichungssystemen das System bestimmen. Auch lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen werden durch sie beschrieben (s. Abschn. 10.3 und 11.5). In Abschn. 11.1 sehen wir, dass gleichartige Matrizen Vektorräume bilden. Matrizen können auch miteinander multipliziert werden. Dies wird in Abschn. 11.2 definiert und demonstriert.

Hans Cycon

Kapitel 12. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Lineare Gleichungssysteme spielen außer in der Mathematik und Physik auch in vielen Gebieten wie Elektrotechnik (Ströme und Spannungen in einem elektrischen Netzwerk), in der Statik (Kräfte in Fachwerken und Brücken) und der Wirtschaft (Kostenrechnungen, lineare Optimierung) eine Rolle. Sie entstehen immer dann, wenn eine Größe von mehreren Variablen linear abhängt. Lineare Gleichungssysteme bestehen aus Gleichungen, bei denen die Unbekannten (d. h. die gesuchten Variablen \(x_{i}\)) nur linear, das heißt nur in der ersten Potenz und nicht als Produkt oder als nichtlineare Funktionen wie sin(x), ln(x) etc. vorkommen.

Hans Cycon

Kapitel 13. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Aus mathematischer Sicht sind Differentialgleichungen Gleichungen, bei denen die gesuchte „Unbekannte“ eine Funktion y(x) ist und neben der gesuchten Funktion auch ihre Ableitungen und die unabhängige Variable x vorkommen. In diesem Sinne könnte man das Lösen von Differentialgleichungen als Verallgemeinerung der unbestimmten Integralrechnung verstehen.

Hans Cycon

Kapitel 14. Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Zusammenfassung

In Physik und Technik werden häufig Funktionen von drei Raumvariablen oder von 3+1 Raum-Zeit-Variablen benötigt, z. B. um Temperaturfelder oder elektromagnetische Felder zu beschreiben. Analog zur Analysis von Funktionen einer Variablen kann man die Analysis im Mehrdimensionalen und daraus die Differential- und Integralrechnung im Mehrdimensionalen entwickeln.

Hans Cycon

Kapitel 15. Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit

Zusammenfassung

Wie bei Funktionen im Eindimensionalen gibt es auch bei Funktionen im Mehrdimensionalen Ableitungen. Dabei werden in Abschn. 15.1 zunächst die Ableitungen der Koordinatenschnittlinien berechnet und zur Unterscheidung zur Ableitung im Eindimensionalen als partielle Ableitungen bezeichnet.

Hans Cycon

Kapitel 16. Relative Extremwerte von Funktionen im Mehrdimensionalen

Zusammenfassung

Analog zum Eindimensionalen kann man mit Hilfe der Differentialrechnung Maxima und Minima von Funktionen im Mehrdimensionalen finden und beschreiben. In diesem Kapitel werden „glatte“ (d. h. stetige differenzierbare) Funktionen z = f (x,y) mit \(\left( {x,y} \right) \in D_{f} \subset {\mathbb{R}}^{2}\) (d. h. Flächen in \({\mathbb{R}}^{3}\)) untersucht. Solche Flächen können Hoch- und Tiefpunkte haben aber auch Sattelpunkte wie in Kap. 14 dargestellt.

Hans Cycon

Kapitel 17. Integralrechnung im Mehrdimensionalen

Zusammenfassung

Doppelintegrale bzw. Dreifachintegrale sind (bestimmte) Integrale im Mehrdimensionalen. Sie dienen zur Berechnung von Volumina, Flächen, Massen, elektrischen Ladungen, Trägheitsmomenten usw. in einem Raumgebiet, das durch komplizierte Ränder begrenzt sein kann. Ein großer Teil der mathematisch strengen Behandlung der Integralrechnung beschäftigt sich mit der Diskussion der Randfunktionen und Randkurven, d. h. mit der Frage, ob „zerrissene“ Ränder, Löcher oder isolierte Punkte vorkommen.

Hans Cycon

Kapitel 18. Vektoranalysis

Zusammenfassung

Grundlegende Erscheinungen in Physik und Technik sind Kraftfelder wie Gravitationsfelder, magnetische und elektrische Felder oder auch Temperaturfelder.

Hans Cycon

Kapitel 19. Fourier-Reihen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Fourier-Reihen eingeführt. Das sind Funktionenreihen (d.h. „unendliche“ Summen von Funktionen) bestehend aus Sinus- und Kosinusfunktionen, mit denen man periodische Funktionen darstellen kann, s. Abschn. 19.1. Die Koeffizienten der Reihe werden, wenn auf der Frequenzachse aufgetragen, zum Spektrum der periodischen Funktion.

Hans Cycon

Kapitel 20. Fourier-Transformationen

Zusammenfassung

Das Video 20.1 bietet eine Einführung zu Fourier-Transformationen.

Hans Cycon

Kapitel 21. Laplace-Transformationen

Zusammenfassung

Laplace-Transformationen sind wie Fourier-Transformationen uneigentliche Parameterintegrale. Fourier-Transformationen haben den Nachteil, dass die Fourier-Integrale nicht für alle Funktionen konvergieren, z. B. wenn sie nicht „schnell genug“ abfallen (s. Beispiel 20.3). Die Integrale der Laplace-Transformationen dagegen existieren sogar für einige ansteigende Funktionen (s. Bemerkung 21.1, 2)).

Hans Cycon

Backmatter