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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen

Zusammenfassung
Zum Zählen, genauer zum Abzählen der Elemente endlicher Mengen, genügen die Zahlen 1, 2, 3, 4 usw. Die Gesamtheit dieser Zahlen, zu denen man noch die Null hinzunehmen kann, nennt man die Menge N der natürlichen Zahlen:
$$ {\text{N}}\,{\text{ = }}\,\{ 0,1,2,3,4,5,6, \ldots \}$$
.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

2. Potenzen und Wurzeln

Zusammenfassung
Der vorliegende Abschnitt dient vor allem der Wiederholung der Potenz- und Wurzelgesetze. Dabei kommt es hauptsächlich darauf an, Fertigkeiten bei deren Anwendung zu entwickeln. Es wird empfohlen, bei der Anwendung der Wurzelgesetze die Wurzeln grundsätzlich in Potenzen mit rationalen Exponenten umzuwandeln. Neben der formal richtigen Anwendung der Rechenregeln sollte streng auf die Voraussetzungen für deren Gültigkeit geachtet werden. Insbesondere darf nicht gegen die Definition der Wurzel verstoßen werden, nach der sowohl Radikand als auch Wurzelwert nichtnegative Zahlen sind. Bei der Anwendung der Potenzgesetze ist zu berücksichtigen, daß diese für Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten nur gelten, wenn für die Basis positive Zahlen vorausgesetzt werden.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

3. Logarithmen

Zusammenfassung
Der vorliegende Abschnitt dient der Erfassung des Begriffes Logarithmus und dem Erwerb von Fertigkeiten bei der Anwendung der Logarithmengesetze, wobei wiederum streng auf die Einhaltung der Voraussetzungen zu achten ist.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

4. Goniometrie

Zusammenfassung
Auch dieser Abschnitt trägt wiederholenden Charakter. Er dient vor allem dazu, Fertigkeiten bei Winkelberechnungen (goniometrische Berechnungen) im Grad- und Bogenmaß, bei der Anwendung der Winkelfunktionen für die Berechnung am rechtwinkligen und allgemeinen Dreieck sowie bei der Anwendung der trigonometrischen Formeln für die Umformung von trigonometrischen Ausdrücken zu entwickeln. Vorangestellt wird eine Zusammenfassung elementargeometrischer Begriffe und Gesetze.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

5. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung
Im Abschnitt 1 hatten wir das Zahlensystem bis zur Menge R der reellen Zahlen aufgebaut. Mit den reellen Zahlen war nicht nur das Zählen, sondern auch das Messen uneingeschränkt durchführbar.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

6. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Zusammenfassung
Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet
$$ {\text{Ax}}\,{\text{ = }}\,{\text{a}}{\text{.}}$$
(6.1)
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

7. Einige Grundbegriffe der mathematischen Logik

Zusammenfassung
Als Logik bezeichnet man die Wissenschaft, die die Gesetze des richtigen Denkens erforscht. Die Logik beschäftigt sich mit den Elementen des Denkens (Begriffen, Urteilen, Schlüssen) sowie mit den Beziehungen zwischen ihnen. Im Rahmen dieses Abschnittes werden Grundbegriffe der grundlegenden Disziplin der mathematischen Logik, des Aussagenkalküls, dargestellt. Der Aussagenkalkül befaßt sich mit der Theorie der Wahrheitswerte und der Wahrheitsfunktionen.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

8. Beweismethoden

Zusammenfassung
In der Mathematik werden, ausgehend von gewissen Voraussetzungen V, Behauptungen (mathematische Sätze) B formuliert und bewiesen. Voraussetzungen und Behauptungen sind Aussagen, ihre Verknüpfung im mathematischen Satz sind Implikationen: V ⇒ B. Der Beweis besteht im Nachweis des Wahrheitswertes w der Behauptung B, und bei diesem Nachweis wird B aus V und bereits bewiesenen Sätzen gefolgert. Für dieses Folgern gibt es verschiedene Methoden.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

9. Grundbegriffe der Mengenlehre

Zusammenfassung
Der in der Mathematik verwendete Mengenbegriff wird auch im täglichen Leben häufig gebraucht. Man spricht zum Beispiel von der Menge der Schüler einer Schule, der Menge der Bücher einer Bibliothek, der Menge der Planeten des Sonnensystems. Man gebraucht den Mengenbegriff also immer dann, wenn Objekte einer bestimmten Art, Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft zu einer Gesamtheit zusammengefaßt werden sollen. In diesem Sinne spricht man auch in der Mathematik zum Beispiel von der Menge der ganzen Zahlen, der Menge der Lösungen einer Gleichung, der Menge der Punkte einer Kurve. Deshalb erklären wir den Mengenbegriff wie folgt: Die Objekte, die zu einer Menge gehören, heißen Elemente der Menge. Mengen werden gewöhnlich mit großen lateinischen Buchstaben, ihre Elemente mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Ist x Element der Menge M, so wird das durch x ∈ M (lies: x ist Element von M) symbolisiert. Ist x nicht Element von M, so schreibt man \({\text{x}}\, \notin \,{\text{M}}{\text{.}}\)
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

10. Kombinatorik — Binomischer Satz

Zusammenfassung
In den Abschnitten 10.1 und 10.2 werden als mathematische Hilfsmittel zur Formulierung des binomischen Satzes (Abschnitt 10.3) und für die Kombinatorik (Abschnitt 10.4) die Begriffe Fakultät und Binomialkoeffizient eingeführt.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

11. Lineare Algebra

Zusammenfassung
Der vorliegende Hauptabschnitt ist insbesondere der Lösung von Systemen aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten gewidmet, wobei die Anzahl m der Gleichungen kleiner oder gleich oder größer als die Anzahl n der Unbekannten sein kann.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

12. Algebraische Gleichungen

Zusammenfassung
Alle Gleichungen, die nicht auf die Normalform der linearen Gleichung
$$ {\text{A}}\,{\text{*}}\,{\text{x}}\, = \,{\text{a}}$$
(12.1)
gebracht werden können, heißen nichtlineare Gleichungen. Ihre allgemeine Form lautet
$$ {\text{F(x)}}\,{\text{ = }}\,{\text{0,}}$$
(12.2)
wobei F(x) irgendein nichtlinearer Ausdruck in x ist. Die Gleichung (12.2) lösen heißt, alle Werte x zu bestimmen, für die (12.2) gilt. Dabei ist es wichtig festzulegen, ob man nur reelle Lösungen x sucht oder ob man auch komplexe Werte für die Lösung zuläßt.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

13. Transzendente Gleichungen

Zusammenfassung
Es wurde bereits im Abschnitt 12.1 darauf hingewiesen, daß hier nur einige Typen transzendenter Gleichungen behandelt werden, die sich auf algebraische Gleichungen zurückfuhren lassen. Da die Zurückführung auf algebraische Gleichungen wie bei den Wurzelgleichungen mit Umformungen verbunden ist, gilt wie dort: Es werden wie bei den Wurzelgleichungen nur die reellen Lösungen gesucht.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

14. Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen

Zusammenfassung
Eine Ungleichung entsteht, wenn zwei Terme T1 und T2 durch ein Relationszeichen <, ≤, > oder ≥ verbunden werden.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

15. Elementare Funktionen

Zusammenfassung
Ausgehend von der historischen Entwicklung des Funktionsbegriffes (J. Bernoulli, Euler, Dirichlet), kann die Funktion wie folgt abstrakt erklärt werden:
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

16. Analytische Geometrie der Ebene

Zusammenfassung
Um die geometrischen Objekte (Punkte, Kurven, Vielecke u. a.) mit den Mitteln der analytischen Geometrie untersuchen zu können, legt man diese in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. Dadurch erhält man eine eindeutige Zuordnung eines jeden Punktes der Ebene zu einem geordneten Zahlenpaar (x; y), den Koordinaten des Punktes. Vorläufig genügt es, mit einem zweidimensionalen kartesischen (d. h. rechtwinkligen) Koordinatensystem zu arbeiten.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

17. Vektorrechnung

Zusammenfassung
Verschiebt man einen Punkt auf kürzestem Wege von der Stelle A nach der Stelle A’, so wird der Strecke \(\overline {AA'} \) außer Länge und Richtung noch ein Richtungssinn zugeordnet; man schreibt dafür \(\overrightarrow {AA'} \).
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

18. Zahlenfolgen

Zusammenfassung
Die bisherigen Abschnitte behandelten Gebiete der sog. Elementarmathematik. Mit dem vorliegenden Abschnitt beginnt nun die höhere Mathematik. Der wesentliche Grundbegriff, auf dem die höhere Mathematik aufbaut, ist der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

19. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

Zusammenfassung
Zunächst sollen die Begriffe Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion y = f(x), x ∈ D, anschaulich eingeführt werden. Anschließend werden diese Begriffe dann streng mathematisch formuliert.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

20. Differentialrechnung

Zusammenfassung
Im vorliegenden Hauptabschnitt wird ein wesentliches Kernstück der höheren Mathematik behandelt, insbesondere der Infinitesimalrechnung. Von grundlegender Bedeutung ist dabei der Begriff des Differentialquotienten bzw. der Ableitung einer Funktion, der im Abschnitt 20.1 eingeführt wird. Es kommt darauf an, diesen Begriff anschaulich in seiner praktischen Bedeutung zu erfassen. Es ist dann auch notwendig, ihn mathematisch abstrakt zu begreifen, um falsche Anwendungen zu vermeiden.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

21. Integralrechnung

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt soll die Frage beantwortet werden, aus welcher Funktion F(x) eine vorliegende Funktion f(x) durch Differentiation hervorgegangen ist. Es ist also die zum Differenzieren entgegengesetzte Rechenoperation gesucht. Selbstverständlich muß man sich bei der Behandlung dieses Problems auf ein solches Intervall beziehen, in dem die Funktion f(x) definiert ist.
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi

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