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Über dieses Buch

Dieses kompakte Mathematikbuch vermittelt den Studierenden Kenntnisse, die notwendig sind, um die Inhalte der Lehrbücher Elektrotechnik für Ingenieure 1 bis 3 zu verstehen. Selbstverständlich kann es auch von Studierenden anderer Fachrichtungen genutzt werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Algebraische Grundlagen

In den algebraischen Grundlagen wird zunächst das Zahlensystem von natürlichen über rationale bis zu den komplexen Zahlen behandelt, das durch die Grundrechenoperationen begründet ist, weil durch sie der Zahlenraum jeweils erweitert wird. Für manche Studierende ist es wichtig, dass die Bruchrechnung, die Potenzrechnung, das Radizieren und die Logarithmen zusammengefasst wiederholt werden. Ungleichungen und Gleichungen runden diese Grundlagen ab.
Wilfried Weißgerber

2. Die Funktion

Funktionen in expliziter und implizierter Darstellung und in Parameterform dienen der Beschreibung physikalischer Vorgänge, die im kartesischen Koordinatensystem durch Punktmengen darstellbar sind. In einer Übersicht und im Folgenden werden sämtliche Funktionen mit zwei Veränderlichen rechnerisch und grafisch behandelt.
Wilfried Weißgerber

3. Vektoralgebra

Rechenoperationen mit Vektoren, grafisch und in Koordinatenschreibweise werden in diesem Kapitel behandelt, wobei die Matrizenrechnung zur Anwendung kommt. Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt, die für die Beschreibung physikalischer Vorgänge wichtig sind, werden mit Beispielen erläutert.
Wilfried Weißgerber

4. Folgen und Grenzwerte

Zahlenfolgen und ihre Grenzwerte sind Voraussetzung für die Behandlung der Grenzwerte von Funktionen, mit denen die Stetigkeit von Funktionen definiert wird. Unstetigkeiten von Funktionen sind Unendlichkeitstellen, Lücken, Sprungstellen, Einsiedlerpunkte und Oszillationspunkte, die hier beschrieben werden.
Wilfried Weißgerber

5. Differentialrechnung

Zunächst wird in diesem Kapitel erklärt, worin das Wesentliche der Differentialrechnung besteht, indem aus dem Geschwindigkeit-Zeit-Problem der Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet wird. Dann werden sämtliche Differentiationsregeln hergeleitet. Höhere Ableitungen sind für Extremwerte und Wendepunkte von Funktionen wichtig. Abschließend wird für die Grenzwertberechnungen die Regel von Bernoulli und de l´Hospital mit vielen Beispielen behandelt. Um die Differentiationsregeln und wichtige Ableitungen von Funktionen für weitere Berechnungen parat zu haben, gibt es dafür eine tabellarische Zusammenfassung.
Wilfried Weißgerber

6. Grundlagen der Integralrechnung

Die Integralrechnung als Umkehrung der Differentialrechnung führt zum unbestimmten Integral, das mit Beispielen erläutert wird. Das bestimmte Integral wird dreifach gedeutet: als Funktionswert des partikulären Integrals, als Fläche und als Grenzwert einer Teilsummenfolge. Zwei Arten von uneigentlichen Integralen werden unterschieden. Dann werden formale Integrationsverfahren behandelt: Integration durch Substitution, mit partieller Integration und Integration nach Partialbruchzerlegung. Schließlich werden Formeln für die numerische Integration hergeleitet.
Wilfried Weißgerber

7. Anwendungen der Differentialrechnung

Um Funktionen im kartesischen Koordinatensystem darstellen und beurteilen zu können, sind die Inhalte der Kapitel 4 und 5 Voraussetzung; es handelt sich um die so genannte Kurvendiskussion. Obwohl mit heutigen Rechnerprogrammen der Verlauf einer Funktionskurve schnell ermittelt werden kann, ist es doch notwendig, durch eine Kurvendiskussion die Eigenschaften einer Funktion zu ermitteln und zu erklären, um auch die Ergebnisse des Rechners kontrollieren zu können. Schließlich werden noch einige Extremwertaufgaben gelöst.
Wilfried Weißgerber

8. Funktionen mit mehreren unabhängigen Veränderlichen

Funktionen einer abhängigen Veränderlichen von zwei unabhängigen Veränderlichen ergeben Flächen im Raum, die allerdings keine quantitativen Aussagen ermöglichen. Deshalb helfen Schnittlinien, deren Anstiege mit partiellen Ableitungen ermittelt werden. Das totale Differential ist für weitere Berechnungen, z.B. für die Fehlerrechnung und Statistik notwendig.
Wilfried Weißgerber

9. Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen und ihre Rechengesetze werden ausführlich behandelt, damit insbesonders Wechselstrom-Berechnungen ermöglicht werden. Die Zeigerdarstellung komplexer Zahlen erleichtert die grafische Ermittlung von sinusförmigen Strömen und Spannungen in Wechselstromschaltungen. Zum Abschluss wird auf Funktionen mit komplexen Variablen hingewiesen, die zu konformen Abbildungen führen.
Wilfried Weißgerber

10. Statistik

In diesem Kapitel wird eine Einführung in die Statistik gegeben, wobei besonderer Wert auf Mittelwerte gelegt wird. Die Mittelwerte von Mengen verschiedener Beobachtungswerte werden beurteilt und führen zur statistischen Streuung. Durch eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung werden die Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse beschrieben, wobei vor allem die Gaußsche Verteilungsfunktion behandelt wird.
Wilfried Weißgerber

11. Fehler- und Ausgleichsrechnung

In diesem Kapitel werden Formeln für die Beurteilung zufälliger Fehler, das sind Mess- und Beobachtungsfehler, entwickelt. Um den wahren Zahlenwert einer physikalischen Größe möglichst genau bestimmen zu können, wird eine Vielzahl von Messungen vorgenommen. Verhält sich ein physikalischer Zusammenhang zwischen zwei Größen linear, dann kann für die aufgenommenen Messgrößen eine Gerade rechnerisch ermittelt werden, die die geringsten Fehler hat.
Wilfried Weißgerber

12. Unendliche Reihen

Zunächst werden numerische Reihen auf Konvergenz untersucht, indem die Majorantenmethode, das Quotienten- und Wurzelkriterium herangezogen werden. Funktionenreihen werden auf ihren Konvergenzbereich untersucht. Dabei wird besonders auf Potenzreihen eingegangen. Viele Arten von Taylorreihen werden behandelt.
Wilfried Weißgerber

13. Differentialgleichungen

Für gewöhnliche Differentialgleichungen werden allgemeine und partikuläre Lösungen ermittelt. Dabei werden zunächst Differentialgleichungen erster Ordnung mit Hilfe des Isoklinenverfahrens, durch Trennung der Variablen und durch die Substitutionsmethode gelöst. Inhomogene Differentialgleichungen erster Ordnung können durch Überlagerung der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung und der partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ermittelt werden. Bei Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung werden nur Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten behandelt, die insbesondere für Ausgleichsvorgänge in der Elektrotechnik relevant sind.
Wilfried Weißgerber

Backmatter

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