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Über dieses Buch

Die Lehre und das Lernen der Hochschulmathematik kosten viel Zeit. Lässt sich der Aufwand reduzieren, ohne die Qualität der Lehre zu beeinträchtigen?

Mit einem klaren „Ja“ beantwortet das vorliegende Buch diese Frage und stellt hierfür einen vom Autorenteam entwickelten und erprobten Lösungsansatz vor: die Open Source Software MATeX. Durch eine programmiertechnische Kopplung eines Computeralgebrasystems mit einem Textverarbeitungsprogramm ist MATeX in der Lage, in Sekunden mathematische Übungsaufgaben zu lösen und die Lösungswege in LaTeX und PDF auszugeben. So können über eine intuitive webbasierte Schnittstelle vom Benutzer individuell gestaltete oder zufällig generierte Aufgabentypen zu über 30 Themen der Höheren Mathematik gestellt, gelöst und die Lösungen zur Verfügung gestellt werden.

Inhaltlich spannt sich der Bogen von elementaren Grundlagen über die Analysis einer Veränderlichen, die lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung, die Analysis mehrerer Veränderlicher bis hin zu fortgeschrittenen Themen der Analysis, wie z. B. die Fourier-Reihe, die Laplace-Transformation und Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen.

Informationen zum programmiertechnischen und konzeptionellen Hintergrund sowie Vorschläge für einen wirkungsvollen Einsatz der Software in der Lehre runden das Buch ab.

Herausragende Merkmale sind:

Dank der ca. 130 klickbaren QR-Codes stellt dieses Werk als PDF aber auch in gedruckter Form selbst eine Schnittstelle zur mathematischen Software MATeX dar.

Insgesamt ca. 300 Links auf die MATeX-Webschnittstelle erleichtern den Einstieg und das Bedienen der Software.

Über 140 Beispielaufgaben spiegeln das breite Leistungsspektrum der Software.

Aufträge zum Erstellen von zufälligen Aufgaben können direkt aus dem Buch via klickbaren QR-Codes erteilt werden.

Mit diesem Buch und der Software MATeX lassen sich Aufgaben und Lösungen in PDF-Form um zwei Größenordnungen schneller erzeugen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Das Zeitproblem, eine Lösungsstrategie und die Realisierung

Frontmatter

Kapitel 1. Motivation und Einführung

Wir eröffnen das Buch mit einem Anwendungsszenario. So erhalten Sie einen Vorgeschmack auf das, was unter „Mathematik auf Knopfdruck“ verstanden werden kann. Anschließend erfahren Sie im Abschnitt 1.2 die Zielgruppen sowie das Leistungsspektrum von MATEX und wie Sie damit Zeit einsparen können. Am Ende dieses Kapitels wird im Abschnitt 1.3 MATEX im Kontext aktueller Entwicklungen im Bereich der robotergesteuerten Prozessautomatisierung thematisiert. Abschließend geben wir zur Orientierung einen Überblick über die Struktur dieses Werks im Abschnitt 1.4 und unterstreichen dabei die Rolle der MATEX-Webschnittstelle, der externen Links bzw. der praktischen QR-Codes.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 2. Komponenten und Schnittstellen von MATEX

In diesem Kapitel werden die grundlegende Struktur des Software- Roboters MATEX sowie die Arbeiten, die er Ihnen abnehmen kann, beschrieben. Unter anderem werden in den Kapiteln 2.2 – 2.4 die Grundpfeiler MATLAB, Symbolic Math Toolbox und LATEX, auf denen MATEX aufbaut, jeweils mit ihrer elementaren Funktionalität und ihrer Historie kurz vorgestellt. Nach der Einführung des zentralen Begriffs des Aufgabengenerators in Kapitel 2.5 werden abschließend in Kapitel 2.6 die Webschnittstelle und die Interaktionsmöglichkeiten mit MATEX eingehend beleuchtet sowie auf die Creative-Common-Lizenz für MATEX hingewiesen.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 3. MATEX trifft auf digitale Lehre

Dieses Kapitel zeigt, wie MATEX sich in das Spannungsfeld zwischen Lehre und digitale Medien einordnen lässt. Da der Fokus der entwickelten Software auf Aufgaben – wichtigen Werkzeugen der Mathematikunterrichtsplanung – liegt, wird auf diesen Begriff und seine Bedeutung in Kapitel 3.2 näher eingegangen. Insbesondere wird hier MATEX als Bindeglied zwischen Unterrichtsinhalten, dem prozeduralen Wissen sowie halboffenen Aufgaben dargestellt. Eine Auswahl von für MATEX relevanten E-Learning-Methoden sowie ihre mögliche Anbindung an diese Software findet man in Kapitel 3.3. Die in Kapitel 3.4 skizzierten Einsatzszenarien von Aufgabengeneratoren sind darauf ausgerichtet, das Lernen aktiver, individualisierter und motivierender zu gestalten. Abschließend wird auf Lehrerfahrungen mit MATEX in Kapitel 3.5 eingegangen.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 4. Handgriffe und Programmieraufgaben

Die Fähigkeit, mit einem Rechner zu kommunizieren und Computer- programme zu schreiben, ist eine Grundfähigkeit in der heutigen Gesellschaft. Wenn Menschen lernen, Programme zu schreiben, lernen sie wichtige Strategien zum Lösen von Problemen, zum Entwerfen von Projekten und zum Vermitteln von Ideen „Lerne zu programmieren. Programmiere, um zu lernen.“Die vorliegende Sammlung von Programmieraufgaben mit Lösungsvorschlägen richtet sich an Interessenten mit MATLAB-Programmiererfahrung. Sie dient dem Nachvollziehen der Arbeitsweise der Software MATEX und eignet sich als Ausgangspunkt für die Umsetzung eigener Ideen.In Kapitel 4.1 werden Grundbausteine eines Generators vorgeführt, die im anschließenden Kapitel 4.2 zu einem Generator zusammengesetzt werden. Einige mit diesem Generator erstellte Aufgaben werden im Teil II des Buches vorgestellt.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

MATEX-Generatoren zu verschiedenen Themen der Höheren Mathematik

Frontmatter

Kapitel 5. Einführung und Grundlagen

Wir eröffnen den zweiten Teil des Buches mit dem Generator zu quadratischen Gleichungen im Kapitel 5.1, dessen programmiertechnische Umsetzung im Kapitel 4.2 bereits vorgestellt wurde. Darüber hinaus werden die Themen Bruchrechnung im Kapitel 5.2 sowie das Lösen von (Un-)Gleichungen mit Betragsfunktionen im Kapitel 5.3 behandelt. Die ersten drei Generatoren sind somit thematisch im Übergangsbereich Schule-Hochschule anzusiedeln. Ab Kapitel 6 werden klassische Themen der Hochschulmathematik behandelt.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 6. Analysis einer reellen Variablen

In diesem Kapitel stellen wir einige Generatoren zu Aufgaben aus dem Bereich der eindimensionalen reellen Analysis vor. Es beginnt mit den elementaren Themen Folgen im Kapitel 6.1 sowie Reihen und Potenzreihen im Kapitel 6.2 bzw. 6.3. Danach geht es von Anwendungen der Differentialrechnung, vertreten durch die Generatoren zur Kurvendiskussion rationaler Funktionen im Kapitel 6.4 und zur Taylor- Entwicklung im Kapitel 6.5 über partielle Integration mit und ohne Parameter in den Kapiteln 6.6 und 6.7 zu den linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in 6.9.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 7. Lineare Algebra

Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen beschäftigt. Dies schließt insbesondere auch die Betrachtung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen mit ein. Vektorräume und lineare Abbildungen sind ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik. Außerhalb der reinen Mathematik finden sich Anwendungen unter anderem in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, in der Informatik und in der Wirtschaftswissenschaft, zum Beispiel in der Optimierung.Das Kapitel zur linearen Algebra beginnt mit einem Generator zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit dem Gauß-Jordan-Verfahren in Kapitel 7.1. Es folgt das Orthonormalisierungsverfahren von Gram und Schmidt zur Erzeugung eines Systems normierter, linear unabhängiger Vektoren in Kapitel 7.2. Mit einem Generator zur Aufstellung der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung in Kapitel 7.3 gehen wir zur Matrizenrechnung über, die mit der Berechnung von Kernen und Bildern vorgegebener Matrizen in Kapitel 7.4 vertieft wird. Über die Berechnung von Determinanten in Kapitel 7.5 kommen wir in Kapitel 7.6 zu den Eigenwerten und Eigenvektoren.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 8. Analysis mehrerer reeller Variablen

In diesem Kapitel behandeln wir exemplarisch einige typische Aufgabenstellungen aus dem Bereich der mehrdimensionalen reellen Analysis. Um Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung geht es bei den Generatoren zu Extremwertaufgaben, zur Taylor-Entwicklung und zum Satz über implizite Funktionen in den Kapiteln 8.1 bis 8.3. Danach folgen in den Kapiteln 8.4 und 8.5 Aufgabengeneratoren zu Kurvenintegralen erster und zweiter Art. Die Aufgaben zur Konservativität von Vektorfeldern in Kapitel 8.6 verbinden schließlich die mehrdimensionale Integration mit der Differentiation.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 9. Höhere Analysis

Als eine Auswahl von Themen aus dem Bereich der Höheren Analysis behandeln wir in diesem Abschnitt Fourier-Reihen in Kapitel 9.1, die Integraltransformationen von Laplace und Fourier mit Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen in Kapitel 9.2 und 9.3 sowie in Kapitel 9.4 die Optimierung unter Nebenbedingungen mithilfe Lagrange’scher Multiplikatoren.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Kapitel 10 dieses Werkes befasst sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. Statistik, einem Teilgebiet der Mathematik, das aus der Untersuchung von Zufallsgeschehen hervorgegangen ist. Die zentralen Objekte derWahrscheinlichkeitstheorie sind zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse. Es wird gezeigt, dass mit MATEX auch Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgestellt und gelöst werden können.In vielen Studienfachrichtungen der Hochschulen für angewandte Wissenschaften (HAW) stellt die Statistik-Vorlesung einen festen Bestandteil des Bachelor-Studiengangs dar. Dies motivierte uns, MATEX um mehrere Generatoren zu Statistik-Aufgaben zu erweitern. Dabei haben wir zur Demonstration auch anspruchsvollere Themen in den Fokus genommen, wie z. B. den Transformationssatz für zweidimensionale Dichtefunktionen (Kapitel 10.4), der eher in einer Vorlesung zur Statistischen Nachrichtentheorie an einer Universität behandelt wird.Wir eröffnen dieses mathematische Gebiet mit den mehrstufigen statistischen Ereignissen und ihrer Visualisierung durch Baumdiagramme in Kapitel 10.1. Eine Besonderheit des entsprechenden Generators ist, dass die Baumdiagramme mittels TikZ – einem LATEX-Paket – erstellt werden. Entstehen bei einem Experiment multivariate Messdaten, so können diese z. B. mittels der linearen Regression auf einen linearen Zusammenhang überprüft werden, siehe Kapitel 10.2. Kontinuierliche Zufallsvariablen und ihre Eigenschaften werden in Kapitel 10.3 behandelt. Bei zwei kontinuierlichen zweidimensionalen Zufallsvariablen kann u. U. deren statistische Unabhängigkeit durch eine Transformation erreicht werden. Solche Fragestellungen werden in Kapitel 10.4 untersucht. Abschließend betrachten wir in Kapitel 10.5 den Generator zu Qualitätsregelkarten zur Steuerung von Prozessen.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Ideenbox

Frontmatter

Kapitel 11. Multimedia

Die Vermittlung von mathematischen Inhalten stellt für Lehrer und Dozenten häufig eine Herausforderung dar. Dabei bedient man sich oft visueller Mittel wie Abbildungen, Graphen und Skizzen. Durch sie soll der Lernende Einsicht in mathematische Strukturen erhalten, indem er sich durch die Bebilderung ihrer Zusammenhänge zunächst ein oberflächliches Verständnis aneignet. Diese Hilfsmittel können ihre Wirkung aufgrund des stationären Zustandes nicht immer vollständig entfalten. Das Portable Document Format (PDF) erlaubt es, neben Text eine Vielfalt von Medien einzubinden wie z. B. Audiodateien, Videodateien und Universal 3D-Dateien. Darüber hinaus lassen sich mit entsprechenden LATEX-Paketen Annotationen und Animationen erstellen sowie diese ins PDF einbinden und dynamisch, interaktiv abrufen. In den vorliegenden Abschnitten 11.1 bis 11.6 beleuchten wir diese für MATEX attraktiven Optionen und geben stellenweise konkrete Anwendungsideen. In Kapitel 11.5 wird eine schlanke Umsetzung zum automatischen Generieren von Funktionsgraphen im Universal 3D-Datenformat vorgestellt. Damit lassen sich Graphen von Funktionen direkt im PDF interaktiv erkunden. Es ist geplant, die genannten Medien zukünftig in die Aufgabengeneratoren von MATEX einzubinden.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 12. Ausblick

Im Laufe der Entwicklung von MATEX sind viele neue Ideen entstanden, die das Autorenteam aus Kapazitätsgründen noch nicht umsetzen konnte, aber in diesem Kapitel vorstellen möchte: Zunächst zählen wir in Kapitel 12.1 weitere mathematische Themen auf, für die eigene Aufgabengeneratoren entwickelt werden könnten. Auf den Bedarf sowie die Möglichkeit, ganze Übungsblätter automatisch generieren zu lassen, wird im Kapitel 12.2 eingegangen, wobei die Notwendigkeit der Steuerung des Schwierigkeitsgrades einer mathematischen Aufgabenstellung angesprochen wird. Die Anbindung von MATEX an eine an Hochschulen etablierte Lernplattform wie ILIAS würde offensichtliche Vorteile mit sich bringen, wie wir in Kapitel 12.3 darlegen. Die Möglichkeit, optional englischsprachige Materialien zu erstellen, beleuchtet Kapitel 12.4, in dem an einem konkreten Beispiel auch die Leistungsfähigkeit eines auf künstlicher Intelligenz basierenden Übersetzungsdienstes demonstriert wird. In Kapitel 12.5 betrachten wir alternative Entwicklungsumgebungen für MATEX. Abschließend skizzieren wir einfache Ansätze für die Einbindung einer Sprachausgabe in MATEX bzw. für eine E-Mail-Schnittstelle sowie eine Chatbot-Schnittstelle in Kombination mit WhatsApp, Kapitel 12.6.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

Kapitel 13. QR-Codes

Abschließend möchten wir dem Leser eine kompakte Zugriffsmöglichkeit auf die Software MATEX in Form einer Tafel von QR-Codes zur Verfügung stellen. Diese kann als Vorlage für großformatige Drucke für einen möglichen Einsatz im Unterricht verwendet werden. Die darin enthaltenen QR-Codes stellen Aufträge für zufällige Aufgaben zu jedem der 33 mathematischen Themen dar, die in diesem Werk behandelt wurden. Der Zufallsgenerator greift auf eine Datenbank von vorher ausgewählten Aufgaben zu. Falls Ihnen dieses Dokument als PDF vorliegt, können Sie die Aufträge auch per Mausklick auf einen der QR-Codes erteilen.

Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Kevin Rapedius, Vita Rutka, Aron Sommer

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