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Über dieses Buch

Dieses Buch ist ein wichtiges studienbegleitendes Hilfsmittel für alle, die Mathematik-Lehrveranstaltungen besuchen. Die Lektüre dieses Buch ermöglicht Ihnen, begriffliche Sicherheit für Mathematik-Vorlesungen und Prüfungen aufzubauen. Die Lektüre jedes Kapitel dieses Buches erlaubt Ihnen, einen Überblick über die Begriffe eines Teilgebiets der Mathematik zu erhalten und diese Begriffe nachhaltig zu erfassen. Wenn Sie als Student einen mathematischen Begriff nicht richtig verstehen oder sich an seine Definition nicht erinnern, können Sie in diesem Buch nachschlagen und erhalten durch paradigmatische Beispiele und Bilder ein fundiertes Verständnis des Begriffs. Arbeiten Sie ein Kapitel dieses Buches in Vorbereitung einer Prüfung durch, so können Sie sich in begrifflicher Hinsicht in der Prüfung sicher fühlen.

Insgesamt finden sich in diesem Buch mehr als tausend Definitionen von Begriffen aus vierzehn Teilgebieten der Mathematik. Die Auswahl der Begriffe orientiert sich in jedem Kapitel an den Vorlesungen zum behandelten Thema, die an deutschen Hochschulen gehalten werden. Alle wesentlichen Begriffe, die in Mathematik-Vorlesungen in Bachelorstudiengängen vorkommen und auch alle grundlegenden Begriffe der Mathematik-Vorlesungen in Masterstudiengängen sind in diesem Buch enthalten. Dieses Buch stellt also einen Kanon mathematischer Begriffe vor, der auch für Lehrende von Interesse ist.

Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen und um acht neue Abschnitte zu weiterführenden Themen wie etwa Simplizialkomplexen und Homologiegruppen sowie Differenzialformen erweitert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Grundlagen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden grundlegende mathematische Begriffe definiert. Wir geben in den ersten zwei Abschnitten eine Einführung in die Begriffe der Aussagenlogik, der Prädikatenlogik und der naiven Mengenlehre anhand von Definitionen und Beispielen. Die folgenden zwei Abschnitte sind Relationen und Funktionen gewidmet.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 2. Diskrete Mathematik

Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir zentrale Begriffe der diskreten Mathematik vor. Wir führen zunächst mit Permutationen, Kombinationen und Variationen die Grundbegriffe der elementaren Kombinatorik ein und zeigen Beispiele. Im nächsten Abschnitt definieren wir wichtige kombinatorische Zahlenfolgen, wie Fibonacci-, Bell-, Stirling-, Euler- und Catalan-Zahlen.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 3. Algebraische Strukturen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel findet der Leser eine Einführung in die Grundbegriffe der Algebra, die Studierende zum Teil schon in den Grundvorlesungen zur Linearen Algebra oder in einer Vorlesung zur Algebra kennen lernen. Wir definieren in den ersten drei Abschnitten die algebraischen Strukturen Gruppe, Ring und Körper und gehen dann auf strukturerhaltende Abbildungen (Homomorphismen) ein. Im Abschnitt über Gruppen führen wir insbesondere die symmetrische Gruppe, die Restklassengruppe und Matrizengruppen ein, definieren Untergruppen, Normalteiler sowie Faktorgruppen und entwickeln zum Schluss den Begriff der auflösbaren Gruppe.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 4. Lineare Algebra

Zusammenfassung
Wir geben in diesem Kapitel einen Überblick über die Begriffe der linearen Algebra, die üblicherweise zu Beginn des Mathematikstudiums eingeführt werden. Zunächst definieren wir Vektorräume sowie deren Unterräume und Quotientenräume. Wir zeigen hierbei zahlreiche Beispiele und veranschaulichen die Operationen auf Vektoren durch Abbildungen.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 5. Geometrie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in die Begriffe ausgewählter Teilgebiete der Geometrie. Als Fortsetzung des letzten Kapitels beginnen wir mit der analytischen Geometrie, die zur Beschreibung und Untersuchung geometrischer Objekte Mittel der linearen Algebra heranzieht. Wir definieren Objekte der elementaren Geometrie und stellen die Bewegungen des \(\mathbb {R}^2\) und des \(\mathbb {R}^3\) vor.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 6. Topologie

Zusammenfassung
Wir geben in diesem Kapitel eine Einführung in die Begriffe der allgemeinen Topologie. Zunächst werden metrische und topologische Räume definiert und das Konzept der offenen und abgeschlossenen Mengen vorgestellt. Die Definitionen sind so bestimmt, dass wir im Abschn. 6.2 stetige Abbildungen und Homöomorphismen zwischen topologischen Räumen und die Konvergenz von Folgen und Filtern in diesen Räumen definieren können.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 7. Analysis: Konvergenz und Differenziation

Zusammenfassung
In diesem Kapitel findet der Leser eine Einführung in die Grundbegriffe der Analysis, die üblicherweise in einem Vorlesungszyklus zur Analysis behandelt werden. Wir definieren zunächst die Konvergenz und die bestimmte Divergenz von Folgen und Reihen sowie Cauchy-Folgen und führen damit den Begriff der Vollständigkeit ein. In Abschn. 7.2 betrachten wir Potenzreihen und definieren mit ihrer Hilfe elementare Funktionen und deren Umkehrfunktionen.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 8. Analysis: Maß und Integration

Zusammenfassung
Wir geben in diesem Kapitel eine Einführung in die Begriffe der Maßtheorie und der Integrationstheorie. Dieser Stoff wird zum Teil in einem Vorlesungszyklus zur Analysis behandelt, doch manche der Begriffe, die wir hier definieren, bleiben zumeist einer Spezialvorlesung über Maß- und Integrationstheorie vorbehalten. Wir beginnen mit der Definition des Riemann-Integrals und des Riemann-Stieltjes-Integrals durch Ober- und Untersummen sowie der Bestimmung der Stammfunktion zur Berechnung von Integralen.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 9. Funktionentheorie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Grundbegriffe der Funktionentheorie, die Funktionen auf Mengen komplexer Zahlen untersucht. Zunächst zeigen wir holomorphe und harmonische Funktionen ein und geben deren charakteristische Differenzialgleichungen. Rationale Funktionen, die Exponentialfunktionen sowie trigonometrische und hyperbolische Funktionen auf \(\mathbb {C}\) stellen grundlegende Beispiele dar.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 10. Funktionalanalysis

Zusammenfassung
In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in die Grundbegriffe der Funktionalanalysis, in der unendlich-dimensionale Vektorräume und die Abbildung auf diesen Räumen untersucht werden. Zu Beginn führen wir Banach-Räume ein und zeigen als Beispiele Folgenräume, Funktionenräume und Räume von Maßen. Des Weiteren definieren wir Dualräume, d. h. Räume von Funktionalen auf Banach-Räumen.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 11. Zahlentheorie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Begriffe der elementaren Zahlentheorie, unter Berücksichtigung einiger grundlegender Notationen der algebraischen und der analytischen Zahlentheorie. Im ersten Abschnitt beschreiben wir den euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, definieren Primzahlen und Primzahlzwillinge sowie Pseudoprimzahlen und verwenden die Summe der Teiler, um vollkommene, abundante, defiziente, einsame, befreundete und bekannte Zahlen einzuführen. Im Abschn. 11.2 werden die Grundbegriffe der modularen Arithmetik definiert und quadratische Reste zusammen mit dem Legendre- und dem Jakobi-Symbol bestimmt.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 12. Wahrscheinlichkeitstheorie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Im ersten Abschnitt definieren wir Wahrscheinlichkeitsräume sowie diskrete und kontinuierliche Verteilungen und geben die wichtigsten Verteilungen als Beispiele an. Im Abschn. 12.2 wird das Konzept der Zufallsvariable eingeführt und die Unabhängigkeit von Ereignissen und Zufallsvariablen definiert.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 13. Dynamische Systeme

Zusammenfassung
In diesem Kapitel findet sich ein Überblick über die Grundbegriffe der Theorie dynamischer Systeme. Wir definieren im Abschn. 13.1 topologische dynamische Systeme und zeigen zahlreiche paradigmatische Beispiele. Weiterhin definieren wir periodische und rekurrente sowie heterokline und homokline Orbits.
Jörg Neunhäuserer

Kapitel 14. Numerik

Zusammenfassung
In diesem Kapitel geben wir einen Einblick in die Begriffe der numerischen Mathematik, die sich mit der Konstruktion und der Analyse von Algorithmen zur Lösung von Berechnungsaufgaben beschäftigt. Wie in Vorlesungen zur Numerik üblich führen wir zunächst den Grundbegriff der Kondition einer Berechnungsaufgabe und der Stabilität eines Verfahrens ein. Im Abschn. 14.2 geben wir das Bisektionsverfahren, das Sekantenverfahren und das Newton-Verfahren zur Lösung nicht-linearer Gleichungen jeweils mit Beispiel an.
Jörg Neunhäuserer

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