Mathematische Fingerübungen zum Weiterspielen

Inhaltsverzeichnis

1. Frontmatter

2. Analysis und Physik

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 1. Die Euler’sche Reihe und trigonometrische Summen

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Ein interessanter Beweis für den Summenwert der Euler’schen Reihe, der (scheinbar) ganz ohne Analysis auskommt, wird vervollständigt und wasserdicht gemacht. Als Nebenprodukt fallen eine Menge von trigonometrischen Summen an, die sich geschlossen auswerten lassen.

   3. Kapitel 2. Der Weg des Hinterrades

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Die Kurven, die das Hinterrad eines Fahrrads durchläuft, wenn das Vorderrad einer gegebenen Kurve folgt, sind sehr vielfältig. Eine reichhaltige Auswahl davon soll hier untersucht werden. Den Leser erwarten eine geschickte Differentialgleichung, die oft eine geschlossene Lösung erlaubt, schöne Kurvenbilder, und die Überraschung, dass viele Lösungen algebraische Kurven sind.

   4. Kapitel 3. Variationen mit Spiralfedern

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Spiralfedern als Baustein eines Federpendels sind wohlbekannt. Das Pendelgewicht vereinigt dabei praktisch die gesamte Masse des Systems Feder plus Pendel in sich, die Feder spielt nur insofern eine Rolle, als sie die Rückholkraft liefert. Was aber passiert, wenn es kein Pendelgewicht gibt, sondern allein die Masse der Feder selbst eine Rolle spielt? Dieser Frage geht dieses Kapitel in einer Vielzahl von Situationen nach.

   5. Kapitel 4. Origami auf krummen Wegen

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Man kann Papier nicht nur entlang gerader Kanten falten, sondern auch entlang von Kurven. Dabei wird das Papier nicht flach bleiben, sondern gebogen werden. Es ist aber nicht dehnbar, deshalb können die gebogenen Papierflächen nur solche mit Gauß’scher Krümmung null sein, also Kegel oder Zylinder über glatten Kurven. Wir beschränken uns auf den Fall von Zylindern und untersuchen den Zusammenhang zwischen der Faltkurve und den Profilkurven der beteiligten Zylinder, also den Schnittkurven senkrecht zu Mantellinien. Viele spezielle Zylinderformen werden so faltbar.

   6. Kapitel 5. Das Zwillingsparadoxon mit beschleunigten Bewegungen

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Das Zwillingsparadoxon aus der speziellen Relativitätstheorie ist wohlbekannt. Es wird aber selten so gerechnet, dass beschleunigte Bewegungen, wie sie in Raumfahrzeugen auftreten, berücksichtigt werden. Das soll hier geschehen. Damit können dann auch realistische Reisezeiten zu entfernten Sternen und die daraus resultierenden Altersunterschiede der Zwillinge bestimmt werden. Es stellt sich heraus, dass endliche Beschleunigungen am grundsätzlichen Ergebnis nichts ändern.

   7. Kapitel 6. Die aufgehängte Erde

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Ein um den Erdäquator gespanntes Seil wird um einen Meter verlängert. Die Erde wird am verlängerten Seil aufgehängt. Wie hoch über dem Erdboden befindet sich der Aufhängepunkt? Diese Frage führt auf eine transzendente Gleichung, für die verschiedene Lösungsmöglichkeiten vorgestellt werden.

   8. Kapitel 7. Der Sieg der Wurzel über den Logarithmus

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Bekanntlich wächst der Logarithmus \(\ln x\) langsamer als jede Potenz \(x^\varepsilon \) für \(\varepsilon >0\). Das bedeutet, dass jede positive Potenz oder Wurzel mit wachsendem x irgendwann dauerhaft den Logarithmus überschreitet. Für kleine \(\varepsilon \) kann es aber eine ganze Weile dauern, bis sich die Potenz gegenüber dem Logarithmus durchsetzt. Erst ab erstaunlich großen x-Werten ist die Potenz dann wirklich stets größer als der Logarithmus. Diese x-Werte sollen hier mit elementaren und weniger elementaren Mitteln abgeschätzt werden. Wir untersuchen danach in gleicher Weise das Verhältnis von \(x^a\) zu \(\text {e}^x\).

3. Geometrie

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 8. Fast perfekte Spiralen aus Kreisbögen.

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Logarithmische Spiralen lassen sich durch geschickt aneinandergesetzte Kreisbögen annähern. Die Kreisbögen ihrerseits passen eventuell in Folgen von drehgestreckten Vielecken, z. B. Quadraten. Kann man in solche geometrischen Figuren richtige logarithmische Spiralen einpassen, und wie geht das genau? Darüber hinaus werden Fibonacci- und Padovan-Spiralen untersucht, die zu Quadraten bzw. Dreiecken gehören, die nur näherungsweise durch Drehstreckungen auseinander hervorgehen.

   3. Kapitel 9. Euklid in der nicht-euklidischen Welt

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Wie fühlt es sich an, genauer: wie sähe es aus, wenn man in eine Welt versetzt würde, in der eine andere als die euklidische Geometrie gilt? Nach einer ausführlichen Einführung in anschauliche Aspekte nicht-euklidischer Geometrien wird diese Frage hier beantwortet und mit vielen Fotos eines Reisenden in diese Welten untermalt. Nebenbei lernt der Leser, welche auffälligen Unterschiede es zur euklidischen Welt gibt, und auch ein paar Anekdoten werden erzählt.

   4. Kapitel 10. Die Hopf-Faserung in Formeln und Bildern

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Die Hopf-Faserung ist ein sehr schönes Objekt aus dem Gebiet der Differentialtopologie. Sie ist gegeben durch eine differenzierbare Abbildung h der 3-dimensionalen Sphäre \(S^3\) auf die 2-dimensionale Sphäre \(S^2\), die surjektiv ist, sich nicht stetig auf einen Punkt zusammenziehen lässt, und für die alle Urbilder von Punkten aus \(S^2\) Kreise, also Sphären \(S^1\) sind. Es lohnt sich, diese Abbildung näher anzuschauen, zumal sie eine anschauliche und überraschende Deutung hat: Sie liefert eine Zerlegung des \(\mathbb R^3\setminus \{(0,0,z)|z\in \mathbb R\}\) in disjunkte Kreise, aber so, dass jedes Paar von Kreisen miteinander verschlungen ist. Nach einer kurzen Einführung in die mathematischen Hintergründe wird die Hopf-Faserung detailliert erklärt, mit Bildern veranschaulicht und die nötigen Formeln dazu werden hergeleitet.

   5. Kapitel 11. Sehnen im Kreis mit ganzen Zahlen

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Manchmal ist es möglich, in einen Halbkreis mit ganzzahligem Radius mehrere Sehnen, die ebenfalls eine ganzzahlige Länge haben, exakt einzupassen. Hier werden solche Möglichkeiten ausführlich untersucht. Die diophantische Gleichung für drei Sehnen wird vollständig gelöst. Danach schauen wir auf mehr als drei Sehnen, Varianten mit mehrfach vorkommenden Sehnenlängen und den Zusammenhang mit dem Gauß’schen Kreisproblem.

   6. Kapitel 12. Geometrische Rätsel mit überraschenden Lösungen

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Im Internet und anderen Quellen findet man eine Vielzahl von geometrischen Aufgaben, in denen man in einer geometrischen Figur aus vorgegebenen Informationen, meistens mehrere Winkel und Gleichheit von bestimmten Strecken, eine weitere Größe ableiten oder eine andere Eigenschaft beweisen soll. Wir wollen zeigen, dass sich eine bestimmte Art dieser Aufgaben elegant durch Einbettung der Figur in ein regelmäßiges Vieleck mitsamt allen Diagonalen lösen lässt.

4. Algebra und Kombinatorik

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 13. Die Irrfahrt des Betrunkenen von Laterne zu Laterne

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Ein klassisches Problem handelt vom Betrunkenen, der zufällig von Straßenlaterne zu Straßenlaterne torkelt, und stellt die Frage, ob und wann er zu der Laterne, bei der er gestartet ist, zurückkehrt. Mathematisch handelt es sich dabei um Randomwalks, auf Deutsch Irrfahrten. Fragen nach den Anzahlen von Irrfahrten bestimmten Typs und der Häufigkeit der Rückkehr zum Ausgangspunkt werden hier untersucht und zum Teil auch auf neue Weise gelöst. Nebenbei lernt man einiges über den Umgang mit Binomialkoeffizienten.

   3. Kapitel 14. Arnolds Katze kehrt zurück

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Die Arnold-Transformation „faltet“ das Einheitsquadrat, d. h. bildet es bijektiv auf sich selbst ab, aber so, dass die Iteration dieser Transformation jeden Quadratpunkt auf einen ergodischen Pfad schickt. Enthält das Quadrat ein Bild, so sollte es schnell unkenntlich werden. In der Praxis aber zeigt sich, dass nach einigen Iterationen das Bild wie Phoenix aus der Asche wieder erscheint. Der Grund liegt in der endlichen Pixelzahl eines Bildes in einem Computer, die die Transformation zu einer diskreten macht, die dann periodisch ist. Wir geben einen straffen Überblick über die Eigenschaften der diskreten Arnold-Transformation, bevor wir die Transformation auf nicht quadratische Bilder verallgemeinern und untersuchen, wie sich diese verhalten und welche Perioden dann auftreten.

   4. Kapitel 15. Der Feynman-Punkt und was dahintersteckt

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Von der Zahl \(\pi \) ist bekannt, dass überraschenderweise ab der 762. Dezimalstelle sechs Ziffern „9“ aufeinanderfolgen. Grob überschlagen wäre dies erst nach einer Million Ziffern zu erwarten. Dieses Kapitel untersucht im Detail die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von Abschnitten mit vorgegebenen Ziffern in zufälligen Ziffernfolgen gegebener Länge. Es stellt sich heraus, dass diese Wahrscheinlichkeiten von der genauen Gestalt der vorgegebenen Ziffernfolge recht empfindlich abhängig sind.

   5. Kapitel 16. Die Goodstein-Folge

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Die Leserin erwartet eine auf sonderbare Weise definierte Menge von Folgen und die Überraschung, dass die Zahlen der Folgen beunruhigend stark anwachsen, aber dennoch irgendwann wieder bei null landen. Die Frage, wann das eintritt, führt auf eine schwindelerregende Reise zu den Riesen unter den natürlichen Zahlen. Dabei gibt es reichhaltige Gelegenheiten, die Darstellung von natürlichen Zahlen in Stellenwertsystemen zu verschiedenen Basen zu üben.

   6. Kapitel 17. Überraschend reduzible Polynome

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Wer käme auf die Idee, dass sich das Polynom \(x^5+x+1\) über den rationalen Zahlen in Faktoren zerlegen lässt? Das ist kaum zu glauben! Manchmal fallen sogar Lehrbuchautoren darauf herein und halten es für irreduzibel. Aber dennoch gibt es eine Zerlegung. (Welche?) Es gibt weitere überraschend reduzible Polynome, wir stellen viele davon zusammen, finden systematisch aufgebaute Familien von solchen Polynomen und bestimmen alle Beispiele eines bestimmten Aufbaus.

   7. Kapitel 18. Hamiltonpfade im Sudoku

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Mit einem fertig ausgefüllten Sudoku kann man noch weitere Spielereien anstellen. Man kann etwa versuchen, benachbarte Kästchen zu finden, die die Ziffern 1 bis 9 in aufsteigender Folge enthalten. Besonders schön ist es, wenn das in einem \(3{\times }3\)-Block gelingt. Dazu müssen aufeinanderfolgende Ziffern einen Hamiltonpfad bilden. Wie wahrscheinlich ist das? Diese Frage wird geklärt. Zwei schöne Sudokus mit neuen Regeln sind auch dabei.

   8. Kapitel 19. Futurama und das Theorem aus der Fernsehserie

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Es kommt nicht oft vor, dass mathematische Theoreme in Fernsehserien bewiesen werden. Ein Beispiel ist Keelers Theorem, welches in der Serie Futurama vorkommt. Damit konnte das Chaos, das eine mind-switching-machine, mit welcher Personen untereinander ihre Körper tauschen konnten, angerichtet hatte, wieder geordnet werden. Wie man eine solche Maschine gezielt einsetzen kann, um auf gewünschte Weise in die Körper anderer Personen zu schlüpfen, soll hier untersucht werden.

   9. Kapitel 20. Neues zu magischen Sternen

      Dieter Riebesehl

      Zusammenfassung

      Magische Quadrate sind ein Standardthema der Unterhaltungsmathematik. Mit ihnen sind magische Sterne verwandt, das sind sternförmige Anordnungen von Zahlen auf Linien derart, dass die Summe der Zahlen entlang jeder Linie konstant und gleich der magischen Summe ist. Man sollte meinen, dass zu diesem Thema bereits alles Interessante gesagt und gefunden worden ist. Aber dieses Gebiet ist wirklich unerschöpflich, und so werden Sie, liebe Leserin, tatsächlich Neues und bisher nicht Bekanntes in diesem Kapitel finden.

5. Backmatter