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2023 | Buch

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Mathematische Geschichten VII – Extremwerte, Modulo und Beweise

Für begabte Schülerinnen und Schüler in der Oberstufe

verfasst von: Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : essentials

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Einsatzfertige Lerneinheiten vermitteln fundamentale mathematische Techniken, die über die Oberstufe hinaus von Bedeutung sind. Die Lerninhalte eignen sich auch zur gezielten Vorbereitung auf Mathematikwettbewerbe. Den Anfang machen universelle Beweistechniken, die in unterschiedlichen Kontexten angewandt werden. Es folgen lineare Kongruenzen, die Eulersche j-Funktion und der Satz von Euler. Abwechslungsreiche Aufgaben wiederholen und vertiefen den Umgang mit Ungleichungen. Die Schüler*innen führen Beweise in unterschiedlichen Gebieten. Die Aufgaben fördern die mathematische Denkfähigkeit, Phantasie und Kreativität.

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Zusammenfassung

Die „Mathematischen Geschichten“ stehen vor ihrem Abschluss! In diesem essential und im Folgeband (Schindler-Tschirner & Schindler, 2023b) können Oberstufenschülerinnen und -schüler die Protagonisten Anna und Bernd weiterhin auf ihrem Weg begleiten. Die bewährte Struktur der Vorgängerbände wurde beibehalten: Sechs Aufgabenkapiteln folgen sechs Musterlösungskapitel, die auch didaktische Anregungen und Ausblicke enthalten und mathematische Zielsetzungen ansprechen. Beide essentials richten sich an Leiterinnen und Leiter von Arbeitsgemeinschaften, Lernzirkeln und Förderkursen für mathematisch begabte Schülerinnen und Schüler der Oberstufe sowie von Schüler-Matheclubs, die vermehrt an Universitäten angeboten werden. Auch Lehrkräfte, die differenzierenden Mathematikunterricht praktizieren, Lehramtsstudierende und engagierte Eltern für eine außerschulische Förderung gehören zur Zielgruppe. Im Aufgabenteil wird der Leser mit „du“, in den Musterlösungen mit „Sie“ angesprochen.

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Aufgaben

Frontmatter

Kapitel 2. Es schlägt 13!

Zusammenfassung

„Schön, dass ihr alle gekommen seid“, eröffnet Anna das erste Gruppentreffen. „Bernd und ich werden euch in den nächsten Wochen auf euren Wettbewerb vorbereiten. Wir beginnen mit allgemeinen Beweistechniken, die ihr in unterschiedlichen Gebieten gut gebrauchen könnt.“ Und Bernd ergänzt: „Einige Beweistechniken kennt ihr vielleicht schon, andere vermutlich noch nicht.“ Heute übt Anna mit euch, und das nächste Mal bin ich dran. Ich wünsche euch einen interessanten Nachmittag.“ Anna erklärt den allgemeinen Ablauf: „Zu Beginn sehen wir uns immer einen alten MaRT-Fall an. Das ist ein anspruchsvolles mathematisches Problem, das in der Vergangenheit von der MaRT gelöst wurde. Den alten MaRT-Fall stellen wir zurück, bis ihr die notwendigen mathematischen Hilfsmittel kennengelernt habt.“

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 3. Manche Dinge ändern sich nie

Zusammenfassung

„Hallo! Wie ihr schon wisst, leite ich heute unser Treffen“, beginnt Bernd seine erste Stunde als MaRT-Mentor. “zLetztes Mal habt ihr euch mit der vollständigen Induktion und dem Schubfachprinzip befasst. Hierzu habe ich ein paar Aufgaben mitgebracht. Heute werdet ihr noch weitere Beweistechniken kennenlernen.“

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 4. Es darf auch gerechnet werden

Zusammenfassung

„In unseren Aufnahmeprüfungen haben wir viel über die Modulo-Rechnung gelernt. Sie ist für viele zahlentheoretische Fragestellungen äußerst nützlich. Wir befassen uns heute und beim nächsten Treffen mit der Modulo-Rechnung, allerdings mit schwierigeren Anwendungen. Schließlich seid ihr ja auch älter, als wir es damals waren“, eröffnet Bernd den Nachmittag.

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 5. Tapetenwechsel

Zusammenfassung

„Hallo“, eröffnet Bernd den Nachmittag. „Habt ihr schon gewusst, dass Zahlentheorie auch in der Kunst eine Rolle spielen kann?“ „Tatsächlich?“ „Lasst euch überraschen!“

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 6. Ganz schön extrem!

Zusammenfassung

„Heute und beim nächsten Mal befassen wir uns mit Ungleichungen“, eröffnet Anna das Treffen. „Ungleichungen spielen im Mathematikunterricht normalerweise nur eine geringe Rolle. Dennoch sind sie wichtig und interessant. Außerdem kommen Ungleichungen in verschiedenen Mathematikwettbewerben vor.“

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 7. Gut sortiert ist halb gewonnen

Zusammenfassung

Mit einem freundlichen „Hallo!“ eröffnet Anna das Treffen. „Heute werdet ihr zwei weitere Techniken kennenlernen, die zur Lösung von Ungleichungen oft nützlich sind.

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Musterlösungen

Frontmatter

Kapitel 8. Musterlösung zu Kap. 2

Zusammenfassung

Kap. 2 und 3 befassen sich mit allgemeinen Beweistechniken, die in zahlreichen mathematischen Gebieten Anwendung finden.

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 9. Musterlösung zu Kap. 3

Zusammenfassung

Kap. 3 setzt 2 thematisch fort. Neben einigen Aufgaben zur vollständigen Induktion und zum Schubfachprinzip werden zwei weitere universelle Beweistechniken eingeführt, nämlich das Extremalprinzip und das Invarianzprinzip.

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 10. Musterlösung zu Kap. 4

Zusammenfassung

Kap. 4 und Kap. 5 setzen voraus, dass die Schüler mit der Modulo-Rechnung vertraut sind und den erweiterten Euklidischen Algorithmus kennen.

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 11. Musterlösung zu Kap. 5

Zusammenfassung

Kap. 5 setzt die Modulo-Rechnung fort. Allerdings steht nicht mehr das Lösen von Kongruenzen im Fokus, sondern die Eulersche \(\varphi \)-Funktion und der Satz von Euler. Die beiden ersten Aufgaben wiederholen zunächst den Stoff aus Kap. 4.

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 12. Musterlösung zu Kap. 6

Zusammenfassung

Ungleichungen wurden bereits in den „Mathematischen Geschichten V“ (Schindler-Tschirner & Schindler, 2022a, Kap. 7) behandelt. Kap. 7 beginnt mit Standardtechniken, wobei die Lösung der Aufgaben d) und e) Oberstufenstoff benötigt. Danach wird die GM-AM-QM-Ungleichung wiederholt und an verschiedenen Aufgaben eingeübt. Für einige Schüler mag dies eine Wiederholung sein, für andere aber neu. Der Schwierigkeitsgrad der meisten Aufgaben ist höher als in den „Mathematischen Geschichten V“.

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Kapitel 13. Musterlösung zu Kap. 7

Zusammenfassung

Der alte MaRT-Fall in Kap. 7 ist ungewöhnlich, da es nicht um die Lösung eines einzelnen, schwierigen Problems geht. Stattdessen wenden die Schüler verschiedene Techniken an und vergleichen die Ergebnisse. Es bietet sich an, den alten MaRT-Fall in kleinen Gruppen zu bearbeiten.

Susanne Schindler-Tschirner, Werner Schindler

Backmatter

Titel: Mathematische Geschichten VII – Extremwerte, Modulo und Beweise
verfasst von: Susanne Schindler-Tschirner
Werner Schindler
Copyright-Jahr: 2023
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-67848-0
Print ISBN: 978-3-662-67847-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67848-0