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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Mathematische Grundlagen der FEM

verfasst von : Manfred Hahn, Michael Reck

Erschienen in: Kompaktkurs Finite Elemente für Einsteiger

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Die physikalischen Grundlagen, die im vorigen Kapitel eingeführt wurden, zeigen im Wesentlichen zwei Punkte auf: Erstens, dass viele physikalische Feldprobleme über ein Potential beschrieben werden können, und zweitens, dass die Minimierung dieses Potentials gerade die Lösung des Feldproblems liefert. Das Ziel dieses Kapitels ist es, zum einen die Lösung dieser Minimierungsaufgabe herzuleiten und zum anderen, diese anschließend auf Probleme zu erweitern, für die kein Potential existiert.
Zu diesem Zweck wird zuerst die Variationsrechnung, ein mathematisches Verfahren zur Extremstellensuche bei Funktionalen eingeführt. Dieses Verfahren kann auf sämtliche Potentialprobleme angewandt werden, da die Potentiale zugleich auch Funktionale des unbekannten Feldverlaufs sind. Darauf folgend wird die Lösung dieser Rechnung über die Galerkin-Methode für Problemstellungen verallgemeinert, für die kein Potential existiert, sondern lediglich eine Differentialgleichung. Zudem wird gezeigt, dass beide Methoden äquivalent sind.

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Fußnoten
1
Auch der Begriff des Funktionals wird im Folgenden genauer erläutert.
 
2
Eine Ausnahme hierfür bilden Sattelpunkte, an denen (3.1) ebenfalls erfüllt ist, die aber dennoch keine Extremstellen sind. Auf Sattelpunkte soll hier jedoch der Einfachheit halber nicht weiter eingegangen werden.
 
3
Wie im eindimensionalen Fall werden auch hier Sattelpunkte der Einfachheit halber vernachlässigt.
 
4
Im Folgenden werden Terme mit zweiten und höheren Ableitungen aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht ausgeschrieben.
 
5
\(\int_{\Omega}\text{div}\left({\,{\cdot}\,}\right)\mathrm{d}\Omega=\int_{\partial\Omega}({\,{\cdot}\,})^{T}\mathbf{n}\,\mathrm{d}{\partial\Omega}\), wobei \(\mathbf{n}\) der Normalenvektor auf der Oberfläche des Gebiets \(\Omega\) ist.
 
6
Im Gegensatz zur Variationsrechnung, in der bezüglich der räumlichen Feldfunktion minimiert wird.
 
7
Siehe hierzu Kap. 7.
 
Literatur
1.
Strang, G., Fix, G. J.: An Analysis of the Finite Element Method. Prentice Hall (1973) MATH
2.
Galerkin, B. G.: Series in some questions of elastic equilibrium of rods and plates. Vestnik Inzhenerov Tekhnikov 19, 897–908 (1915)
3.
Gâteaux, R: Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques. CR Hebd. Séances Acad. Sci. 157, 325––327 (1913)MATH
4.
R. L. Taylor, O. C. Z.: The Finite Element Method. Bd. 3, Fluid Dynamics, 5. Aufl. Butterworth-Heinemann, Oxford (2000)
5.
Ritz, W.: Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. J. Reine Angew. Math. 135, 1 (1909)MathSciNetMATH
6.
Brenner, S. C., Scott L. R.: The mathematical theory of Finite Element Methods, 3. Aufl. Springer Science & Business Media (2008) CrossRef
7.
Trefftz, E.: Ein Gegenstück zum Ritzschen Verfahren. In: Verhandlungen des zweiten internationalen Kongresses für technische Mechanik, S. 131–137. Zürich (1926)
8.
Wunderlich, W., Pilkey, W. D.: Mechanics of Structures, Variational and Computational Methods, 2. Aufl. CRC Press, London (2003) MATH
9.
Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., Zhu, J. Z.: The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, 7. Aufl. Elsevier (2013) MATH
Metadaten
Titel
Mathematische Grundlagen der FEM
verfasst von
Manfred Hahn
Michael Reck
Copyright-Jahr
2018
Buch
Kompaktkurs Finite Elemente für Einsteiger

Print ISBN: 978-3-658-22774-6

Electronic ISBN: 978-3-658-22775-3

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-22775-3_3

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