Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

verfasst von: Robert Denk

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Wichtige in der Quantenmechanik auftretende Begriffe mathematisch präzise und ausführlich zu erklären und anzuwenden – das ist das Ziel des vorliegenden Buches. Die Axiome der Quantenmechanik können in wenigen Zeilen formuliert werden, stecken aber voller mathematisch anspruchsvoller Begriffe. In diesem Buch werden die wichtigsten Konzepte erläutert, welche zum Verständnis der Quantenmechanik benötigt werden. Das Buch sammelt die benötigten Definitionen und Sätze aus verschiedenen Bereichen der Mathematik (unter anderem Maßtheorie, Fourieranalysis, Funktionalanalysis und Operatortheorie), wobei die Aussagen vollständig bewiesen oder mit genauen Literaturangaben belegt werden. Nachdem die mathematischen Grundlagen bereitgestellt wurden, können viele zentrale Ergebnisse der Quantenmechanik einfach gewonnen werden – so besteht etwa der Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation nur aus wenigen Zeilen. Darüber hinaus werden in diesem Buch grundlegende quantenmechanische Systeme untersucht, insbesondere wird das Spektrum des Wasserstoffatoms mit und ohne Spin vollständig hergeleitet.

Durch die präzise Formulierung und die ausgeführten Beweise schließt dieses Buch eine Lücke für Studierende der Physik und Mathematik: Es setzt kein Vorwissen voraus, das über die Grundvorlesungen und Kenntnisse der ersten drei Semester hinausgeht – und eignet sich damit in beiden Fächern ausgezeichnet für die zweite Hälfte des Bachelor-Studiums oder als Ergänzung im Masterbereich. Wer die Quantenmechanik bereits aus der Physik kennt, wird hier die gehörten Begriffe präzisiert und vertieft finden, und wem einige der verwendeten Theorien bereits aus dem Mathematik-Studium vertraut sind, der wird hier die Anwendung in der Quantenmechanik kennenlernen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Motivation: Klassische Mechanik und Quantenmechanik

Zusammenfassung

Die Begriffe der klassischen Mechanik sind typischerweise mit dem Wissen einer Analysis-Vorlesung nachvollziehbar.

Robert Denk

Kapitel 2. Hilberträume

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die Definition und Eigenschaften von Hilberträumen behandelt. Neben einfachen Folgerungen wie der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und dem Satz von Pythagoras werden in diesem Kapitel der Approximations- und der Projektionssatz sowie der Satz von Riesz betrachtet; letzterer beschreibt den topologischen Dualraum eines Hilbertraums. Wir ordnen Hilberträume in die größere Klasse normierter und topologischer Räume ein und diskutieren dabei kurz den wichtigen Begriff der kompakten Mengen. Abschließend werden die Existenz von Orthonormalbasen in Hilberträumen und die Darstellung von Elementen bezüglich der Basis untersucht.

Robert Denk

Kapitel 3. Elemente der Maß- und Integrationstheorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden zunächst die Begriffe \(\sigma \)-Algebra, messbare Menge und Maß definiert, bevor man über messbare Funktionen zum Integral kommt. Es folgt die Diskussion der wichtigsten Sätze aus der Theorie des allgemeinen Lebesgue-Integrals, wie das Lemma von Fatou, die Sätze von Lebesgue über monotone und majorisierte Konvergenz sowie der Satz von Fubini über die Vertauschbarkeit von Integralen und der Transformationssatz für das Lebesgue-Integral im n-dimensionalen Raum. Schließlich wird der Hilbertraum \(L^2(\mu )\) für ein beliebiges Maß \(\mu \) betrachtet.

Robert Denk

Kapitel 4. Distributionen und die Fourier-Transformation

Zusammenfassung

Es werden die wichtigsten Ideen und Eigenschaften von Distributionen betrachtet, wobei auch temperierte Distributionen behandelt werden. Wenn man mit distributionellen Ableitungen für \(L^2\)-Funktionen arbeitet, ist oft die Fouriertransformation nicht mehr weit weg, denn diese verwandelt Ableitungen in punktweise Multiplikationen und dient somit zu einer einfachen Beschreibung von Observablen, welche als Ableitungsoperatoren definiert sind. Daher wird in diesem Kapitel auch die Fouriertransformation diskutiert, wobei das Konzept der Testfunktionen auch hier helfen wird, die Fouriertransformation für eine große Klasse von Distributionen zu definieren.

Robert Denk

Kapitel 5. Lineare Operatoren in Hilberträumen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden zunächst lineare Operatoren und zugehörige Konzepte wie abgeschlossen und abschließbar, Spektrum, Resolvente sowie der adjungierte Operator diskutiert. Damit lassen sich Symmetrie und Selbstadjungiertheit eines Operators definieren, als Beispiel werden Multiplikationsoperatoren betrachtet. Die Friedrichs-Erweiterung liefert eine Methode zurKonstruktion selbstadjungierter Operatoren, und das Kriterium von Kato ist ein Beispiel für einen Störungssatz zur Selbstadjungiertheit.

Robert Denk

Kapitel 6. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren

Zusammenfassung

Der Spektralsatz beschreibt selbstadjungierte Operatoren in Form eines Integrals bezüglich eines Spektralmaßes. Daher werden in diesem Kapitel zunächst die Begriffe Spektralmaße und Integrale über Spektralmaße diskutiert, bevor der Spektralsatz in verschiedenen Varianten formuliert wird. Mit Hilfe des Spektralmaßes ist es möglich, Funktionen f selbstadjungierter Operatoren T zu definieren. Dabei wird für die Funktion nur die Messbarkeit vorausgesetzt, und man kann den Definitionsbereich von f(T) über eine Integrierbarkeitsbedingung beschreiben. Wir behandeln zunächst Spektralmaße und Integrale bezüglich Spektralmaßen sowie den Spektralsatz und den Funktionalkalkül, welcher es unter anderem erlaubt, zu selbstadjungierten Operatoren T zugehörige unitäre Gruppen zu konstruieren. Der Satz von Stone besagt, dass jede unitäre Gruppe auf diese Weise beschrieben werden kann. Für Familien von Operatoren gilt der Spektralsatz, falls diese Operatoren kompatibel sind, d. h. paarweise kommutieren. Der Spektralsatzwird dabei sowohl für einen als auch für mehrere (kompatible) Operatoren in zwei Varianten formuliert: mit Hilfe des Spektralmaßes und in Multiplikationsoperator-Form.

Robert Denk

Kapitel 7. Kompakte Operatoren und Spurklasseoperatoren

Zusammenfassung

Wir definieren zunächst kompakte Operatoren und zeigen, dass für einen kompakten Operator auch der adjungierte Operator kompakt ist (Satz von Schauder), diskutieren dann die Theorie von Riesz über kompakte Operatoren und den Zusammenhang zu Fredholm-Operatoren. Die Menge der kompakten Operatoren enthält als Unterraum die Menge der Spurklassenoperatoren und der Hilbert-Schmidt-Operatoren. Der zugehörige Begriff der Spur eines Operators verallgemeinert den Spurbegriff für Matrizen und kann etwa als Summe aller Eigenwerte (im Sinne einer absolut konvergenten Reihe) geschrieben werden.

Robert Denk

Kapitel 8. Fazit: Die Postulate der Quantenmechanik

Zusammenfassung

Wir wiederholen in diesem Kapitel zunächst die Axiome der Quantenmechanik und die Beispiele Orts- und Impulsvariable. Wir zeigen in einer einfachen Rechnung, dass nicht beide gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden können - das ist die berühmte Unschärferelation nach Heisenberg. Weiter werden die kanonischen Vertauschungsrelationen nach Heisenberg und Weyl behandelt. Die zeitliche Entwicklung reiner Zustände wird sowohl im Schrödinger-Bild als auch im Heisenberg-Bild beschrieben. Nach einer kurzen Diskussion des Messprozesses wird noch die zeitliche Entwicklung gemischter Zustände besprochen.

Robert Denk

Kapitel 9. Erste Beispiele quantenmechanischer Systeme

Zusammenfassung

Nachdem wir in den vorigen Kapiteln die Axiomatik der Quantenmechanik und die zugrundeliegenden mathematischen Begriffe und Theorien kennen gelernt haben, sollen nun als erste Anwendung einfache quantenmechanische Systeme untersucht werden. Dabei geht es vor allem um die Eigenschaften des Hamilton-Operators, insbesondere die Struktur des Spektrums und zugehörige Eigenfunktionen. Wir starten mit der Analyse des freien Teilchens und des Spektrums des zugehörigen Hamilton-Operators, welcher ein Vielfaches des Laplace-Operators ist. Es zeigt sich, dass das Punktspektrum leer ist, d. h. das Spektrum besteht nur aus dem kontinuierlichen Spektrum. Die zeitliche Entwicklung eines reinen Zustands kann explizit in Form einer Faltung angegeben werden. Der harmonische Oszillator hingegen besitzt ein rein diskretes Spektrum, und mit Hilfe der Hermite-Polynome kann man eine zugehörige Orthonormalbasis aus Eigenvektoren finden.

Robert Denk

Kapitel 10. Quantenmechanische Beschreibung des Wasserstoffatoms

Zusammenfassung

Zunächst beschreiben wir das kontinuierliche Spektrum des Hamilton-Operators für das Wasserstoffatom ohne Spin, wobei wir den Satz über Kato-Störungen verwenden. Für die anschließende Untersuchung des Punktspektrums ist das Konzept von Drehimpulsoperatoren hilfreich, welches es schließlich erlaubt, die Eigenwerte und zugehörige Eigenfunktionen explizit anzugeben. Danach wird das Wasserstoffatom mit Spin bei Anwesenheit eines äußeren Magnetfelds betrachtet, die dabei auftretende Aufspaltung der Eigenwerte kann unter anderem den anomalen Zeeman-Effekt erklären. Schließlich geben wir noch einen kurzen Ausblick auf ein relativistisches Modell des Wasserstoffatoms und diskutieren den dabei auftretenden Dirac-Operator.

Robert Denk

Backmatter

Titel: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik
verfasst von: Robert Denk
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-65554-2
Print ISBN: 978-3-662-65553-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-65554-2