Mathematische Methoden für Ökonomen

Frontmatter

Chapter 1. Funktionen

Zusammenfassung

Ökonomische Modelle bringen Mengen, Preise und andere Größen in einen quantitativen Zusammenhang. Um mit Zuordnungen von ökonomischen Größen präzise umgehen zu können, benötigen wir daher zunächst den mathematischen Begriff der Funktion. In diesem Kapitel beschreiben wir die in diesem Zusammenhang wichtigsten mathematischen Begriffe. Ferner geben wir einige Beispiele ökonomisch relevanter Funktionen an.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 2. Matrizen und Vektoren

Zusammenfassung

Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema, in dem Zahlen zusammengefasst werden. Matrizen haben vielfältige Anwendungen, etwa bei der Beschreibung von Produktionsprozessen oder dem Lösen linearer Gleichungssysteme. Mit Hilfe der sogenannten Matrix-Vektor-Notation können komplizierte Zusammenhänge oftmals in einfacher und übersichtlicher Form dargestellt werden. Matrizen stehen in engem Zusammenhang mit den sogenannten linearen Abbildungen. In diesem Kapitel behandeln wir die wichtigsten Begriffe der Matrizenrechnung und beschreiben den Zusammenhang mit linearen Abbildungen.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 3. Folgen und Reihen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden zunächst Folgen reeller Zahlen betrachtet und Kriterien für ihre Konvergenz angegeben. Dann untersuchen wir die Konvergenz von Reihen. Mit Hilfe der geometrischen Reihe werden Formeln der Finanzmathematik hergeleitet. Im Weiteren betrachten wir den wichtigen Begriff der Stetigkeit von Funktionen und diskutieren die wichtigsten Eigenschaften stetiger Funktionen.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 4. Differenzierbare Funktionen einer Variablen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel behandelt die Differentialrechnung mit reellen Funktionen, die nur von einer Variablen abhängen. Mit Hilfe der Differentialrechnung untersucht man dasWachstumsverhalten einer Funktion. Die erste Ableitung beschreibt den lokalen Anstieg der Funktion, die zweite Ableitung ihre Krümmung. Durch die beiden Ableitungen werden Maximal- und Minimalstellen der Funktion sowie bestimmte qualitative Eigenschaften – Monotonie, Konvexität und Konkavität – charakterisiert. Die Differentialrechnung spielt eine wichtige Rolle bei der Kurvendiskussion, d.h. der Untersuchung von Funktionen auf Extrema oder Wendepunkte. Auch numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung wie beispielsweise das Newton-Verfahren beruhen auf der lokalen Approximation einer Funktion mit Hilfe der Differentialrechnung.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 5. Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen

Zusammenfassung

Die meisten in ökonomischen Modellen auftretenden Funktionen, etwa Produktionsfunktionen und Nutzenfunktionen, sind Funktionen mehrerer Variablen. In diesem Kapitel behandeln wir die Differentialrechnung von reellen Funktionen in mehreren Variablen. Wir erläutern die wichtigsten Begriffe wie partielle und totale Ableitung einer Funktion in mehreren Variablen, Differential und Elastizitäten, den Grad der Homogenität einer Funktion sowie Rechenregeln für die Ableitung von vektorwertigen und impliziten Funktionen.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 6. Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel bestimmen wir mit Hilfe der Differentialrechnung Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variablen. Die folgenden Abschnitte behandeln nacheinander die Bestimmung von Extrema im Innern des Definitionsbereichs, am Rand des Definitionsbereichs, und unter Nebenbedingungen. Im Innern des Bereichs werden lokale Maxima und Minima ähnlich wie bei Funktionen einer Variablen durch die beiden ersten Ableitungen der Funktion charakterisiert. Die Suche nach Extrema auf dem Rand erfordert spezielle Überlegungen. Maxima und Minima unter Gleichungsnebenbedingungen werden mit der Lagrange-Methode oder der Eliminationsmethode bestimmt. Für allgemeine Optimierungsprobleme, die neben Gleichungs- auch Ungleichungsnebenbedingungen enthalten, verwendet man zur Bestimmung von Extrema die sogenannten Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 7. Integralrechnung

Zusammenfassung

Die Integralrechnung hat zwei wesentliche Aufgaben. Zum einen stellt das Integrieren einer Funktion die Umkehrung des Differenzierens dar. Die Integralrechnung dient daher in erster Linie dazu, aus dem Steigungsverhalten einer Funktion – beschrieben durch ihre erste Ableitung – die Funktion selbst zu bestimmen. Zum anderen dient die Integralrechnung der Berechnung von Flächen und Volumina. Neben der Integralrechnung von Funktionen einer Variablen gehen wir auch auf die Integration von Funktionen mehrerer Variablen ein.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 8. Lineare Gleichungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir die Lösung linearer Gleichungen. Ein System von linearen Gleichungen in mehreren Unbekannten lässt sich als eine Gleichung zwischen Vektoren des Euklidischen Raums auffassen und einfacher in Matrix-Vektor-Notation darstellen. Wir beschreiben ein systematisches Verfahren zur Lösung einer linearen Gleichung, das sogenannte Gauß-Jordan-Verfahren. Dieses Verfahren kann nicht nur zur Lösung linearer Gleichungen verwendet werden, sondern auch zur Berechnung der Inversen einer Matrix und zur rechnerischen Lösung vieler weiterer Probleme, die uns in späteren Kapiteln begegnen werden. Die lineare Gleichung wird beim Gauß-Jordan- Verfahren durch elementare Zeilenumformungen so weit umgeformt, dass die Lösung der linearen Gleichung direkt ablesbar ist.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 9. Grundbegriffe der linearen Algebra

Zusammenfassung

Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Struktur sogenannter Vektorräume beschäftigt. Ein Vektorraum ist eine Struktur, in der sich „im Wesentlichen“ so rechnen lässt, wie wir es von den Vektoren des Euklidischen Raums kennen. In diesem Kapitel werden wir die grundlegenden Begriffe der linearen Algebra einführen. Der Einfachheit halber beschränken wir uns dabei weitgehend auf den Fall, dass der Vektorraum der Euklidische Raum ist, gehen aber auch kurz auf allgemeinere Vektorräume ein. Am Ende diese Kapitels wenden wir die erhaltenen Ergebnisse auf die Lösung linearer Gleichungen an.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 10. Determinanten und Eigenwerte von Matrizen

Zusammenfassung

Jeder quadratischen Matrix wird eine Zahl, ihre Determinante, zugeordnet. Determinanten von Matrizen haben vielfältige Anwendungen. Determinanten werden im Folgenden benötigt, um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix zu bestimmen. Außerdem lassen sich die hinreichenden Bedingungen für Extrema einer Funktion mit und ohne Nebenbedingungen mit Hilfe von Determinanten beschreiben. Eigenwerte und Eigenvektore einer Matrix haben vielfältige Anwendungen. Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse von Input-Output-Modellen, in der multivariaten Statistik im Rahmen der Hauptkomponenten- bzw. Faktoranalyse, in der Zeitreihenanalyse bei den sogenannten vektorautoregressiven Modellen sowie bei der Untersuchung von Systemen von linearen Differential- bzw. Differenzengleichungen.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 11. Lineare Optimierung

Zusammenfassung

Lineare Optimierungsprobleme sind dadurch gekennzeichnet, dass sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen durch lineare Funktionen gegeben sind. In diesem Kapitel beschreiben wir ein systematisches Verfahren zur Lösung solcher Optimierungsprobleme, das sogenannte Simplex-Verfahren. Das Simplex-Verfahren ermöglicht die Lösung linearer Optimierungsprobleme mit einer großen Anzahl von Variablen und Nebenbedingungen. Im Verlauf des Kapitels gehen wir auch auf die Dualitätstheorie ein und zeigen, wie die sogenannten Dualitätssätze zur effizienten Lösung linearer Optimierungsprobleme verwendet werden können.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 12. Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Differentialgleichungen spielen eine wichtige Rolle in vielen ökonomischen Modellen, besonders in solchen, in denen die zeitliche Entwicklung ökonomischer Größen modelliert wird, etwa in der Wachstumstheorie oder bei der Beschreibung von Marktprozessen. Man spricht dann von sogenannten dynamischen ökonomischen Modellen. Wird die Entwicklung der relevanten ökonomischen Größen zu beliebigen reellen Zeitpunkten betrachtet, so spricht man von Modellen in stetiger Zeit. Modelle in stetiger Zeit formuliert man als Differentialgleichungen. In diesem Kapitel beschreiben wir die grundlegende Theorie sowie Lösungsverfahren für verschiedene Typen von Differentialgleichungen und gehen dabei insbesondere auch auf Systeme von Differentialgleichungen ein.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 13. Differenzengleichungen

Zusammenfassung

Wie Differentialgleichungen spielen auch Differenzengleichungen eine wichtige Rolle in dynamischen ökonomischen Modellen. Wird die Entwicklung der relevanten ökonomischen Größen lediglich zu einzelnen Zeitpunkten bzw. in einzelnen Zeitperioden betrachtet, so spricht man von Modellen in diskreter Zeit oder Periodenmodellen. Modelle in diskreter Zeit formuliert man als Differenzengleichungen. In diesem Kapitel beschreiben wir die grundlegende Theorie sowie Lösungsverfahren für lineare Differenzengleichungen und gehen dabei insbesondere auch auf Systeme von Differenzengleichungen ein.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 14. Das griechische Alphabet

Zusammenfassung

Die folgende Tabelle zeigt das griechische Alphabet.

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Chapter 15. Mengen

Zusammenfassung

Eine Menge ist eine Gesamtheit von verschiedenen Objekten, genannt Elemente. Die Elemente können Zahlen, aber auch Objekte anderer Art sein. Der Begriff der Menge ist ein zentraler Begriff der modernen Mathematik. In diesem Kapitel stellen wir kurz die wichtigsten Ergebnisse der elementaren Mengenlehre dar.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 16. Summen und Produkte

Zusammenfassung

Formeln, in denen Summen vorkommen, lassen sich häufig übersichtlicher schreiben und einfacher umformen, indem man eine abkürzende Schreibweise für die Summen verwendet. Dabei werden die Summanden mit Hilfe eines Index beschrieben, der bestimmte Werte durchläuft. Die Summe wird durch das Summenzeichen, ein großes griechisches Sigma, symbolisiert. In diesem Abschnitt stellen wir die wichtigsten Rechenregeln für das Summenzeichen und das analog definierte Produktzeichen dar.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 17. Kombinatorik

Zusammenfassung

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anzahl der möglichen Anordnungen und Auswahlen von Objekten, wie sie beispielsweise für Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten in derWahrscheinlichkeitsrechnung benötigt werden. In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende kombinatorische Formeln dar.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 18. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

In den reellen Zahlen kann man keine Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen, da das Quadrat einer jeden reellen Zahl größer oder gleich null ist. Um zu ermöglichen, auch für negative Zahlen eine Quadratwurzel zu definieren, erweitert man den Zahlbereich der reellen Zahlen zu den sogenannten komplexen Zahlen. Komplexe Zahlen spielen in diesem Buch bei der Lösung linearer Differential- und Differenzengleichungen eine wichtige Rolle. In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Theorie der komplexen Zahlen.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 19. Aussagenlogik

Zusammenfassung

Eine Aussage ist ein Satz, der prinzipiell als wahr oder falsch bezeichnet werden kann. Die Aussagenlogik befasst sich mit Aussagen und deren Verknüpfung. In diesem Abschnitt geben wir eine kurze Einführung in die Grundbegriffe der Aussagenlogik.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 20. Beweistechnik

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt stellen wir kurz die wichtigsten mathematischen Beweistechniken dar. Insbesondere beschreiben wir den direkten Beweis, den Umkehrschluss, den Beweis durch Widerspruch und die vollständige Induktion.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 21. Kurzlösungen zu den Selbsttests

Zusammenfassung

Der folgende Abschnitt enthält die Kurzlösungen aller Selbsttests.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Chapter 22. Kurzlösungen zu den Aufgaben

Zusammenfassung

Der folgende Abschnitt enthält die Kurzlösungen aller Aufgaben.

Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

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