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Über dieses Buch

Das Kontinuum ist seit Aristoteles ein Gegenstand philosophischen Denkens, seit Leibniz auch mathematischer Theorie. Das heute gängige Standardmodell, das reelle Zahlensystem, das der klassischen Analysis und den physikalischen Weltmodellen zugrunde liegt, ist weder das erste noch das letzte Wort der Mathematik zu diesem Thema.

Das vorliegende Buch unternimmt es, in repräsentativer Auswahl Revue passieren zu lassen, was die Mathematik bisher zu ihm hervorgebracht hat, von der Proportionenlehre des Eudoxos bis zum synthetischen Infinitesimalkalkül und den Conwayzahlen; das Standardmodell, in den Grundvorlesungen meist axiomatisch eingeführt, wird dabei aus den mengentheoretischen Axiomen, also vom Ausgangspunkt (fast) aller heutigen Theorie konstruiert.

Gleichzeitig wird versucht, den Gegenstand und seine Entwicklung in philosophische und historische Zusammenhänge zu stellen.

Der Text eignet sich als Grundlage für Vorlesungen und Seminare, aber auch zum Selbststudium für jeden, der eine mathematische Grundausbildung absolviert hat.

Der Verfasser lehrt Zahlentheorie an der Universität Hamburg.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Seit griechischer Zeit ist es eine Grundaufgabe der Wissenschaft, bei Aristoteles noch der Physik, seit Leibniz der Mathematik, eine Theorie des Kontinuums zu geben. Ziel dieser Vorlesung ist, in einigermaßen repräsentativer Auswahl Revue passieren zu lassen, was die mathematische Spekulation im Verfolg dieser Aufgabe hervorgebracht hat. Es wird sich dabei herausstellen, dass die übliche Theorie der reellen Zahlen, die in den Grundvorlesungen mit so viel Selbstverständlichkeit als die Theorie des Kontinuierlichen schlechthin dargestellt wird, diesen Status keineswegs beanspruchen kann, dass zu der genannten Grundaufgabe das letzte Wort noch nicht gesprochen ist, ja dass es ein solches letztes Wort vielleicht nie geben wird.
Ernst Kleinert

Kapitel 2. Die griechische Proportionenlehre

Zusammenfassung
Zu Beginn des 5. Jahrhunderts v. Chr. war die mathematische Welt der Pythagoreer noch heil: alle Verhältnisse im Kosmos lassen sich durch Verhältnisse zwischen Zahlen (und das heißt immer: natürlichen Zahlen) ausdrücken; die Zahlen sind die Ordnungsmächte schlechthin in allem, was existiert, sind „Formkräfte aller Wirklichkeit“. Ja, die Pythagoreer gingen soweit, zu sagen, dass die Dinge selbst Zahlen seien, arithmous einai phasin auta ta pragmata, wie Aristoteles überliefert, und das All nichts anderes als die Entfaltung der Einheit, monas. Die schönste Bestätigung dieser Ansicht gab die Musiktheorie: einfache ganzzahlige Unterteilungen einer Saite liefern die Grundintervalle, 1:2 = Oktave, 2:3 = Quinte.
Ernst Kleinert

Kapitel 3. Algebra aus Geometrie

Zusammenfassung
Wir haben gesehen, dass eine mathematische Beschreibung des Kontinuums unfruchtbar bleibt, wenn sie nicht mit einem Kalkül für dessen Punkte verbunden ist. In diesem Kapitel setzen wir die Beschreibung als eine geometrische voraus und zeigen, wie man aus ihr algebraische Strukturen gewinnt, mit denen sich dann die Geometrie koordinatisieren lässt. Die Anschauung vom linearen und ebenen Kontinuum setzt sich um in Axiome, aus denen sich für Punkte und Strecken ein Kalkül gewinnen lässt: das Kontinuum wird „rechenfähig“.
Ernst Kleinert

Kapitel 4. Die reellen Zahlen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir das reelle Zahlensystem, wie es am Anfang einer Analysisvorlesung axiomatisch präsentiert wird (als archimedisch angeordneter vollständiger Körper), von Grund auf konstruieren. Einige Schritte dieses Aufbaus sind den meisten von Ihnen wohl bekannt, ich werde darum hauptsächlich diejenigen Aspekte beleuchten, von denen ich das nicht voraussetzen kann. Der Grund und Boden, auf den wir uns dabei stellen, ist die Standardtheorie der Mengen, d. h. die von Zermelo-Fraenkel.
Ernst Kleinert

Kapitel 5. Die Konstruktion von A’Campo

Zusammenfassung
Wir schließen eine Konstruktion an, die Norbert A’Campo im Jahr 2003 vorgelegt hat; wir bringen sie hier, weil sie methodisch nicht über das Vorangegangene hinausgeht (das wird sich in der Folge ändern). Sie verblüfft insofern, als ihr Grundbegriff auf den ersten Blick mit Kontinuität gar nichts zu tun zu haben scheint, anders als Cauchyfolgen, Schnitte oder Intervallschachtelungen. Vollständige Beweise werde ich nicht geben, aber ich hoffe, Ihnen einen Eindruck von der Art der Argumente zu vermitteln, die hier verwendet werden.
Ernst Kleinert

Kapitel 6. Nicht-Standardanalysis nach Robinson

Zusammenfassung
Im vorletzten Kapitel haben wir ein Hauptziel dieser Vorlesung erreicht, die Konstruktion eines Größenbereichs, der die Qualitäten der Zahlen und des Kontinuums in sich vereinigt: er gestattet einen Kalkül, algebraisch: ist ein Körper, und er ist vollständig im ausführlich erörterten Sinne. Als die Analysis entstand, gab es nichts dergleichen, dafür wurde mit etwasanderem operiert, das aus der modernen (Standard-)Theorie verschwunden ist, dem Unendlichkleinen. Nun haben Sie in der Analysisvorlesung dazu bestimmt ein paar Bemerkungen gehört, wie ich selbst in der Einleitung eine gemacht habe: die Väter der Analysis seien auf schwankendem Boden gewandelt, dafür mit genialer Intuition, und erst das 19. Jahrhundert habe strenge Begründungen nachgeliefert, mit der Epsilontik alles ins Finite geholt und sozusagen das Aktual-Unendlichkleine durch das Potenziell-Unendlichkleine ersetzt.
Ernst Kleinert

Kapitel 7. Synthetische Infinitesimalrechnung

Zusammenfassung
Nach dem Extensionalitätsaxiom sind zwei Mengen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Damit ist eine Menge etwas essenziell Diskretes, aus Individuen zusammengesetzt. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie nichtdiskret topologisiert. In jedem anständigen topologischen Raum besteht jeder Punkt „für sich“, kann von jedem anderen durch Umgebungen getrennt werden. Die Topologie legt den Verband der offenen Mengen über die Punkte wie einen Teppich, der mit flächigen Mustern den körnigen Untergrund bedeckt.
Ernst Kleinert

Kapitel 8. Conwayzahlen

Zusammenfassung
In einem 1976 erschienenen Buch ([C]), das schon als Klassiker gelten kann, hat John H. Conway eine Theorie von Zahlen entwickelt, die nicht nur die üblichen reellen Zahlen, sondern weit darüber hinaus alle Ordinalzahlen einschließt, aber immer noch so, dass diese Zahlen alle Axiome erfüllen, welche für die Elemente eines angeordneten Körpers gelten. Sie bilden allerdings keine Menge, sondern nurmehr eine Klasse, die wir Conway folgend mit No bezeichnen. Automatisch entstehen so auch, einfach durch Inversenbildung, Infinitesimalien, ebenso unendlich absteigend wie die Ordinalzahlen aufsteigen.
Ernst Kleinert

Kapitel 9. Brouwers Theorie der reellen Zahlen

Zusammenfassung
In den letzten drei Kapiteln haben wir Gedankengebäude aufgeführt, die einen doch am Ende ein wenig schwindlig werden ließen. Wir wollen zum Schluss, uns an den Gebrauch der griechischen Tragiker anlehnend, dieser kapitalen Trilogie ein Kapitel folgen lassen, das zu all dem einen entschiedenen Kontrapunkt darstellt, indem wir wieder ganz von vorn, sozusagen beim mathematischen Nullpunkt anfangen und zusehen, wie weit wir mit den „einfachsten“ Mitteln kommen. Denn wir haben, wenn man genau hinsieht, doch sehr viel in die Axiome gesteckt.
Ernst Kleinert

Kapitel 10. Zusammenfassung

Zusammenfassung
Wir haben einen langen Kursus hinter uns gebracht, haben in einem wahrhaften „Abenteuer der Ideen“ die „Taten und Leiden des Kontinuums“ kennengelernt und wenden uns, mit mehr Mathematik im Rücken als zuvor, zum Anfang zurück. Das Kontinuum zeigt sich in den Anschauungsformen Raum und Zeit; wir denken es als den immer gleichen, beständigen Zeitfluss, die immer gleiche, homogene Raumweite. So gedacht, in einem abstrakten An-Sich, gibt es uns gar keinen Ansatz für irgendeine Frage – es ist ja gerade die Strukturlosigkeit selbst, das Nichtsein von Unterscheidungen.
Ernst Kleinert

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