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2008 | Buch

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Mathematische Modelle in der Biologie

Deterministische homogene Systeme

verfasst von: Jan W. Prüss, Rico Zacher, Roland Schnaubelt

Verlag: Birkhäuser Basel

Buchreihe : Mathematik Kompakt

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch befasst sich mit mathematischen Modellen für dynamische Prozesse aus den Biowissenschaften. Behandelt werden Dynamiken von Populationen, Epidemien, Viren, Prionen und Enzymen, sowie Selektion in der Genetik. Das Buch konzentriert sich auf Modelle, deren Formulierung auf gewöhnliche Differentialgleichungen führt. Schwerpunkte der Kapitel sind sowohl die mathematische Modellierung als auch die Analyse der resultierenden Modelle, sowie die biologische bzw. biochemische Interpretation der Ergebnisse. Übungsaufgaben zu den Kapiteln erleichtern die Vertiefung des Stoffes.

Das Buch schlägt eine Brücke zwischen elementaren Einführungen in die Modellierung biologischer und biochemischer Systeme und mathematisch anspruchsvoller Spezialliteratur. Die vorgestellten Modelle und Techniken ermöglichen Studenten und Dozenten aus den Bereichen Bioinformatik und Biomathematik den Einstieg in komplexere Themen und weiterführende Literatur zur mathematischen Biologie.

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

I. Populationen

Zusammenfassung

Dieses einführende Kapitel befasst sich mit der mathematischen Modellierung biologischer Wachstumsprozesse. Wir beginnen mit den klassischen Gesetzen von Malthus und Verhulst, die die mathematische Basis dieser Theorie bilden. Danach befassen wir uns mit der Modellierung von Interaktionen in Populationen. Hier sind die drei Grundtypen zu nennen, nämlich Konkurrenz, Kooperation bzw. Symbiose, und die Räuber-Beute-Konstellation. Jedem dieser Interaktionstypen ist ein eigener Abschnitt gewidmet, in denen die entsprechenden Modelle für zwei Arten ausführlich diskutiert werden.

Jan W. Prüss, Rico Zacher, Roland Schnaubelt

II. Infektionen

Zusammenfassung

Kermack und McKendrick veröffentlichten um 1930 einige Arbeiten, in denen der zeitliche Verlauf ansteckender Krankheiten mit Hilfe mathematischer Modelle untersucht wurde. Diese Untersuchungen wurden zum Ausgangspunkt der mathematischen Modellierung von Infektionen.Wir behandeln hier einige grundlegende Modelle, die wichtige Aussagen über den Ablauf von Infektionen und über die Rolle von Maßnahmen wie Impfungen oder Quarantäne ermöglichen sollen. Dabei wird eine Population in eine Reihe von Klassen unterteilt:

die Klasse S der Infizierbaren (englisch: susceptibles),
die Klasse E der Infizierten, die noch nicht selbst infizieren können (englisch: exposed),
die Klasse I der Infizierenden (englisch: infectives),
die Klasse R der Individuen, die nicht (mehr) infizierbar oder infizierend sind (englisch: removed).

Jan W. Prüss, Rico Zacher, Roland Schnaubelt

III. Viren und Prionen

Zusammenfassung

Im ersten Abschnitt dieses Kapitels diskutieren wir ein grundlegendes Modell der Virendynamik, das auf May und Nowak zurückgeht. Dieses Modell führt auf eine stark gekoppelte dreidimensionale Differentialgleichung.Wir normalisieren dieses System und zeigen mit Hilfe von Ljapunov-Funktionen, dass ein Schwellenwert das Konvergenzverhalten des Systems steuert. Interessanterweise kann man das normalisierte System auch auf weitere Probleme der mathematischen Biologie anwenden. In Abschnitt 15 behandeln wir in diesem Sinne ein Modell zur Dynamik von Prionen und im letzten Abschnitt des Kapitels zwei komplexere Infektionsmodelle. In Abschnitt 14 verfeinern wir das Basismodell von May und Nowak, indem wir auch die Immunantwort des befallenen Organismus berücksichtigen.

Jan W. Prüss, Rico Zacher, Roland Schnaubelt

IV. Paarbildung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Dynamik zweigeschlechtlicher Populationen, die sich durch Paarbildung reproduzieren. Paarbildungsmodelle sind von großer Bedeutung für die Demographie und Epidemiologie, insbesondere auch für die Modellierung von sexuell übertragbaren Krankheiten.

Jan W. Prüss, Rico Zacher, Roland Schnaubelt

V. Genetik

Zusammenfassung

Die Populationsgenetik untersucht die genetische Zusammensetzung von Populationen unter dem Einfluss verschiedener Evolutionsfaktoren wie z.B. Selektion, Mutation, Rekombination oder Migration. Im Mittelpunkt dieses Kapitels steht ein grundlegendes Selektionsmodell zur Dynamik der Verteilung von Allelfrequenzen an einem Genort.

Jan W. Prüss, Rico Zacher, Roland Schnaubelt

VI. Enzyme

Zusammenfassung

Enzyme sind an vielen Stoffwechselvorgängen sowohl in tierischen als auch pflanzlichen Organismen beteiligt, sie gehören zu den wichtigsten biochemischen Substanzen. Daher befassen wir uns in diesem Kapitel mit den Grundlagen der Modellierung von Enzymreaktionen. Nach zwei einführenden Abschnitten über die Kinetik allgemeiner chemischer Reaktionen wird in Abschnitt 33 die typische Enzymreaktion mathematisch modelliert und diskutiert. Von zentraler Bedeutung ist dabei die sog. quasistationäre Approximation (QSSA), die zur sog. Michaelis-Menten Kinetik führt. Inhibierung und Aktivierung sind Kontrollmechanismen für enzymatische Reaktionen, diese werden in 34 und 35 behandelt. Der abschließende Abschnitt 36 befasst sich mit biochemischen Oszillationen. Ausgehend von der Glykolyse entwickeln wir ein Modell, das solche Oszillationen qualitativ erklären kann.

Jan W. Prüss, Rico Zacher, Roland Schnaubelt

De. Epilog

Zusammenfassung

Ist der Leser an diesem Punkt angelangt,so verlangt seine Neugier sicherlich nach mehr Informationen.Wir tragen dem mit diesem Epilog Rechnung. Hier greifen wir in Abschnitt 37 nochmals die einzelnen Kapitel auf und fügen einige Kommentare und Literaturhinweise hinzu.Diese zeigen schon,dass mit diesem Buch kein Endpunkt erreicht ist,sondern dass die mathematische Biologie jetzt erst richtig beginnt. Die anschließenden Abschnitte sollen einen Ausblick hinsichtlich Modellierung geben.Da dieses Thema uferlos ist,schränken wir uns hier auf drei Aspekte ein, der Modellierung von Abhängigkeiten wie Alter,Raum und Größe,die bisher nicht ausführlich behandelt werden konnten.

Jan W. Prüss, Rico Zacher, Roland Schnaubelt

Backmatter

Titel: Mathematische Modelle in der Biologie
verfasst von: Jan W. Prüss
Rico Zacher
Roland Schnaubelt
Copyright-Jahr: 2008
Verlag: Birkhäuser Basel
Electronic ISBN: 978-3-7643-8437-1
Print ISBN: 978-3-7643-8436-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8437-1

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