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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Elementare analytische Geometrie

Zusammenfassung
Die elementare Geometrie beschäftigt sich mit Punkten, Geraden und Ebenen im Raum. Schon eine präzise Erklärung dieser Begriffe bereitet einige Mühe. Noch schwieriger erscheint es, höherdimensionale Räume zu beschreiben und eine Anschauung davon zu vermitteln. „Ein Punkt ist, was keine Teile hat“, so beginnt EUKLID seine Definitionen der „Elemente“ [2]. Das ist relativ überzeugend im Gegensatz zu den problematischen Erklärungen von Geraden und Ebenen.
Gerd Fischer

Kapitel 2. Algebraische Flächen

Zusammenfassung
Eine algebraische Fläche im Raum ist die Nullstellenfläche eines Polynoms. Im Anschauungsraum realisierbar sind natürlich nur reelle affine Flächen, das sind Flächen {(x, y, z) ∈ 3: f (x, y, z) = 0} f (x, y, z) = ∑ a ijk x i y j z k , a ijk Demgegenüber sind gerade komplexe projektive Flächen der Theorie am besten zugänglich. Natürlich läßt sich jedes reelle Polynom auch als komplexes Polynom auffassen, und die reelle Nullstellenfläche ist dann der reelle Teil der entsprechenden komplexen Fläche. Weiter läßt sich jedes Polynom homogenisieren, und die affine Fläche ist der im Endlichen gelegene Teil der entsprechenden projektiven Fläche. Zu jeder reell-affinen algebraischen Fläche gehört also eine komplex-projektive Fläche.
Wolf Barth, Horst Knörrer

Kapitel 3. Differentialgeometrie

Zusammenfassung
Die in diesem Kapitel dargestellten differentialgeometrischen Modelle stammen mit einer Ausnahme aus dem vergangenen Jahrhundert. Sie repräsentieren insofern die Differentialgeometrie jener Zeit, als die Flächen des dreidimensionalen euklidischen Raumes noch im Mittelpunkt des Interesses standen. Wie in den meisten diesbezüglichen Arbeiten des 19. Jahrhunderts ist auch in den, folgenden Beiträgen die Krümmung ein zentraler Begriff. Sie wird als Hauptkrümmung, Normalkrümmung, Gaußsche und mittlere Krümmung auftreten. Besondere Beachtung werden Krümmungslinien als Linien maximaler bzw. minimaler Normalkrümmung und geodätische Linien als Kurven verschwindender geodätischer Krümmung finden.
Manfredo P. do Carmo, Gerd Fischer, Ulrich Pinkall, Helmut Reckziegel

Kapitel 4. Körper konstanter Breite

Zusammenfassung
Konvexe Körper von konstanter Breite b des dreidimensionalen euklidischen Raumes können, falls sie nicht selbst ein Kugelkörper vom Durchmesser b sind, in gewissem Sinne als eine Verallgemeinerung eines solchen Kugelkörpers angesehen werden. Sie besitzen überraschende Eigenschaften, so daß sich deren genauere Betrachtung gewiß als reizvoll erweisen dürfte. Dabei ist es für die Untersuchungen meistens unerheblich, ob man den betreffenden konvexen Körper (konstanter Breite) oder dessen Berandung (konstanter Breite) zugrunde legt.
Johannes Böhm

Kapitel 5. Reguläre Sternpolyeder

Zusammenfassung
Bereits im (klassischen) Altertum kannte man alle möglichen Arten regulärer Polyeder: Tetraeder, Oktaeder, Hexaeder (Würfel), Ikosaeder(Fig. 5.1) und Dodekaeder (Fig. 5.2). Im Buch XIII der „Elemente“ von Euklid (etwa 265- etwa 300 v.u.Z.), das inhaltlich auf Theaitetos (von Athen, etwa 415–368 v.u.Z.) zurückgeht, werden Ergebnisse über quadratische Irrationalitäten auf das Studium regulärer Polyeder angewendet und gezeigt, daß es genau fünf Arten regulärer Polyeder gibt.
Erhard Quaisser

Kapitel 6. Modelle der reellen projektiven Ebene

Zusammenfassung
Projiziert man die Punkte einer Ebene E des dreidimensionalen Raumes aus einem Punkt P, der nicht in E liegt, so erhält man im Rahmen der projektiven Geometrie eine eindeutige Zuordnung zwischen den Punkten von E und den Geraden durch P. Vom Standpunkt der projektiven Geometrie schneiden nämlich auch die zu E parallelen Geraden durch P die Ebene E in einem „unendlichfernen Punkt“.
Ulrich Pinkall

Kapitel 7. Funktionen

Zusammenfassung
Die auf den Fotos 121 und 122 gezeigten Modelle dienen der Veranschaulichung zweier „Gegenbeispiele“ zur Differentialrechnung mehrerer reeller Veränderlicher. Bei den nachfolgenden Anmerkungen stützen wir uns in erster Linie auf das Buch von Genocchi und Peano [GP] aus dem Jahre 1884 sowie dort zitierte Literatur.
Jürgen Leiterer

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