Mathematische Modellierung über Energieprinzipien

Die Gleichgewichtsbedingung der Elastizitätslehre gilt punktuell in einem Kontinuum und ist als partielles Differenzialgleichungssystem formuliert. Eine solche Beschreibung wird als synthetische Mechanik bezeichnet, in der vektorielle Größen wie Kraft, Impuls und Drall zur Beschreibung des Zustands eines mechanischen Systems in Verbindung mit dem Schnittprinzip genutzt werden. Es ist allerdings im Allgemeinen schwierig, Lösungen über das räumliche Volumen eines Körpers zu finden, die diese Gleichungen punktuell exakt erfüllen. Neben dieser Vorgehensweise existiert noch eine weitere vollständig äquivalente Methode, die als analytische Mechanik bezeichnet wird. Ausgehend von den skalaren Größen Arbeit und Energie werden Energieprinzipien in Form von Integralgleichungen formuliert. Die Energieprinzipien eignen sich sehr gut als Ausgangspunkt für Näherungsverfahren wie die FEM, da durch die Integralformulierung direkt Funktionen, die über den Raum definiert sind, eingesetzt werden können. In diesem Kapitel werden die für die FEM wichtigsten Energieprinzipien eingeführt und am Stabbeispiel exemplarisch erläutert sowie auf den 3-D-Fall erweitert. Eine weitere allgemeine Herangehensweise, die Methode der gewichteten Residuen, wird ebenfalls an einem Beispiel vorgestellt.