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2022 | Buch

Mathematische Modellierung

Wie funktioniert sie und was kann sie?

verfasst von: Martin Janßen

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe: essentials

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Über dieses Buch

Mathematische Modellierung (MM) dient als Planungswerkzeug für Entscheidungen, von denen wir alle zunehmend betroffen sind. Über das Vorgehen und die Aussagekraft von MM ist daher ein grundlegendes Verständnis auch ohne akademische Vorbildung wünschenswert. MM benötigt zwei wesentliche Elemente: Das Auffinden relevanter Einflussgrößen und das Auffinden einer kleinschrittigen Regel, die den Ablauf von Szenarien schrittweise erfasst. Im Text werden prototypische Modelle vorgestellt, die weite Anwendungsbereiche haben. Die Grenzen vom MM ergeben sich aus unvermeidbaren Beschränkungen in der Genauigkeit und sie führen zu einer Verzweigung von Modellen in vernetzte Modellsysteme.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Mathematische Modellierung ist eine Kulturtechnik zur Beantwortung quantitativer Fragestellungen. Für relevante Variablen werden kleinschrittige Regeln aus der Problemstellung destilliert und damit quantitative Antworten berechnet. Modelle werden an bekannten Fällen getestet. Jede Fragestellung besitzt eine innere Auflösungsgrenze und damit eine Unsicherheit der berechneten Größen. Aufgrund einer nicht mehr steigerbaren Genauigkeit können Entwicklungen in nicht vorhersagbarer Weise verzweigen zu unterschiedlichen Entwicklungen. Sie können aber mit Wahrscheinlichkeiten prognostiziert werden. Verzweigungen vernetzen verschiedene Modelle in baumartigen Strukturen. Ein einziges "Modell von Allem" mit Vorhersagekraft für beliebige Details kann es nicht geben.
Martin Janßen
Kapitel 2. Aufstellen, Lösen und Testen eines Preismodells
Zusammenfassung
Wir fangen mit einem Alltagsbeispiel an, das jeder kennt: Sie kaufen von einem Produkt mit festem Stückpreis, sagen wir 2,50 €, mehrere Stücke ein. Sie wollen den Gesamtpreis prognostizieren, den sie an der Kasse zahlen müssen.
Martin Janßen
Kapitel 3. Ein Potpourri an Modellen
Zusammenfassung
In den nachfolgenden Abschnitten stellen wir eine ganze Reihe unterschiedlicher Modelle vor, die sich für eine sehr große Vielzahl an quantitativen Anwendungen in unterschiedlichsten Wissenschaften (Physik, Chemie, Biologie, Wirtschaftswissenschaft, Ingenieurwissenschaften, Psychologie u. a.) bewährt haben und denen allen jeweils eine relativ anschauliche kleinschrittige Regel zugrunde liegt. Das Modell der Vertauschungsdynamik fällt dabei etwas heraus, weil es wenig unmittelbare praktische Anwendungen dafür gibt. Es ist aber besonders einfach und es gibt gute Gründe anzunehmen, dass es in einer Hierarchie von Modellen als Basismodell aller anderen herangezogen werden könnte.
Martin Janßen
Kapitel 4. Auflösungsgrenze und Fehlertoleranz
Zusammenfassung
Wir haben bereits gesagt, dass jedes Modell eine von der Fragestellung vorgegebene Auflösungsgrenze besitzt. Das werden wir nun näher erläutern und die Konsequenzen beschreiben. Sobald wir eine Variable als relevant für eine Fragestellung ausgewählt haben, sollten wir uns fragen, in welchem Wertebereich sie sich verändern kann.
Martin Janßen
Kapitel 5. Verzweigungen von Modellen
Zusammenfassung
Im letzten Abschn. 4.3 des vorausgegangenen Kapitels haben wir schon ein Phänomen gestreift, das man mit dem Slogan „More is different“ des Physikers Philip Anderson (1972) gut umreißen kann. In einem System, das sich aus einer sehr großen Zahl von konstituierenden Objekten zusammensetzt, die miteinander agieren nach kleinschrittigen Regeln, bilden sich neue kollektive Objekte mit eigenen kleinschrittigen Regeln. Die neuen kollektiven Objekte gibt es oft auf der unteren Ebene der sie konstituierenden Objekte gar nicht.
Martin Janßen
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematische Modellierung
verfasst von
Martin Janßen
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65762-1
Print ISBN
978-3-662-65761-4
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65762-1

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