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Über dieses Buch

Ausgehend von interessanten Beispielen aus der Physik bietet dieses Buch auch in der zweiten Auflage nicht nur eine gelungene Auswahl grundlegender Ergebnisse der klassischen Mechanik, sondern auch einen Einstieg in aktuelle Forschungsgebiete aus diesem Bereich. Hierbei reicht das Themenspektrum von dynamischen Systemen bis hin zur Störungstheorie und zeigt den großen Formenreichtum des Gebiets auf, vom gut berechenbaren (integrablen) bis zum chaotischen (mischenden) Verhalten. Höhepunkte des Buches sind die Darstellung der KAM-Theorie (Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorie) und ein Beweis der asymptotischen Vollständigkeit in der klassischen Streutheorie.

Mit einer klaren inhaltlichen Struktur und konzentrierten Anhängen ist die Darstellung in sich geschlossen und setzt lediglich Kenntnisse der Grundvorlesungen in Mathematik voraus.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Einleitung

Gut fünfzig Jahre vergingen zwischen Galileis Verurteilung und dem Erscheinen der Principia Newtons. In dieser Zeit etablierte sich die moderne Naturforschung, mit der Klassischen Mechanik als Leitwissenschaft. Wir beginnen diese Einführung mit der Lösung der Bewegungsgleichung für die Planeten, also der Bestätigung und Präzisierung des heliozentischen Weltbilds von Galileo Galilei.
Andreas Knauf

Chapter 2. Dynamische Systeme

Prototyp eines dynamischen Systems ist die vollständige (für alle Zeiten existierende) Lösung eines autonomen Differentialgleichungssystems. Die Komposition von Lösungen zu den Zeiten s und t ergibt die Lösung zur Zeit s+t.
Dynamiken kann man unter verschiedenen Blickwinkeln und mit unterschiedlichen Zusatzstrukturen betrachten, und entsprechend gibt es auch verschiedene Definitionen dynamischer Systeme. Wir untersuchen in diesem Kapitel zwar hauptsächlich sogenannte topologische und differenzierbare dynamische Systeme, es wird aber auch die Betrachtung maßerhaltender und insbesondere hamiltonscher Systeme vorbereitet.
Andreas Knauf

Chapter 3. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichungen sind so vielfältig wie die Naturvorgänge, die sie beschreiben. Dieses Kapitel beginnt damit, diese begrifflich zu sortieren, und gewöhnliche Differentialgleichungen in eine Normalform (explizite Differentialgleichung erster Ordnung) zu überführen. Danach werden Existenz, Eindeutigkeit und Glattheit der Lösung des Anfangswertproblems untersucht. Der Hauptsatz besagt, dass diese so glatt ist wie die das die Differentialgleichung definierende Vektorfeld.
Unter Umständen ist die maximale Lösung vollständig, existiert also für alle Zeiten. Sonst ist sie jedenfalls auf einer offenen Teilmenge des erweiterten Phasenraums definiert.
Andreas Knauf

Chapter 4. Lineare Dynamik

Lineare, nicht explizit zeitabhängige Differentialgleichungen sind mit Methoden der linearen Algebra lösbar. Die Lösung ist die matrixwertige Exponentialfunktion der Vielfachen der Systemmatrix, und sie kann mithilfe einer Jordan-Normalform berechnet werden.
Ist die Lösung einer homogenen linearen, explizit zeitabhängigen Differentialgleichung bekannt, dann kann mit der so genannten Duhamel-Formel die Lösung eines entsprechenden inhomogenen Problems durch Integration bestimmt werden.
Besonders im Fall linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung hilft die Technik der Quasipolynome, den Aufwand bei der analytischen Lösung zu verringern.
Andreas Knauf

Chapter 5. Klassifikation linearer Flüsse

Die Realteile der Eigenwerte der Systemmatrizen entscheiden mit darüber, ob zwei lineare autonome Differentialgleichungen zueinander konjugiert sind. Hier zeigt sich, dass hyperbolische Differentialgleichungen, bei denen diese Realteile ungleich Null sind, von einfacherer Struktur sind als die insbesondere in der klassischen Mechanik auftretenden nicht hyperbolischen.
Als Beispiele werden die linearen Flüsse in der Ebene und insbesondere das Problem einer Feder mit Reibung untersucht.
Andreas Knauf

Chapter 6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

Der Energiebegriff ist vielleicht das wichtigste Konzept der Physik. Jedenfalls legt die Hamilton–Funktion (also die Gesamtenergie) eines Systems die Teilchendynamik fest. Das Vektorfeld der Differentialgleichung entsteht dabei durch Drehung aus dem Gradienten der Hamilton–Funktion.
Die Systemmatrizen linearer hamiltonscher Differentialgleichungen bilden eine Lie-Algebra. Deren Exponenten sind also Elemente einer Lie-Gruppe, der so genannten symplektischen Gruppe. Ähnlich wie die orthogonalen Matrizen das Skalarprodukt invariant lassen, gibt es eine unter den symplektischen Matrizen invariante antisymmetrische Bilinearform. Diese definiert eine besondere (‚symplektische‘) Geometrie, deren Auswirkungen in klassischer und Quantenmechanik sichtbar sind. Ein Beispiel ist der Maslov-Index.
Andreas Knauf

Chapter 7. Stabilitätstheorie

Ruhelagen dynamischer Systeme können asymptotisch stabil, liapunov-stabil oder instabil sein. Dabei konvergieren bei asymptotischer Stabilität benachbarte Orbits gegen die Ruhelage. Ähnliches gilt für zeitperiodische Lösungen. Ein Hilfsmittel bei Stabilitätsuntersuchungen sind Liapunov-Funktionen auf dem Phasenraum, die entlang der Lösungen monoton sind.
Während für hamiltonsche Systeme asymptotische Stabilität nicht auftritt, wird im linearen Fall der Begriff der starken Stabilität relevant, bei dessen Geltung kleine hamiltonsche Störungen die Liapunov-Stabilität nicht zerstören können.
Hängt das dynamische System von Parametern ab, kann sich bei deren Änderung der Stabilitätscharakter einer Ruhelage oder einer periodischen Lösung ändern. Man spricht dann von einer Verzweigung. Ein anderer Typ von Verzweigungen tritt auf, wenn man die Niveaumengen einer Phasenraumfunktion, wie etwa der Hamilton-Funktion, miteinander vergleicht.
Andreas Knauf

Chapter 8. Variationsprinzipien

Die Lagrange–Gleichung einer Lagrange–Funktion ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Mit ihr lassen sich Zwangsbedingungen (die in Anwendungen etwa durch Befestigung an Achsen oder Verbindungsstangen entstehen) durch Restriktion der Lagrange–Funktion realisieren. Lösungen sind stationäre Punkte eines Funktionals. Das gilt etwa für Lichtstrahlen in einem inhomogenen Medium, die kürzeste Wege durchlaufen. Die geometrische Optik ist also wie die klassische Mechanik ein Anwendungsgebiet der Theorie symplektischer Transformationen.
Die Variationsprinzipien erlauben es manchmal, geometrische Methoden zu benutzen, um spezielle, etwa periodische Lösungen zu finden.
Andreas Knauf

Chapter 9. Ergodentheorie

In der Ergodentheorie werden statistische Eigenschaften dynamischer Systeme untersucht. Das ist oft auch und gerade dann möglich und sinnvoll, wenn die Dynamik sehr schlecht berechenbar ist, also bei chaotischer Bewegung. Untersucht werden dynamische Systeme, die ein Maß auf dem Phasenraum invariant lassen. Bei hamiltonschen Systemen ist dies typischerweise das Liouville-Maß.
Der Ergodensatz von Birkhoff besagt für ein dynamisches System mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß, dass die Zukunft im Mittel fast sicher gleich der Vergangenheit ist.
Konsequenz des poincaréschen Rückkehrsatzes ist etwa, dass sich irgendwann das aus einer Flasche in ein abgeschlossenes Zimmer entwichene Gas wieder (kurz) in der Flasche sammelt, aber die Rückkehrzeit überschreitet bei weitem das Alter des Weltalls. Beobachten lässt sich das Phänomen bei Systemen weniger Teilchen.
Andreas Knauf

Chapter 10. Symplektische Geometrie

Wenn man den Spezialfall linearer hamiltonscher Differentialgleichungen verlässt, wird die im Kapitel 6 untersuchte symplektische Bilinearform zur symplektischen Form, und Lagrange-Unterräume werden zu Lagrange-Untermannigfaltigkeiten. Symplektische Mannigfaltigkeiten, also Mannigfaltigkeiten mit einer solchen Differentialform, besitzen eine besondere Geometrie. Ihre strukturerhaltenden Abbildungen heißen kanonisch. Einfache Beispiele kanonischer Transformationen sind der Kotangentiallift und die Fasertranslation.
Im Gegensatz zur riemannschen Geometrie mit ihrem Krümmungstensor besitzt die symplektische Geometrie keine lokalen Invarianten (Satz von Darboux).
Lagrange-Mannigfaltigkeiten sind Untermannigfaltigkeiten der halben Dimension des Phasenraums, auf denen die symplektische Form verschwindet. Flussinvariante Lagrange-Mannigfaltigkeiten als Niveaumengen darzustellen ist der erste Schritt zur Lösung integrabler Systeme.
Andreas Knauf

Chapter 11. Bewegung im Potential

Diese Klasse hamiltonscher Bewegungen ist die wichtigste. Sie umfasst sowohl elektrostatische wie gravitative Kraftfelder. Die Dynamik ist reversibel, und Teilchen mit Energien oberhalb des Potentialmaximums können sich von jedem vorgegebenen Punkt im Ortsraum zu jedem anderen bewegen.
Periodische Potentiale, wie sie in Kristallen auftreten, erlauben die Anwendung des birkhoffschen Ergodensatzes. Insbesondere existieren in beiden Zeitrichtungen fast sicher die asymptotischen Geschwindigkeiten und sind einander gleich. Es kann diffusive Bewegung auftreten, bei der das Langzeitverhalten einer Irrfahrt gleicht.
Die Kollision zweier Punktteilchen im Kepler-Problem ist nur scheinbar singulär und lässt sich regularisieren. Die Bewegung von Satelliten um die abgeplattete Erde ist integrabel, im Gegensatz zum Dreikörperproblem. Doch auch dieses lässt explizite Lösungen zu, die zur Erklärung der Jupiter vorauseilenden beziehungsweise hinterherlaufenden Trojaner benutzt werden.
Andreas Knauf

Chapter 12. Streutheorie

Ein Großteil unseres Wissens über Moleküle, Atome und Elementarteilchen stammt aus Streuexperimenten, in denen Teilchen definierter Anfangsgeschwindigkeit miteinander oder mit einem feststehenden Target kollidieren. Nach dem Streuprozess wird registriert, welche Teilchen mit welcher Geschwindigkeit auftreten. Auch wenn die richtige Sprache zur Beschreibung dieser Prozesse die Quantenmechanik ist, stimmen deren Voraussagen in manchen Situationen in guter Näherung mit denen der Klassischen Mechanik überein.
Es stellt sich die Frage, inwieweit die Daten eines Streuexperiments auf die Wechselwirkung zwischen den Teilchen zurückschließen lassen. Ein vergleichbares Problem ist die Rekonstruktion eines Objekts aus den Daten einer Computertomographie.
Zuletzt wird bewiesen, dass das die Teilchen nach dem Streuprozess zu Clustern zusammenfinden, die sich jeweils mit einer wohldefinierten asymptotischen Geschwindigkeit bewegen (asymptotische Vollständigkeit). Das gilt aber in der Himmelsmechanik nicht immer.
Andreas Knauf

Chapter 13. Integrable Systeme und Symmetrien

In einem heuristischen Sinn ist eine Differentialgleichung integrabel, wenn wir in der Lage sind, ihre Lösungen ,hinzuschreiben’. Aus zwei Gründen lässt uns diese ”Definition” natürlich unbefriedigt. Zum einen hätten wir gerne einen Integrabilitätsbegriff, der etwas über die Differentialgleichung statt über unsere mathematischen Fähigkeiten aussagt. Zum anderen ist nicht ganz klar, was ,hinschreiben’ bedeutet. Soll die Lösung durch ,bekannte Funktionen’, durch konvergente Reihen oder etwa durch einen Limesprozess angegeben werden?
Es stellt sich nun heraus, dass die Dynamik hamiltonscher Systeme dann durch Integration berechnet werden kann, wenn die Bahnen auf Zylindern der halben Phasenraumdimension verlaufen. Die Theorie integrabler Systeme hat auch überraschende innnermathematische Konsequenzen, etwa für die Struktur der hermiteschen Matrizen mit vorgegebenen Eigenwerten.
Andreas Knauf

Chapter 14. Starre und bewegliche Körper

Bisher haben wir meistens die Bewegung von Punktmassen betrachtet. Diese stellen zwar, wie etwa in der Himmelsmechanik, eine gute Idealisierung mancher Naturvorgänge dar. Häufig haben wir es aber mit ausgedehnten Körpern zu tun. Manchmal, wie etwa bei Flüssigkeiten, sind diese nur mit den Mitteln der Kontinuumsmechanik, also mit partiellen Differentialgleichungen zu beschreiben. Bei starren Körpern genügt aber eine gewöhnliche Differentialgleichung. Ist der Körper beweglich, dann stellt sich die Frage, wie er manövrieren kann. Das hat Anwendungen in der Raumfahrt, aber etwa auch auf die Beantwortung der Frage, wie es Katzen schaffen, auf ihren Pfoten aufzukommen, wenn sie aus dem Fenster fallen.
Andreas Knauf

Chapter 15. Störungstheorie

In der Störungstheorie betrachtet man dynamische Systeme, deren Lösung zwar nicht explizit bekannt ist, die aber durch Vergleich mit der bekannten Lösung eines anderen dynamischen Systems auf dem gleichen Phasenraums kontrolliert werden kann. Im hamiltonschen Fall ist diese Näherung besonders präzis. Deshalb ist unser Sonnensystem über hunderte Millionen Jahre (aber wohl nicht für immer) stabil.
Im Extremfall sehr irrationaler Frequenzverhältnisse ist die Störungstheorie für alle Zeiten gültig. Dies wird in der KAM-Theorie von Kolmogorov, Arnol´d und Moser bewiesen, einer der größten mathematischen Errungenschaften des zwanzigsten Jahrhunderts.
Andreas Knauf

Chapter 16. Relativistische Mechanik

Das Relativitätsprinzip besagt, dass in den Gesetzen der Physik nur Relativgeschwindigkeiten vorkommen, es also insbesondere sinnlos ist, einen Zustand absoluter Ruhe zu postulieren. In diesem Sinn wurde es schon von Galilei eingeführt.
Die spezielle Relativitätstheorie Einsteins fügt diesem Prinzip noch die Erkenntnis hinzu, dass die Lichtgeschwindigkeit endlich und konstant ist. Sie ist, im Sinn des Erlanger Programms von Felix Klein, die Theorie einer Gruppe, der Poincaré-Gruppe, statt der zu unendlicher Lichtgeschwindigkeit passenden Galilei-Gruppe.
Die spezielle Relativitätstheorie erklärt z.B. das experimentell nachgewiesene Zwillingsparadox, bildet aber auch die Basis der modernen Theorie von Elementarteilchen.
Andreas Knauf

Chapter 17. Symplektische Topologie

In der Theorie dynamischer Systeme werden topologische Methoden oft dann eingesetzt, wenn die Dynamik zu kompliziert ist, um direkt Fragen wie die nach der Existenz periodischer Orbits zu beantworten. Ein frühes derartiges Resultat ist der Satz von Poincaré-Birkhoff, nach dem ein flächenerhaltender Homöomorphismus des Kreisrings, der die Ränder gegenläufig verdreht, mindestens zwei Fixpunkte besitzt. Dieser lässt sich etwa auf konvexe Billiards anwenden, um zu zeigen, dass unendlich viele periodische Lösungen existieren.
Eine Verallgemeinerung des Satzes von Poincaré-Birkhoff auf höhere Phasenraumdimensionen wurde unter dem Namen ‚Arnol’d-Vermutung‘ bekannt. Dann unterscheiden sich Symplektomorphismen von allgemeinen volumenerhaltenden Transformationen.
Wie Gromov feststellte, kann ein symplektisches Kamel nicht durch ein Nadelöhr gehen.
Andreas Knauf

Chapter 18. Anhang A Topologische Räume und Mannigfaltigkeiten

Eine Teilmenge von \( {\mathbb{R}} \) nennen wir offen, wenn sie Vereinigung offener Intervalle (a, b) \( {\mathbb{R}} \) ist.
Andreas Knauf

Chapter 19. Anhang B Differentialformen

In zahlreichen physikalischen Anwendungen der Analysis wird über Untermannigfaltigkeiten des ℝn integriert, zum Beispiel zur Bestimmung
  • des durch eine von einer Leiterschleife berandete Fläche dringenden magnetischen Flusses
  • der entlang eines Weges geleisteten Arbeit, etc.
Andreas Knauf

Chapter 20. Anhang C Konvexität und Legendre–Transformation

Andreas Knauf

Chapter 21. Anhang D Fixpunkt- und Urbildsätze

Im Zusammenhang des Satzes von Picard–Lindelöf (Satz 3.17) und auch der Møller–Transformationen (Satz 12.11) tauchen Räume von Kurven auf. Der folgende Satz stellt die Konvergenz der Cauchy–Folgen in diesen Räumen sicher.
Andreas Knauf

Chapter 22. Anhang E Gruppentheorie

Andreas Knauf

Chapter 23. Anhang F Bündel, Zusammenhang, Krümmung

Das kartesische Produkt E := B × F zweier Mannigfaltigkeiten ist selbst eine Mannigfaltigkeit. Bezeichnen wir mit \( \pi :E \to B\left( {b, \, f} \right){ \mapsto }b \) die Projektion auf den ersten Faktor, dann ist (E,B,F, π) ein Beispiel für ein sogenanntes Faserbündel
Andreas Knauf

Chapter 24. Anhang G Morse–Theorie

Morse–Theorie stellt eine Beziehung her zwischen der Topologie einer n–dimensionalen Mannigfaltigkeit M und den kritischen Punkten einer Funktion f ∈ C 2(M, ℝ).
Andreas Knauf

Chapter 25. Anhang H Lösungen der Aufgaben

Andreas Knauf

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