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Über dieses Buch

Als Grenztheorie der Quantenmechanik besitzt die klassische Dynamik einen grossen Formenreichtum, vom gut berechenbaren (integablen) bis zum chaotischen (mischenden) Verhalten. Immer ausgehend von interessanten Beispielen in der Physik bietet das vorliegende Buch nicht nur eine gelungene Auswahl grundlegender Themen, sondern auch einen Einstieg in viele aktuelle Forschungsgebiete aus dem Bereich der klassischen Mechanik. Durch den didaktisch geschickten Aufbau und die konzentrierten Anhänge ist die Darstellung in sich geschlossen und setzt lediglich Kenntnisse der Grundvorlesungen in Mathematik voraus. Ein Höhepunkt des Buches ist die Darstellung der KAM-Theorie (Kolmogorov-Arnold-Moser Theorie).

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Gut fünfzig Jahre vergingen zwischen Galileis Verurteilung und dem Erscheinen der

Principia

Newtons. In dieser Zeit etablierte sich die moderne Naturforschung, mit der Klassischen Mechanik als Leitwissenschaft. Wir beginnen diese Einführung mit der Lösung der Bewegungsgleichung für die Planeten, also der Bestätigung und Präzisierung des heliozentischen Weltbilds von Galileo Galilei.

Andreas Knauf

Kapitel 2. Dynamische Systeme

Dynamiken kann man unter verschiedenen Blickwinkeln und mit unterschiedlichen Zusatzstrukturen betrachten, und entsprechend gibt es auch verschiedene Definitionen dynamischer Systeme. Wir werden in diesem Kapitel zwar hauptsächlich sogenannte

topologische

und

differenzierbare

dynamische Systeme untersuchen, beginnen aber noch etwas allgemeiner.

Andreas Knauf

Kapitel 3. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichungen sind so vielfältig wie die Naturvorgäange, die sie beschreiben. Dieses Kapitel beginnt damit, diese begrifflich zu sortieren, und gewöhnliche Differentialgleichungen in eine Normalform (explizite DGL 1. Ordnung) zu überführen. Danach werden Existenz, Eindeutigkeit und Glattheit der Lösung des Anfangswertproblems untersucht. Es geht dabei noch weniger um konkrete Lösungstechniken. Sind entsprechende Kenntnisse vorhanden, kann Kapitel 3 problemlos überschlagen werden.

Andreas Knauf

Kapitel 4. Lineare Dynamik

Eine besonders wichtige Klasse von Differentialgleichungen sind die linearen, und wir können mit Satz 3.29 annehmen, dass das System von erster Ordnung ist.

Andreas Knauf

Kapitel 5. Klassifikation linearer Flüsse

Da bei der Ähnlichkeitstransformation die Eigenwerte mit ihrer Multiplizität invariant gelassen werden, ist diese Äquivalenzklasseneinteilung linearer Flüsse für viele Zwecke zu fein.

Andreas Knauf

Kapitel 6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

Der Energiebegriff ist vielleicht das wichtigste Konzept der Physik. Jedenfalls legt die Hamilton–Funktion (also die Gesamtenergie) eines Systems die Teilchendynamik fest. Das Vektorfeld der Differentialgleichung entsteht dabei durch Drehung aus dem Gradienten der Hamilton–Funktion. Im linearen Fall spielt sich die Dynamik in der symplektischen Gruppe ab.

Andreas Knauf

Kapitel 7. Stabilitätstheorie

Die in Definition 2.21 eingeführten Stabilitätsbegriffe wurden bisher hauptsächlich auf lineare Systeme angewandt. Bei der in diesem Kapitel erfolgenden Analyse nichtlinearer differenzierbarer dynamischer Systeme erweist sich die asymptotische Stabilität aber als robust. So ist eine Ruhelage asymptotisch stabil wenn die Linearisierung des Vektorfelds an dieser Stelle asymptotisch stabil ist (Satz 7.6).

Andreas Knauf

Kapitel 8. Variationsprinzipien

Die Lagrange–Gleichungen einer Lagrange–Funktion sind Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Mit ihnen lassen sich Zwangsbedingungen (die in Anwendungen etwa durch Befestigung an Achsen oder Verbindungsstangen entstehen) durch Restriktion der Lagrange–Funktion realisieren.

Andreas Knauf

Kapitel 9. Ergodentheorie

In der Ergodentheorie werden statistische Eigenschaften dynamischer Systeme untersucht. Das ist oft auch und gerade dann möglich und sinnvoll, wenn die Dynamik sehr schlecht berechenbar ist, also bei chaotischer Bewegung.

Andreas Knauf

Kapitel 10. Symplektische Geometrie

Wenn man den Spezialfall linearer hamiltonscher Differentialgleichungen verlässt, wird die im Kapitel 6 untersuchte symplektische Bilinearform zur symplektischen Form, und Lagrange-Unterräume werden zu Lagrange-Untermannigfaltigkeiten. Symplektische Mannigfaltigkeiten, also Mannigfaltigkeiten mit einer solchen Differentialform, besitzen eine besondere Geometrie. Ihre strukturerhaltenden Abbildungen heiβen kanonisch.

Andreas Knauf

Kapitel 11. Bewegung im Potential

Diese Klasse hamiltonscher Bewegungen ist die wichtigste. Sie umfasst sowohl elektrostatische wie gravitative Kraftfelder.

Mit dem Spezialfall der geodätischen Bewegung teilt sie die Eigenschaft der Reversibilit ät, und sie lässt sich oft gut mit dieser vergleichen. Entsprechend wurden viele geometrische Techniken zur Analyse der Potential-Dynamik entwickelt.

Andreas Knauf

Kapitel 12. Streutheorie

Ein Großteil unseres Wissens über Moleküle, Atome und Elementarteilchen stammt aus Streuexperimenten, in denen Teilchen definierter Anfangsgeschwindigkeit miteinander oder mit einem feststehenden Target kollidieren. Nach dem Streuprozess wird registriert, welche Teilchen mit welcher Geschwindigkeit auftreten.

Andreas Knauf

Kapitel 13. Integrable Systeme und Symmetrien

In einem heuristischen Sinn ist eine Differentialgleichung integrabel, wenn wir in der Lage sind, ihre Lösungen ,hinzuschreiben’.

Aus zwei Gründen lässt uns diese „Definition” natürlich unbefriedigt. Zum einen hätten wir gerne einen Integrabilitätsbegriff, der etwas über die Differentialgleichung statt über unsere mathematischen Fähigkeiten aussagt. Zum anderen ist nicht ganz klar, was ,hinschreiben’ bedeutet. Soll die Lösung durch ‚bekannte Funktionen’, durch konvergente Reihen oder etwa durch einen Limesprozess angegeben werden?

Andreas Knauf

Kapitel 14. Starre und bewegliche Körper

Bisher haben wir meistens die Bewegung von Punktmassen betrachtet. Diese stellen zwar, wie etwa in der Himmelsmechanik, eine gute Idealisierung mancher Naturvorgänge dar. Hüfig haben wir es aber mit ausgedehnten Körpern zu tun. Manchmal, wie etwa bei Flüssigkeiten, sind diese nur mit den Mitteln der Kontinuumsmechanik, also mit partiellen statt gewöhnlichen Differentialgleichungen zu beschreiben. Bei

starren Körpern

allerdings bleiben die Abstände zwischen den punktförmig gedachten Atomen zeitlich konstant, was uns eine Beschreibung durch gewöhnliche Differentialgleichungen ermöglicht.

Andreas Knauf

Kapitel 15. Störungstheorie

In der Störungstheorie betrachtet man dynamische Systeme, deren Lösung zwar nicht explizit bekannt ist, die aber durch Vergleich mit der bekannten Lösung eines anderen dynamischen Systems auf dem gleichen Phasenraums kontrolliert werden kann. Im hamiltonschen Fall ist diese Näherung besonders präzis. Im Extremfall sehr irrationaler Frequenzverhältnisse ist sie für alle Zeiten gültig.

Andreas Knauf

Kapitel 16. Relativistische Mechanik

Das Relativitätsprinzip besagt, dass in den Gesetzen der Physik nur

Relativ

geschwindigkeiten vorkommen, es also insbesondere sinnlos ist, einen Zustand absoluter Ruhe zu postulieren.

Andreas Knauf

Kapitel 17. Symplektische Topologie

In der Theorie dynamischer Systeme werden topologische Methoden oft dann eingesetzt, wenn die Dynamik zu kompliziert ist, um direkt Fragen wie die nach der Existenz periodischer Orbits zu beantworten.

Andreas Knauf

Anhang A. Topologische Räume und Mannigfaltigkeiten

Eine Teilmenge von ℝ nennen wir

offen

, wenn sie Vereinigung offener Intervalle

(a, b)

⊂ ℝ ist. Damit wird

zu einem topologischen Raum:

Andreas Knauf

Anhang B. Differentialformen

In zahlreichen physikalischen Anwendungen der Analysis wird

über Untermannigfaltigkeiten

des

n

integriert

, zum Beispiel zur Bestimmung

des durch eine von einer Leiterschleife berandete Fläche dringenden magnetischen Flusses

der entlang eines Weges geleisteten Arbeit, etc.

Um solche Integrationen durchzufüuhren, ist von Élie Cartan und anderen der Kalküul der Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten entwickelt worden.

Andreas Knauf

Anhang C. Konvexität und Legendre–Transformation

C.3 Beispiele (Konvexität) 1. Alle affinen Unterräume von V sind konvex.

2. Jede Norm auf

V

ist eine konvexe Funktion.

Andreas Knauf

Anhang D. Fixpunkt- und Urbildsätze

Im Zusammenhang des Satzes von Picard–Lindelöf (Satz 3.17) und auch der Møller–Transformationen (Satz 12.11) tauchen Räume von Kurven auf. Der folgende Satz stellt die Konvergenz der Cauchy–Folgen in diesen Räumen sicher.

Andreas Knauf

Anhang E. Gruppentheorie

Viele Gruppen sind in natürlicher Weise topologische Räume oder sogar Mannigfaltigkeiten.

Andreas Knauf

Anhang F. Bündel, Zusammenhang, Krümmung

Ist, wie in den vorigen Beispielen, die Standardfaser

F

ein diskreter topologischer Raum, dann nennt man das Faserbündel eine

Überlagerung

.

Andreas Knauf

Anhang G. Morse–Theorie

Wenn wir die runde Sphäre eindellen, erscheint für die Höhenfunktion eine weitere Maximalstelle, aber eben unweigerlich noch mindestens ein weiterer kritischer Punkt.

Andreas Knauf

Anhang H. Lösungen der Aufgaben

Die Eigenwerte von

A

haben Betrag 1, wie man leicht nachrechnet. Damit ist

A

eine Drehung und Liapunov–stabil.

Andreas Knauf

Backmatter

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