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Über dieses Buch

Das Buch ermöglicht es, ohne Vorkenntnisse das Computeralgebra-System Maple zu nutzen, um elementare mathematische Probleme am Computer zu lösen. Die flexiblen elektronischen Arbeitsblätter liefern einen schnellen Zugriff auf die Lösung mit der Beschreibung der zugehörigen Maple-Befehle und können an die eigenen Problemstellungen einfach angepasst werden:

- Jedes Thema wird mathematisch beschrieben. - Das Problem wird mit Maple gelöst.

- Die Syntax des Maple-Befehls wird erläutert.

- Ein Beispielaufruf wird angegeben.

- Hinweise behandeln Besonderheiten des Befehls.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Rechnen mit Zahlen

Zusammenfassung
In Kapitel 1 behandeln wir das Rechnen mit reellen und komplexen Zahlen. Die Grundrechenoperationen werden mit +, -, *, /, das Potenzieren mit ^ gebildet. Jedoch anders als bei einem Taschenrechner gewohnt, unterscheidet Maple zwischen gebrochenrationalen Zahlen und Dezimalzahlen.
Thomas Westermann

Kapitel 2. Umformen von Ausdrücken

Zusammenfassung
Das Einsetzen einer Zahl in eine Formel bzw. das Auswerten eines Ausdrucks an einer vorgegebenen Stelle erfolgt durch subs oder mit eval. Die Vereinfachung von Ausdrücken erfolgt entweder durch den simplify-Befehl oder durch normal, der von einer Summe von Brüchen den Hauptnenner bildet und anschließend gemeinsame Faktoren kürzt. Mit expand werden Summenargumente in Funktionen in Ausdrücke von Funktionen mit Einzelargumenten umgewandelt.
Thomas Westermann

Kapitel 3. Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Kapitel 3 behandelt das Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und einfachen Gleichungssystemen mit dem solve-Befehl. solve löst diese Probleme exakt, sofern die Lösung sich in einer algebraischen Form angeben lässt und Maple die Lösung findet. Alternativ kann der fsolve-Befehl zum numerischen Lösen von Gleichungen verwendet werden, insbesondere dann, wenn solve keine befriedigende Lösung liefert.
Thomas Westermann

Kapitel 4. Vektoren, Matrizen und Eigenwerte

Zusammenfassung
In Kapitel 4 werden Vektoren und Matrizen definiert und elementare Rechenoperationen für Vektoren und Matrizen behandelt.
Thomas Westermann

Kapitel 5. Vektoren im IRn

Zusammenfassung
Das Überprüfen der linearen Unabhängigkeit von Vektoren des IRn kann entweder durch den Rang der zugeordneten Matrix erfolgen (Rank-Befehl) oder indem die Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems mit LinearSolve bestimmt wird. Die Auswahl einer Menge linear unabhängiger Vektoren aus k Vektoren des IRn erfolgt durch Basis und die Bestimmung der Dimension des Unterraums mit Rank. Die Befehle sind im LinearAlgebra-Package enthalten.
Thomas Westermann

Kapitel 6. Affine Geometrie

Zusammenfassung
Im Kapitel über die affine Geometrie werden Objekte wie Punkte, Geraden, Ebenen und Kugeln (Sphären) im IR3 definiert und die Lage dieser Objekte zueinander diskutiert. Es werden entweder Abstände (distance-Befehl) der Objekte oder die Schnittmenge (intersection) und der Schnittwinkel (FindAngle) bestimmt. Mit TangentPlane wird eine Tangentialebene an eine Sphäre s in einem Punkt P der Sphäre bestimmt.
Thomas Westermann

Kapitel 7. Definition von Funktionen

Zusammenfassung
In Kapitel 7 werden elementare Funktionen in Maple vorgestellt: Welche Standardfunktionen Maple zur Verfügung stellt und wie man selbst Funktionen definiert. Dazu kann man entweder von einem Funktionsausdruck ausgehen und ihn mit dem unapply-Befehl in eine Funktion umwandeln. Oder man definiert eine Funktion direkt mit dem Zuweisungsoperator ->.
Thomas Westermann

Kapitel 8. Graphische Darstellung von Funktionen in einer Variablen

Zusammenfassung
Die graphische Darstellung von Funktionen in einer Variablen erfolgt durch den plot-Befehl. Mit plot können auch mehrere Funktionen in ein Schaubild gezeichnet werden, wenn diese in Form einer Liste [f1, f2, …] angegeben werden. Besitzt eine darzustellende Funktion eine Polstelle, ist es wichtig den y-Bereich des Schaubildes einzuschränken, da sonst der Funktionsverlauf nicht erkennbar wird.
Thomas Westermann

Kapitel 9. Graphische Darstellung von Funktionen in mehreren Variablen

Zusammenfassung
Zur graphischen Darstellung von Funktionen f(x,y) in zwei Variablen verwendet man den plot3d-Befehl. Mit plot3d können auch mehrere Funktionen in ein Schaubild gezeichnet werden, wenn diese in Form einer Liste [f1, f2, …] angegeben sind. Bis Maple8 müssen die Funktionen jedoch in Form einer Menge {f1, f2, …} vorliegen.
Thomas Westermann

Kapitel 10. Einlesen, Darstellen und Analysieren von Messdaten

Zusammenfassung
Mit readdata werden Daten aus einer Textdatei zeilenweise in ein Worksheet eingelesen. Dabei müssen als Parameter nur der Dateiname und die Anzahl k der Spalten der Datei spezifiziert werden.
Thomas Westermann

Kapitel 11. Funktionen in einer Variablen

Zusammenfassung
Für Funktionen in einer Variablen werden folgende elementaren Probleme gelöst: Die Nullstellen von Funktionen erhält man über den solve- bzw. fsolve-Befehl, die Linearfaktorenzerlegung erfolgt mit factor und eine Partialbruchzerlegung von gebrochenrationalen Funktionen mit convert. Die Bestimmung von Extremwerten, Wendepunkte und Asymptoten ist im Abschnitt über die Kurvendiskussion zusammengefasst. Das Lösen der Einzelprobleme erfolgt hierbei im Wesentlichen durch solve, diff, simplify sowie plot.
Thomas Westermann

Kapitel 12. Funktionen in mehreren Variablen

Zusammenfassung
Bei den Funktionen in mehreren Variablen werden die Themenstellungen der Tangentialebene, der Fehlerrechnung sowie das totale Differential über Maple-Befehlsfolgen bearbeitet. Hierzu werden zwei Prozeduren, fehler und differential, bereitgestellt, die vor der entsprechenden Verwendung definiert werden müssen. Die Taylor-Polynome einer Funktion werden durch mtaylor bis zur Ordnung N bestimmt.
Thomas Westermann

Kapitel 13. Grenzwerte und Reihen

Zusammenfassung
Grenzwerte werden in Maple mit dem limit-Befehl bestimmt. Dabei werden bei der Berechnung von Funktionsgrenzwerten automatisch die Regeln von l’Hospital berücksichtigt. Rekursive Folgen müssen zuerst mit rsolve auf eine explizite Vorschrift zurückgeführt werden, um anschließend den limit-Befehl anzuwenden.
Thomas Westermann

Kapitel 14. Differentiation

Zusammenfassung
Eine der wichtigsten Konstruktionen in der Analysis ist der Ableitungsbegriff. Sowohl die Berechnung der gewöhnlichen als auch der partiellen Ableitungen von Ausdrücken wird mit diff gebildet. Höhere bzw. gemischte Ableitungen werden ebenfalls mit diff durch diff(f(x), x$n) bestimmt.
Thomas Westermann

Kapitel 15. Integration

Zusammenfassung
Neben dem Ableiten gehört das Integrieren zu den Standard-Aufgaben der Analysis. Die Integration erfolgt mit int. Damit können bestimmte, unbestimmte und uneigentliche Integrale berechnet werden.
Thomas Westermann

Kapitel 16. Fourier-Reihen und FFT

Zusammenfassung
Bei die Analyse periodischer Vorgänge zerlegt man ein Signal in seine harmonischen Bestandteile. Hierzu verwendet man die Formeln für Fourier-Reihen. Die Fourier-Reihe ist eine Darstellung der Funktion f(t) als Superposition von Sinus- und Kosinusfunktionen mit den Fourier-Koeffizienten als zugehörigen Amplituden.
Thomas Westermann

Kapitel 17. Integraltransformationen

Zusammenfassung
Die Laplace-Transformation bzw. die inverse Laplace-Transformation werden mit dem Befehl laplace bzw. invlaplace realisiert; die Integrale zur Fourier-Transformation entsprechend durch fourier und invfourier. Die Befehle befinden sich im Package inttrans (Integraltransformationen), das durch with(inttrans) geladen wird. Zum Lösen von Differentialgleichungen mit Hilfe einer Integraltransformation wird eine Maple-Befehlsfolge vorgestellt, die zusätzlich im Wesentlichen noch den diff- und solve-Befehl benötigt.
Thomas Westermann

Kapitel 18. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

Zusammenfassung
Kapitel 18 behandelt das Lösen von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung. Der dsolve-Befehl bestimmt – falls möglich – eine geschlossen darstellbare (im Folgenden analytisch genannte) Lösung der DG mit oder ohne Anfangsbedingung. Dabei dürfen in der DG Parameter enthalten sein.
Thomas Westermann

Kapitel 19. Gewöhnliche Differentialgleichungs-Systeme

Zusammenfassung
In Kapitel 19 werden Differentialgleichungs-Systeme 1. Ordnung mit dsolve gelöst. Für die numerische Bestimmung der Lösung verwendet man wieder die Option numeric. Für kompliziertere DG-Systeme empfiehlt es sich immer mit der Option numeric zu arbeiten oder das System wie in Kapitel 19.3 beschrieben mit dem Euler-Verfahren zu lösen.
Thomas Westermann

Kapitel 20. Gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung

Zusammenfassung
Differentialgleichungen n-ter Ordnung werden ebenfalls mit dem dsolve-Befehl gelöst. Die Option numeric bewirkt eine numerische Bestimmung der Lösung, wenn alle Anfangsbedingungen und Parameter als Zahlenwerte vorliegen. Für die Angabe von Anfangsbedingungen der Form y(k)(x0) muss die k-te Ableitung mit dem D-Operator durch (D@@k)(y)(x0) spezifiziert werden.
Thomas Westermann

Kapitel 21. Extremwerte und Optimierung

Zusammenfassung
Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Ax = b werden mit dem LinearSolve-Befehl in dem Sinne gelöst, dass die Fehlerquadrate von r = Ax - b minimiert werden. Zur linearen Optimierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen steht der maximize-Befehl zur Verfügung. Extremwerte nichtlinearer Funktionen (auch unter Nebenbedingungen in Form von Gleichungen) bestimmt man mit dem extrema-Befehl.
Thomas Westermann

Kapitel 22. Vektoranalysis

Zusammenfassung
Im Kapitel Vektoranalysis werden die Differentialoperatoren Gradient für ein skalares Feld sowie die Rotation und die Divergenz für ein Vektorfeld (VectorField) mit den Befehlen Gradient, Curl und Divergence berechnet. Die Bestimmung eines Potentialfeldes bzw. eines Vektorfeldes erfolgt mit ScalarPotential bzw. VectorPotential. Die Befehle zur Vektoranalysis sind im VectorCalculus-Package enthalten.
Thomas Westermann

Kapitel 23. Partielle Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Partielle Differentialgleichungen sowohl erster wie auch höherer Ordnung werden mit dem pdsolve-Befehl analytisch gelöst. Maple versucht dabei das Problem auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurüchzuspielen. Durch die build-Option werden die angegebenen gewöhnlichen Differentialgleichungen gelöst und zur Gesamtlösung des Problems zusammengebaut.
Thomas Westermann

Kapitel 24. Programmstrukturen

Zusammenfassung
Im Kapitel über die Programmstrukturen werden einfache Konstruktionen in Maple wie z.B. die Schleifenbildung mit for oder while, Verzweigungen mit if und Unterprogrammstrukturen mit der proc-Konstruktion beschrieben. Im nächsten Kapitel werden diese Strukturen am Beispiel des Newton-Verfahrens angewendet.
Thomas Westermann

Kapitel 25. Programmieren mit Maple

Zusammenfassung
In Kapitel 25 wird am Beispiel des Newton-Verfahrens aufgezeigt, wie man die Programmstrukturen aus Kapitel 24 anwendet, um von einer einfachen for-Schleife zu einem Unterprogramm (Prozedur) mit Animation zu gelangen.
Thomas Westermann

Kapitel 26. Iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen

Zusammenfassung
In Kapitel 26 werden iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen mit Maple vorgestellt. Es werden das allgemeine Iterationsverfahren, das Sekantenverfahren und das Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungen in einer Variablen mit Maple-Befehlen programmiert und als Maple-Prozeduren bereitgestellt.
Thomas Westermann

Kapitel 27. Lösen von großen linearen Gleichungssystemen

Zusammenfassung
In Kapitel 27 werden Prozeduren zum Lösen von großen linearen Gleichungssystemen in Maple erstellt. Die Algorithmen können bei Bedarf auf andere Programmiersprachen übernommen bzw. adaptiert werden.
Thomas Westermann

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