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Über dieses Buch

Das Lehrbuch bietet eine kompakte und prägnante Darstellung der Mechanik elastischer Körper und Strukturen. Es beschränkt die Stofffülle auf das Wesentliche, schlägt aber auch Brücken zu Spezialdisziplinen Struktur- und Festkörpermechanik und zur immer wichtiger werdenden Computer-orientierten Mechanik. Nach einer Einführung in die Grundlagen werden ebene Probleme, räumliche Probleme, Variations- und Energieprinzipien behandelt. Weitere Kapitel gehen auf die Mechanik von Platten, Rotationsschalen und ebenen Laminaten ein. Ein Buch für Studenten des Maschinenbaus und Bauingenieurwesens an Universitäten und Fachhochschulen ebenso wie für Fachleute und Praktiker in Industrie und Forschung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einführung

Zusammenfassung
Mit den zunehmenden Anforderungen an die Komponenten, Bauteile, Tragstrukturen und mechanischen Systeme im Maschinenbau, im Bauingenieurwesen und im Fahrzeugbau, einschließlich Luft- und Raumfahrtstrukturen, hinsichtlich Funktionalität, Zuverlässigkeit, Festigkeit und Verformbarkeit wächst der Bedarf daran, das strukturmechanische Verhalten möglichst präzise zu beschreiben und vorherzusagen. Es ist der Gegenstand der Strukturmechanik, hierfür Modelle zu erstellen, die entstehenden mathematischen Probleme zu lösen und die erhaltenen Lösungen zu interpretieren und zu nutzen. In der Folge werden wir annehmen, dass es sich bei der zu beschreibenden Struktur um einen elastischen Körper oder genauer um ein elastisches Kontinuum handelt, also einen räumlichen, flächigen oder linienförmigen Bereich zusammenhängenden elastischen Materials. Es ist die Aufgabe der Strukturmechanik zu klären, wie sich der elastische Körper bei gegebenen Randbedingungen und Belastungen deformiert und welche inneren Kräfte bzw. Spannungen sich dabei einstellen. Unter elastisch versteht man dabei ein Verhalten, bei dem sich aile aus einer gegebenen Belastung resultierenden Deformationen bei einer vollständigen Entlastung unmittelbar zurückbilden.
Wilfried Becker, Dietmar Gross

1. Grundlagen

Zusammenfassung
In der Elastizitätstheorie wird ein elastischer Körper als Kontinuum betrachtet, d.h. als kontinuierlicher räumlicher, flächenförmiger oder linienförmiger Bereich, der mit Materie ausgefüllt ist. An jeder Stelle des Kontinuums befindet sich dann ein Körperelement, das als Partikel bezeichnet wird. Die Abmessungen der Partikel seien so klein, dass sie aus makroskopischer Sicht als mathematische Punkte (materielle Punkte) aufgefasst werden können. Andererseits seien die Partikel noch groß im Vergleich zu den relevanten charakteristischen Längen der zugrundeliegenden Mikrostruktur (wie Atomgitter oder Kristallgefüge).
Wilfried Becker, Dietmar Gross

2. Ebene Probleme

Zusammenfassung
Viele technische Probleme sind von der Geometrie, der Belastung und den Randbedingungen her im wesentlichen nur zweidimensional oder lassen sich in guter Näherung als zweidimensional ebene Probleme behandeln. Dies gilt insbesondere für ebene Bauteile oder für Flächentragwerke, die nur durch Kräfte innerhalb ihrer Ebene belast et sind. Dann reduziert sich die Zahl der Unbekannten sowie der Satz der Grundgleichungen (1.154), (1.156) auf zweidimensionale Differentialgleichungen und Beziehungen. Dementsprechend lassen sich solche Probleme einfacher behandeln, und in vielen Fällen ist es möglich, Lösungen mit vergleichsweise geringem Aufwand zu finden.
Wilfried Becker, Dietmar Gross

3. Räumliche Probleme

Zusammenfassung
Für echte dreidimensionale Probleme lassen sich die Grundgleichungen (1.154) nicht vereinfachen, was die Ermittlung geschlossen-analytischer Lösungen für die Feldgrößen u i , ε ij und σ ij im allgemeinen sehr schwierig macht. Nichtsdestoweniger gibt es eine Fülle unterschiedlicher Lösungsansätze, deren Darstellung jedoch den Rahmen dieses Buches sprengen würde. So sind die Ausführungen im folgenden nur einigen relativ einfachen räumlichen Grundlösungen gewidmet. Aufgrund der Linearität der Feldgleichungen (1.154) lassen sich daraus natürlich weitere Lösungen durch Superposition konstruieren.
Wilfried Becker, Dietmar Gross

4. Variations- und Energieprinzipien

Zusammenfassung
Die im Kapitel 1 zusammengestellten Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie bestimmen die Lösung eines entsprechenden linear-elastischen Randwertproblems im Prinzip völlig hinreichend. In vielen Fällen erweist es sich jedoch als zweckmäßig, darüberhinaus Arbeits- und Energieaussagen sowie geeignete Variationsprinzipien heranzuziehen. Diese haben nicht nur praktischen Nutzen und sind die Grundlage verschiedener analytischer und numerischer Näherungsverfahren, sondern sie verhelfen auch zu einem vertieften theoretischen Verständnis.
Wilfried Becker, Dietmar Gross

5. Platten

Zusammenfassung
Von einer Platte spricht man, wenn ein ebenes Flächentragwerk nicht in seiner Ebene (d.h. als Scheibe) belastet ist, sondern senkrecht dazu durch in Normalenrichtung wirkende Kräfte oder durch Momente (siehe Abb. 5.1). Die Dicke h der Platte wird dabei als klein im Vergleich zu den charakteristischen Abmessungen l in der Plattenebene vorausgesetzt: hl. Die Ebene, die die Plattendicke halbiert, heißt Plattenmittelebene. Von ihrem Wesen her stellt die Plattentheorie eine zweidimensionale Näherung der dreidimensionalen Elastizitätstheorie für das senkrecht belastete ebene Flächentragwerk dar. Eine beliebig gerichtete Belastung kann stets in eine Belastung innerhalb der Mittelebene und eine zur Mittelebene rein senkrechte Belastung zerlegt werden. Im Rahmen der linearen Theorie können die Belastung in der Ebene (Scheibenbelastung) und die Belastung senkrecht zur Ebene (Plattenbelastung) getrennt betrachtet werden und die Ergebnisse anschließend superponiert werden. Bei hinreichend großen Verformungen (bei geometrischer Nichtlinearität) ist diese Superposition nicht mehr möglich. Scheibenund Plattenverhalten sind dann gekoppelt. Im übrigen kann man die Plattentheorie genauso als zweidimensinale Verallgemeinerung der eindimensionalen Balkentheorie auffasen, wie die Scheibentheorie eine Verallgemeinerung der Stabtheorie ist.
Wilfried Becker, Dietmar Gross

6. Rotationsschalen

Zusammenfassung
Dünnwandige gekrümmte Flächentragwerke bezeichnet man als Schalen. Dabei kennzeichnet das Beiwort „Fläche“ die Tatsache, dass Schalen meist dünn sind und ais Idealisierung durch ihre Schalenmittelfläche mit der (eventuell ortsabhängigen) Wanddicke h beschrieben werden.
Wilfried Becker, Dietmar Gross

7. Ebene Laminate

Zusammenfassung
Für viele technische Anwendungen erweist es sich als zweckmäßig, Flächentragwerke einzusetzen, die aus mehreren Einzelschichten aufgebaut sind und dann als Mehrschichtenverbunde oder Laminate bezeichnet werden. In der Form von Laminaten lassen sich häufig sehr gewichtsgünstige maßgeschneiderte Struktureigenschaften bei hoher spezifischer Steifigkeit und Festigkeit realisieren. Damit haben sich Mehrschichtenverbunde bzw. Laminate insbesondere im Leichtbau der Luft- und Raumfahrt aber auch in vielen anderen Anwendungsbereichen bewährt. Die linear-elastischen Eigenschaften der Laminat-Einzelschichten sind häufig stark anisotrop, insbesondere wenn die Einzelschichten eine unidirektionale Faserverstärkung aufweisen. Das Verhalten ebener Laminate lässt sich in sehr vielen Fällen mit der sogenannten klassischen Laminattheorie erfassen. Die klassische Laminattheorie stellt eine Verallgemeinerung der Scheibentheorie und der Kirchhoffschen Plattentheorie dar, wobei Kopplungseffekte zwischen Scheiben- und Plattengrößen auftreten können. Ausgangspunkt für das Verständnis des effektiven Laminatverhaltens sind dabei die Scheiben- und Plattenbeanspruchungen der Einzelschichten.
Wilfried Becker, Dietmar Gross

Backmatter

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