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2024 | Buch

Mechanik mit C++

Problem Solving für Physikstudierende

verfasst von: Elias Posoukidis

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Dieses Buch zeigt, wie Sie mithilfe der Programmiersprache C++ physikalische Aufgaben und insbesondere Herausforderungen der Mechanik effizient beschreiben und lösen können. Es richtet sich sowohl an Studierende der Physik als auch der Ingenieurwissenschaften und verwandter Disziplinen, die sich mit Mechanik beschäftigen.

Statt alle Themen der Mechanik zu behandeln, konzentriert sich dieses Werk auf ausgewählte Gebiete, die es ermöglichen, komplexere Fragestellungen anzugehen. Dabei werden nicht nur die grundlegenden Prinzipien der Mechanik beleuchtet, sondern auch fortgeschrittene mathematische Methoden, wie das Lösen von Differentialgleichungen mittels numerischer Verfahren.

Ein zentrales Anliegen dieses Buches ist es, die verschiedenen Aspekte eines Projekts zusammenzuführen und einen praxisnahen Ansatz zu fördern. Es wird gezeigt, wie man eine Idee strukturiert und schrittweise in ein funktionierendes Design umsetzen kann. Die Anwendung der Programmiersprache C++ ist dabei ein wichtiger Bestandteil, doch ebenso wichtig ist die methodische Herangehensweise an die Problemlösung.

Mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben, die auch für verwandte Gebiete nützlich sind, bietet dieses Buch eine wertvolle Ressource für alle, die sich mit der Mechanik und deren Anwendung auseinandersetzen möchten.

Schlüsselthemen:

Anwendung von C++ in der Physik und Mechanik Fokussierte Behandlung komplexer mechanischer Themen Numerische Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen Integration und Umsetzung von Projekten in der Mechanik Praktische Beispiele und Aufgaben für Ingenieure und Physiker

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Physikalische Größen als C++-Datentypen

Zusammenfassung

Simulationen in der Physik haben das Ziel, reale Phänomene mithilfe von Computern zu reproduzieren. Dafür müssen Computerprogramme entwickelt werden, die den Zusammenhang zwischen physikalischen Größen und den entsprechenden Datentypen herstellen sowie Vorgänge mithilfe von Funktionen beschreiben. Eine erfolgreiche Simulation setzt das Verständnis der physikalischen Prinzipien voraus, um die daraus entworfenen mathematischen Modelle korrekt in Programmcode umzusetzen. In diesem Kapitel werden wir Datentypen entwerfen, um physikalische Größen abzubilden. Dabei werden Skalare, Vektoren und grundlegende Operationen wie Addition und Subtraktion eingeführt. Auf dieser Grundlage erfolgt die Einführung von physikalischen Größen wie Länge, Winkel, Zeit und Geschwindigkeit. Praktische Beispiele veranschaulichen die Anwendung dieser Datentypen zur Lösung von Aufgaben.

Elias Posoukidis

Kapitel 2. Kinetische Energie und Arbeitssatz

Zusammenfassung

Masse, Energie und Kraft sind grundlegende Konzepte in der Physik. Die Masse bestimmt die Trägheit, mit welcher der Bewegungszustand des Körpers auf Kräfte reagiert. Die Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten, und die Kraft verursacht Veränderungen in der Bewegung oder Form eines Objekts. Diese Konzepte sind eng miteinander verbunden und spielen eine wichtige Rolle bei der Beschreibung und Erklärung von Phänomenen in der Natur. Wir nutzen die bereits bestehenden Klassen-Templates, um Datentypen für die Masse, die kinetische Energie und mechanische Arbeit einzuführen. Die in diesem Kapitel behandelten Beispiele umfassen die Berechnung von kinetischer Energie, Geschwindigkeit und Arbeit. Dabei betrachten wir auch veränderliche Kräfte und konservative Kräfte wie die Gravitationskraft.

Elias Posoukidis

Kapitel 3. Geradlinige Bewegungen

Zusammenfassung

Eine Bewegung findet im Allgemeinen im dreidimensionalen Raum statt. Die Position eines Objekts wird durch drei Koordinaten bestimmt. Wenn nur eine der drei Koordinaten ausreicht, um die zeitliche Änderung der Position festzulegen, heißt die Bewegung eindimensionale oder geradlinige Bewegung. Dies ist z.B. der Fall, wenn ein Objekt nahe der Erdoberfläche fallen gelassen wird. Der Fokus dieses Kapitels liegt in der Entwicklung von Werkzeugen zur Abbildung und Lösung der Bewegungsgleichungen für eindimensionale Bewegungen. Dazu gehören die Beschreibung solcher Bewegungen mit Polynom-Funktionen und die Möglichkeit, Bewegungsdaten zu berechnen. Des Weiteren kommen numerische Verfahren wie das Bisektionsverfahren oder das Newton-Verfahren zum Einsatz, um Zeitpunkte zu berechnen, zu denen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung spezifischen Bedingungen genügen sollen.

Elias Posoukidis

Kapitel 4. Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Zusammenfassung

Die meisten alltäglichen Bewegungen sind ungleichmäßige Bewegungen. Bei einer ungleichförmigen Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit des Körpers im Laufe der Bewegung. Wir sprechen dann von einer beschleunigten Bewegung. Die Beschleunigung eines Teilchens wird als gleichmäßig bezeichnet, wenn seine Geschwindigkeit in gleichen Zeitintervallen um den gleichen Betrag zunimmt. Wir widmen diesem wichtigen Spezialfall ein eigenes Kapitel und untersuchen Fälle, wie zum Beispiel die Berechnung von Bremszeiten, Überholvorgängen und Begegnungszeiten für die Bewegung von zwei Teilchen.

Elias Posoukidis

Kapitel 5. Die Beschreibung der geradlinigen Bewegung mithilfe von Datenreihen

Zusammenfassung

Diagramme werden verwendet, um die Veränderung einer Größe in Bezug auf eine andere Größe grafisch darzustellen. Wenn für die Bewegung eines Teilchens keine algebraischen Formeln vorliegen, können eigene Formeln durch Interpolation entwickelt werden, um zusätzliche Werte zwischen den vorhandenen Datenpunkten in einem Datensatz zu berechnen. Diese Methode ermöglicht es, ein mathematisches Modell für die Bewegung zu entwickeln und zu analysieren. In diesem Kapitel werden wir anhand von x-t- und v-t-Diagrammen zeigen, wie solche Modelle entwickelt werden können.

Elias Posoukidis

Kapitel 6. Numerische Lösung von Bewegungsgleichungen

Zusammenfassung

Computermodelle, die Bewegungsdaten anhand von analytisch abgeleiteten Formeln berechnen, erfordern Kenntnisse in mathematischen Methoden zur Ableitung von Ausdrücken für Ort, Zeit und Beschleunigung. Allerdings ist es nicht immer möglich, solche Formeln zu finden. In solchen Fällen greifen wir auf numerische Lösungsverfahren zurück. Der Schwerpunkt dieses Kapitels liegt nicht auf der Herleitung der Bewegungsgleichungen, sondern vielmehr auf der Generierung von Daten und der Berechnung von Lösungen, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Ein Beispiel für eine geradlinige Bewegung mit variabler Beschleunigung (Polynom zweiten Grades) wird uns dabei helfen, die erforderlichen Funktionen zu identifizieren und zu implementieren. Zur Berechnung der Daten verwenden wir Algorithmen aus der stl-Bibliothek.

Elias Posoukidis

Kapitel 7. Der Freie Fall

Zusammenfassung

Der freie Fall beschreibt die Bewegung eines Körpers ohne Luftwiderstand im Gravitationsfeld eines Planeten, wie zum Beispiel das der Erde. Bei geringem Abstand von der Erdoberfläche kann die Beschleunigung für alle Körper näherungsweise als konstant betrachtet werden. Dies stellt einen Spezialfall einer geradlinigen Bewegung mit konstanter Beschleunigung dar, bei dem die Beschleunigung bereits bekannt ist. In diesem Kapitel werden wir zwei Ansätze zur Lösung von Aufgaben mit dem Computer vorstellen, die sich mit diesem Spezialfall befassen. Dabei werden die Bewegungsgleichungen mithilfe von Bewegungspolynomen aufgestellt und gelöst und zusätzlich numerische Methoden eingesetzt. Der erste Ansatz ermöglicht die Wiederholung der Schritte der analytischen Lösung, ohne dass die Formeln programmiert werden müssen. Beim zweiten Ansatz ist die Logik der analytischen Lösung nicht erforderlich. In diesem Zusammenhang werden wir das Modell zur numerischen Lösung von Bewegungsgleichungen, das im vorherigen Kapitel entwickelt wurde, testen und um wichtige Elemente erweitern. Zusätzlich soll die numerische Berechnung von Bewegungsdaten für die gleichzeitige Bewegung von zwei Teilchen demonstriert werden.

Elias Posoukidis

Kapitel 8. Allgemeine geradlinige Bewegung

Zusammenfassung

Geradlinige Bewegungen beschränken sich nicht nur auf solche mit konstanter Geschwindigkeit oder konstanter Beschleunigung. Die Mechanik untersucht auch Bewegungen mit geschwindigkeitsabhängiger oder ortsabhängiger Beschleunigung, wie beispielsweise die harmonischen Schwingungen. In solchen Fällen existiert kein allgemeiner Satz von Formeln, der alle diese Bewegungen abdecken kann. Für ein Computermodell bedeutet dies, dass entweder alle drei Funktionen (Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ort) angegeben werden müssen, oder die Bewegungsdaten numerisch generiert werden, indem die Beschleunigung angegeben wird. Falls eine der drei Funktionen ein zeitabhängiges Polynom ist, kann die entsprechende Klasse zur Modellierung der Bewegung verwendet werden.

Elias Posoukidis

Kapitel 9. Schiefer Wurf

Zusammenfassung

Ein schiefer Wurf ist die Bewegung eines Teilchens, das sich in einer Ebene bewegt, die senkrecht zur Erdoberfläche steht. Das Teilchen startet seine Bewegung mit einer Anfangsgeschwindigkeit unter einem Winkel zur Horizontalen. Es erfährt eine nach unten gerichtete Gravitationsbeschleunigung. Die Bewegung des Teilchens wird in eine horizontale und eine vertikale Bewegung aufgeteilt, die unabhängig voneinander sind und sich nicht gegenseitig beeinflussen. Die Gleichung, welche die Flugbahn beschreibt, wird auch als Bahngleichung bezeichnet. In dieser Bewegung sind die maximale horizontale Entfernung, die maximale Höhe und die Flugzeit charakteristische Größen. In diesem Kapitel werden wir mithilfe der bereits entwickelten Werkzeuge Beispiele wie den Schiefen Wurf auf schiefen Ebenen und das Treffen von zwei Projektilen in der Luft untersuchen.

Elias Posoukidis

Kapitel 10. Vektoren in der Ebene

Zusammenfassung

Ein Vektor ist eine gerichtete Größe und wird in der Ebene mithilfe von zwei Zahlen beschrieben. Dies kann in Form von kartesischen Koordinaten oder durch die Angabe der Länge und der Richtung geschehen. In der Softwaretechnik ist ein Array oder Feld ein Container, der Objekte vom selbem Datentyp speichert. Ortsvektoren, Geschwindigkeitsvektoren, Kräfte und allgemein jede physikalische vektorielle Größe können somit durch Container mit fester Länge abgebildet werden, die Zahlen als Elemente enthalten. Wir entwickeln eine Klasse für Vektoren, die diese sowohl in kartesischer als auch in polarer Darstellung speichern kann. Der Zugriff auf die Daten sowie die Umrechnung zwischen den Darstellungen stehen im Fokus. Des Weiteren führen wir mathematische Operationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren ein. Auch die Rotation von Vektoren und Koordinatensystemen wird behandelt. Abschließend betrachten wir Beispiele, wie die Berechnung von Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Durchschnittsgeschwindigkeiten in Vektorform.

Elias Posoukidis

Kapitel 11. Kraft

Zusammenfassung

Die Bewegung eines Körpers ist das Ergebnis seiner Wechselwirkung mit anderen Körpern. Diese Wechselwirkung wird quantitativ durch Kräfte beschrieben. Kräfte wirken als Vektorgrößen an einem bestimmten Punkt und besitzen eine Richtung und einen Betrag. Wenn die Masse konstant ist, ist die Kraft gleich der Masse multipliziert mit der Beschleunigung, wobei die Beschleunigung und die Kraft die gleiche Richtung haben. Wenn mehrere Kräfte auf ein Teilchen wirken, bezeichnet man die Summe dieser Kräfte als Gesamtkraft. In diesem Kapitel werden wir die Auswirkungen einer Reihe von ebenen Kräften auf die Bewegung eines Teilchens untersuchen und diese mithilfe von Softwarekomponenten abbilden.

Elias Posoukidis

Kapitel 12. Kräftediagramme

Zusammenfassung

Für die Lösung von Aufgaben, die auf den Newtonschen Bewegungsgesetzen basieren, ist das Kräftediagramm oder Freikörperbild ein wichtiges Werkzeug. Es ermöglicht, jedes Objekt in einem System getrennt zu betrachten und alle auf das Objekt einwirkenden Kräfte darzustellen. Das Ziel in diesem Kapitel besteht darin, diese Informationen direkt in ein Computerprogramm zu übertragen, ohne Formeln programmieren zu müssen. Zur Erstellung der Softwarekomponenten werden wir uns auf ein konkretes Szenario konzentrieren, bei dem ein Teilchen von bekannten ebenen Kräften beeinflusst wird und die Gesamtkraft sowie die resultierende Beschleunigung berechnet werden sollen. Verschiedene Variationen dieses Beispiels werden im Verlauf des Kapitels untersucht, um die wichtigsten Fälle aufzuzeigen und Lösungstechniken zu entwickeln. Dadurch werden die Eigenschaften eines Computermodells erkannt und schrittweise Softwarekomponenten erstellt, die alle erarbeiteten Lösungstechniken beinhalten und in der Lage sind, fehlende Größen eigenständig zu berechnen.

Elias Posoukidis

Kapitel 13. Gleichgewicht von Punktmassen

Zusammenfassung

Wenn sich ein Massenpunkt in Ruhe befindet oder mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, ist die Gesamtkraft, die am Massenpunkt angreift, gleich null. Für Kräfte, die in einer Ebene liegen, folgen aus dem Kräftegleichgewicht zwei skalare Gleichungen. Wir setzen in diesem Kapitel die entwickelten Routinen zur Berechnung von Kräften in einem Kräftediagramm ein, um Aufgaben zu lösen. Beispiele, die untersucht werden, sind eine Kugel, die an einem Seil von der Decke hängt, eine Masse, die an drei Seilen befestigt ist, und zwei Massen, die durch ein Seilsystem und eine Rolle miteinander verbunden sind.

Elias Posoukidis

Kapitel 14. Flussüberquerung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir vom Hauptthema der Auswirkung von Kräften auf Massen abweichen und die Methoden zur Berechnung von Vektoren auf ein anderes Themengebiet anwenden, nämlich das der Flussüberquerung. Wir wollen zusammen mit diesem interessanten Thema die Wiederverwendbarkeit der bereits entwickelten Klassen und Funktionen demonstrieren. Die Position eines Objekts und seine Bewegung im Raum kann nur relativ zu einem anderen Objekt, das Bezugsobjekt, beschrieben werden. Um den Ort und die Geschwindigkeit quantitativ zu bestimmen, ist ein Koordinatensystem erforderlich. Das Bezugsobjekt und ein damit verbundenes Koordinatensystem sind dann ein Bezugssystem. Beobachtungen aus verschiedenen Bezugssystemen können zu unterschiedlichen Beschreibungen desselben physikalischen Vorgangs führen. Wenn ein Boot einen Fluss überquert, wird es von der Strömung abgetrieben. Die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer ist dann die Summe der Strömungsgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Wasser. Wir werden verschiedene Fallbeispiele untersuchen und einen allgemeinen Lösungsansatz für Bewegungen eines Objekts relativ zum Wasser bei konstanter Stromgeschwindigkeit entwickeln.

Elias Posoukidis

Kapitel 15. Horizontale und vertikale Bewegung mit Reibung

Zusammenfassung

Eine Bewegung eines Teilchens entlang einer horizontalen Strecke findet entweder auf einer glatten Oberfläche oder auf einem Boden mit Reibung statt. Das Zusammenspiel zwischen der Normalkraft und den anderen Kräften legt fest, wie groß die Reibungskraft ist. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit horizontalen und vertikalen Bewegungen von Körpern unter dem Einfluss von Reibungskräften. Dabei betrachten wir Eigenschaften der Reibungs-und Normalkraft, berechnen den Gleitreibungskoeffizienten und analysieren die Bewegung von Körpern auf horizontalem und vertikalem Boden. Wir modellieren die Bewegung mithilfe von Kräftediagrammen und untersuchen verschiedene Anwendungen, wie zum Beispiel Körper im Gleichgewicht durch Seile und Haftreibung. Für die Berechnung unbekannter Kräfte in einer Kräfteliste haben wir bereits ein Modell entwickelt. Die Weiterentwicklung des Computermodells, das automatisch Kräfte wie die Reibungskraft und die Normalkraft zur vorhandenen Kräfteliste hinzufügt, wird die Erstellung von Programmen weiter vereinfachen.

Elias Posoukidis

Kapitel 16. Massen in Kontakt

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir die Bewegung und das Verhalten von Massen, die miteinander in Kontakt stehen. Dabei berücksichtigen wir Faktoren wie Reibung, Gewicht und externe Kräfte. Durch die Anwendung der bereits entwickelten Modelle können wir die resultierenden Kräfte und Bewegungen ermitteln. Wir untersuchen verschiedene Szenarien, wie das von zwei Massen, die durch eine äußere Kraft beeinflusst werden, sowie zwei Massen auf einer horizontalen Ebene mit Reibung. Wir analysieren auch Situationen, in denen eine Masse an eine größere Masse gedrückt wird oder ein Klotz auf einer Platte mit Reibung liegt, während auf den Klotz eine variable Kraft wirkt.

Elias Posoukidis

Kapitel 17. Massen verbunden mit Seilen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir Bewegungsszenarien, in denen Massen über Seile miteinander verbunden sind. Dabei betrachten wir sowohl geradlinige als auch vertikale Bewegungen mit und ohne Reibung. Unser Ziel ist es, die auftretenden Kräfte und Beschleunigungen in diesen Systemen zu berechnen. Ein Beispiel für solche Szenarien ist die beschleunigte Atwoodsche Fallmaschine, bei der zwei Blöcke über ein Seil und eine Umlenkrolle miteinander verbunden sind und vertikal nach oben beschleunigt werden. Zur Lösung dieser Aufgaben greifen wir auf die zuvor entwickelten Computermodelle zurück.

Elias Posoukidis

Kapitel 18. Schiefe Ebenen

Zusammenfassung

Die schiefe Ebene ist ein physikalisches System der klassischen Mechanik, das eine geneigte Fläche beschreibt, auf der eine Masse unter dem Einfluss ihrer Gewichtskraft bewegt werden kann. Die Bewegung von Massen entlang solcher Ebenen bietet eine ausgezeichnete Möglichkeit, die bereits erarbeiteten Modelle zu testen und zu erweitern. Mithilfe dieser Modelle untersuchen wir die Auf-und Abwärtsbewegung sowie den Einfluss der Reibung. Des Weiteren analysieren wir die Bewegung von zwei Blöcken auf einer schiefen Ebene, berechnen die minimale externe Kraft, um ein Teilchen entlang der Ebene zu bewegen, sowie den optimalen Winkel für eine schnelle Abwärtsbewegung. Schließlich betrachten wir ein System von zwei Blöcken und einer Rolle auf der geneigten Fläche.

Elias Posoukidis

Kapitel 19. Impuls und Kraftstoß

Zusammenfassung

Der Impuls kann von einem Objekt auf ein anderes übertragen werden. Er kann weder erzeugt noch zerstört werden. Der Impuls eines isolierten Systems bleibt demzufolge erhalten. Der Kraftstoß ist ein Vektor und stellt die Menge des Impulses dar, die von einem Objekt auf ein anderes transferiert wird. In diesem Kapitel werden wir Datenstrukturen für den Impuls und den Kraftstoß, sowie Funktionen einführen, um die Programmierung von Simulationen zu vereinfachen. Wir untersuchen den Kraftstoß, der als Integral der Kraft über die Zeit oder als Differenz der Impulse berechnet werden kann. Dabei betrachten wir Beispiele, wie den Stoß eines Objekts auf ein Hindernis, die Bewegung eines Klotzes unter dem Einfluss einer konstanten externen Kraft und den Fall, bei dem ein Körper in zwei Teile explodiert. Zusätzlich werden wir den Kraftstoß mithilfe von Diagrammen untersuchen und uns Beispiele wie den Schiefen Wurf und einer variablen Kraft entlang einer schiefen Ebene anschauen.

Elias Posoukidis

Kapitel 20. Rotation

Zusammenfassung

Die Rotation eines Teilchens in der Ebene beschreibt seine kreisförmige oder elliptische Bewegung um einen Drehpunkt oder eine Drehachse. Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell es rotiert, während die Winkelbeschleunigung die Änderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit beschreibt. Die Bogenlänge und der Drehwinkel charakterisieren die Position und Orientierung des Teilchens während der Rotation. In diesem Kapitel liegt unser Fokus auf der Untersuchung der Rotation eines Teilchens entlang einer Kreisbahn. Dafür werden spezielle Datentypen für die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung eingeführt. Mithilfe der bereits erarbeiteten Routinen werden verschiedene Bewegungsabläufe analysiert, darunter solche mit konstanter Winkelgeschwindigkeit sowie Bewegungen, bei denen die Winkelbeschleunigung eine Funktion der Zeit oder der zurückgelegten Strecke ist.

Elias Posoukidis

Kapitel 21. Kreisbewegung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir die Bewegung eines Teilchens entlang eines Kreises oder eines Kreisbogens mit dem Radius R in einer Ebene. Dabei verwenden wir Vektoren in polarer Darstellung, um Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung während der Bewegung zu beschreiben. Unser Computermodell ermöglicht es, verschiedene Szenarien wie die gleichförmige Kreisbewegung, Bewegung mit konstanter oder zeitabhängiger Geschwindigkeit, variable Geschwindigkeit und Beschleunigung, Zentripetalkraft und Impulsänderung zu analysieren. Zudem nutzen wir numerische Berechnungen, um Aspekte wie die streckenabhängige Bahnbeschleunigung und die Kraft bei vorgegebener Winkelgeschwindigkeit und Beschleunigung zu untersuchen. Ein interessantes Beispiel ist die Reibungskraft, die in bestimmten Fällen die Rolle der Zentripetalkraft übernimmt und ein Objekt auf seiner Kreisbahn hält.

Elias Posoukidis

Backmatter

Titel: Mechanik mit C++
verfasst von: Elias Posoukidis
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-70068-6
Print ISBN: 978-3-662-70067-9
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-70068-6

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