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2022 | Buch

Mechanik

Experimentalphysik – anschaulich erklärt

verfasst von: Stefan Roth, Prof. Dr. Achim Stahl

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Das modern gestaltete Lehrbuch zur Experimentalphysik lädt Studierende der Physik und der Nachbardisziplinen dazu ein, die Mechanik zu erlernen. Mit anschaulichen Beispielen, einer reichen Bebilderung und modernen Aufgaben führt das Buch durch den Stoff der Bachelorvorlesung. Die Autoren legen dabei den Schwerpunkt auf Experimente, die sie anhand vieler Abbildungen erklären, und erleichtern somit das Verständnis der physikalischen Phänomene. Das Buch behandelt die Mechanik des Massenpunktes und des starren Körpers, elastische Körper, Aero- und Hydrodynamik sowie Schwingungen und Wellen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung

Frontmatter
1. Was ist Physik?
Zusammenfassung
Die Physik ist eine alte Wissenschaft. Ihr Ursprung liegt in der griechischen Philosophie. Der Name „Physik“ stammt ebenfalls aus dem Griechischen (φυσική θεωρα, physike theoria). Er wurde von Aristoteles geprägt und bezeichnet die Beschreibung und Erklärung von Ursachen und Zusammenhängen in der Natur.
Heute zählt die Physik zu den Naturwissenschaften. Diese Zuordnung hat ihren Grund. Die Physik ist eine Wissenschaft der Natur, das heißt, sie beschäftigt sich mit der Natur. Dabei geht es meist um die unbelebte Natur, wie z. B. um die Hebelgesetze oder um Polarlichter. Die Physik ist unterteilt in unterschiedliche Disziplinen. Dieser erste Band widmet sich der Mechanik, die man als die Lehre von der Bewegung der Körper bezeichnen könnte.
Die neuzeitliche Physik ist eine experimentelle Wissenschaft. Ob ein bestimmtes Modell richtig oder falsch ist, entscheiden die Physiker mithilfe von Experimenten. Dies war nicht immer so. Im Mittelalter studierten die Physiker antike Schriften, um darin Erkenntnis zu finden. Doch seit Galileo Galilei (1564–1642) ist das Experiment die Basis der Physik.
Physik ist eine exakte Wissenschaft. Qualitative Erklärungen von Phänomenen mögen für das Verständnis der Physik wichtig sein, doch sie sind nicht ausreichend. Jedes physikalische Modell muss in der Lage sein, quantitative Vorhersagen über Prozesse in der Natur zu machen, die sich anhand von Experimenten überprüfen lassen. Dazu benutzt die Physik die Sprache der Mathematik. Will man Physik verstehen, muss man diese erlernen.
Stefan Roth, Achim Stahl
2. Physikalische Größen
Zusammenfassung
Die Physik beschreibt Objekte und Phänomene durch bestimmte Eigenschaften, die man „physikalische Größen“ nennt. Diese physikalischen Größen müssen quantitativ bestimmbar sein. Dies kann entweder durch ein Messverfahren geschehen, dann spricht man von einer „Messgröße“, oder die Größe kann aus anderen Messgrößen berechnet werden, dann spricht man von einer „abgeleiteten Größe“. Den Zusammenhang zwischen physikalischen Größen vermitteln physikalische Gesetze.
Um den Wert einer Messgröße nachvollziehbar anzugeben, gibt man einen Zahlenwert, auch Maßzahl genannt, und eine Einheit an. Beschreibt man also eine Länge als 1,5 Kilometer, dann ist 1,5 der Zahlenwert und „Kilometer“ die Einheit. Man verwendet die Einheit „Kilometer“ als Maßstab und gibt mit dem Zahlenwert 1,5 an, dass die Länge eineinhalbmal so lang ist wie ein Kilometer.
Sollen wissenschaftliche Ergebnisse weltweit vergleichbar sein, so muss man sich auf eine einheitliche Definition der physikalischen Größen verständigen. Diese einheitliche Definition geht von einer Reihe sogenannter Grund- oder Basisgrößen aus, von denen die anderen physikalischen Größen abgeleitet werden. Auf der 10. Generalkonferenz für Maße und Gewichte (Conférence Générale des Poids et Mesures, CGPM) verständigte man sich 1954 in Paris auf sieben Basisgrößen, die zusammen mit den zugehörigen Basiseinheiten heutzutage in den meisten Ländern anerkannt sind. Sie sind in Tab. 2.1 aufgeführt.
Stefan Roth, Achim Stahl
3. Messfehler
Zusammenfassung
„Messen ist eine Kunst“ lautet ein bekannter Spruch über die Experimentalphysik. Auch wenn man diesen Spruch nicht wörtlich nehmen sollte, deutet er ein wichtiges Problem an. Wer eine Messung durchführt, mag sich erhoffen, als Ergebnis den wahren Wert einer Größe zu erhalten, doch dies ist leider nicht so. Es gibt vielfältige Gründe, warum der Messwert vom wahren Wert abweichen wird: Umwelteinflüsse stören die Messung, die Messgeräte haben nur eine begrenzte Genauigkeit, um nur zwei Beispiele zu nennen. Der Experimentator muss damit leben, dass das Messergebnis nicht den wahren Wert widerspiegelt. Die Kunst besteht darin, dem wahren Wert möglichst nahezukommen.
Wir wollen dies etwas formalisieren: Die Abweichung eines aus Messungen gewonnenen Wertes vom wahren Wert der Messgröße wird Messfehler \(\Updelta x\) genannt. Die Definition lautet
$$\Updelta x=x_{i}-x_{w}$$
(3.1)
Hier ist \(x_{i}\) der Messwert und \(x_{w}\) der wahre Wert. Zu den Aufgaben des Experimentators gehört es nicht nur, ein Messverfahren zu entwickeln, das den Messfehler in akzeptablem Rahmen hält, sondern auch diesen der Größe nach zu bestimmen. In vielen Fällen ist diese Aufgabe schwieriger und aufwendiger als die eigentliche Messung. Die Definition aus Gl. 3.1 ist für die Bestimmung des Messfehlers nutzlos, da man den wahren Wert nicht kennt. Man muss daher versuchen, den Messfehler auf anderem Wege abzuschätzen. Wie dies im Einzelnen geht, erlernen Sie im Rahmen der physikalischen Praktika. Es würde den Umfang dieses Buches sprengen.
Stefan Roth, Achim Stahl
4. Methodik
Zusammenfassung
Die Arbeitsweise der Physik ist ein Wechselspiel zwischen Modellbildung und experimenteller Überprüfung der Modelle. Die Modelle enthalten Vorstellungen über das Wesen der Natur im Gültigkeitsbereich des Modells. Sie sind in der Sprache der Mathematik geschrieben. Die Modelle erlauben es, Vorhersagen über die Ergebnisse der Experimente zu machen. Ebenso kann man alltägliche Vorgänge mit den Modellen beschreiben und vorhersagen. Mit den Experimenten überprüft man die Vorhersagen. Je häufiger und je präziser dies gelingt, desto mehr Vertrauen haben die Physiker in ein Modell.
Das Überprüfen der Modelle ist nicht die einzige Aufgabe der Experimente. Es mag ein Traum sein, eines Tages ein Modell zu finden, das die Natur alleine aus sich heraus quantitativ erklärt, doch bis heute enthalten alle Modelle eine Reihe von Naturkonstanten, deren Werte nicht aus den Modellen abgeleitet werden können. Man muss sie experimentell bestimmen. Erst wenn alle in einem Modell vorkommenden Naturkonstanten gemessen sind, kann das Modell quantitative Vorhersagen machen. Ähnliches gilt für Materialkonstanten, die in vielen Modellen auftreten und die Eigenschaften bestimmter Materialien angeben.
Stefan Roth, Achim Stahl

Mechanik der Massenpunkte

Frontmatter
5. Kinematik des Massenpunktes
Zusammenfassung
Der Massenpunkt, auch Punktmasse genannt, ist eine modellhafte Darstellung eines Körpers. Er dient vornehmlich der vereinfachten Beschreibung der Bewegung des Körpers. Eigenschaften des Körpers wie Volumen und Form werden vernachlässigt. Der Körper wird als mathematischer Punkt angesehen, der keine Ausdehnung, aber eine endliche Masse besitzt. Die gesamte Masse des Körpers ist in diesem Punkt lokalisiert. In der Regel wird man den Schwerpunkt des Körpers als diesen Punkt wählen.
Stefan Roth, Achim Stahl
6. Dynamik eines Massenpunktes
Zusammenfassung
Durch das gesamte Mittelalter waren die Lehren des Aristoteles (384–322 v. Chr., (Abb. 6.1)) aus der Antike die entscheidende Quelle der Erkenntnis über die Natur. Wir wollen dieses Kapitel mit einem Rückblick auf seine Bewegungslehre beginnen:
Aristoteles fasst den Begriff der Bewegung viel allgemeiner als wir ihn heute benutzen. Jede Art der Veränderung eines Gegenstandes bezeichnet er als Bewegung. Er benutzt das altgriechische Wort kínesis, von dem sich auch das Wort „Kinematik“ als Lehre von der Bewegung ableitet, die wir im vergangenen Kapitel diskutiert haben. Aristoteles schreibt: „Das endliche Zur-Wirklichkeit-Kommen eines bloß der Möglichkeit nach Vorhandenen, insofern es eben ein solches ist – das ist Bewegung.“ Er geht davon aus, dass eine solche Veränderung bereits als Möglichkeit im Gegenstand angelegt sein muss. Wird diese Möglichkeit schließlich realisiert, so nennt er dies „Bewegung“.
Stefan Roth, Achim Stahl
7. Arbeit und Energie
Zusammenfassung
Der Begriff „Arbeit“ hat im allgemeinen Sprachgebrauch eine vielfältige Bedeutung. Wir sprechen von Arbeit als Beruf mit den Worten „zur Arbeit gehen“ oder von der Arbeit eines Künstlers im Sinne eines geschaffenen Kunstwerkes. Etymologisch hängt das Wort mit dem Begriff der Mühe zusammen. Diese alltäglichen Begriffe sind recht vage und daher für den unmittelbaren Gebrauch in der Physik nicht geeignet. Wir müssen die physikalischen Begriffe präziser fassen. Dem physikalischen Begriff der Arbeit wollen wir uns über eine einfache Maschine nähern, dem Flaschenzug.
Stefan Roth, Achim Stahl
8. Impuls
Zusammenfassung
Wir definieren den Impuls \({p}\) eines Körpers als das Produkt aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit
$$\vec{p}=m\vec{v}$$
(8.1)
Wie die Geschwindigkeit ist auch der Impuls ein Vektor. Die Einheit des Impulses lässt sich aus der Definition ableiten. Sie ist
$$[p]=1\frac{\text{kg}\,\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$$
(8.2)
Die Einheit hat keinen eigenen Namen und kein eigenes Symbol.
Mit der Definition des Impulses lässt sich das zweite Newton’sche Axiom umformulieren
$$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(m\vec{v})$$
(8.3)
Unter der Annahme, dass sich die Masse des Körpers nicht ändert, erhalten wir die bekannte Form
$$\vec{F}=\frac{d}{dt}(m\vec{v})=m\frac{d\vec{v}}{dt}=m\vec{a}$$
(8.4)
Tatsächlich ist die hier angegebene Form \(\vec{F}=d\vec{p}/dt\) allgemeiner gültig. Newtons Formulierung ist eine Spezialisierung auf konstante Massen.
Stefan Roth, Achim Stahl
9. Reibung
Zusammenfassung
Reibung ist eine Kraft, die die Bewegung von Körpern behindert, sie verlangsamt. Sie entsteht, wenn reale Körper sich berühren. Sie hängt stark von der Beschaffenheit der Oberflächen ab, die sich berühren. An rauen Oberflächen sind die Reibungskräfte größer als an glatten. Man kann sich das so vorstellen, dass die Oberflächen der beiden Körper sich ineinander „verhaken“. Es ist eine Kraft nötig, um diesen Kontakt aufzuheben und die Körper weiterzubewegen, also die Reibung zu überwinden. Ohne diese Kraft kommen die Körper allmählich zum Stillstand. Aber auch zwischen ruhenden Körpern wirken Reibungskräfte. Sie können verhindern, dass die Körper sich gegeneinander verschieben, selbst wenn Kräfte auf diese wirken.
Reibung ist oftmals unerwünscht. Man kann sie reduzieren, aber in der Realität nie ganz ausschalten. Es gibt aber auch Situationen, in denen Reibung gewollt und wichtig ist. Stellen Sie sich nur einmal vor, wie schwierig es ist, auf einer Eisfläche zu gehen, auf der die Reibung gegenüber normalem Boden stark reduziert ist. Für unsere Fortbewegung ist Reibung entscheidend. Man kann die Reibung reduzieren, indem man die Oberflächen der reibenden Körper glättet. So ist es leichter, einen Körper über poliertes Parkett zu ziehen als über rauen Asphalt.
Stefan Roth, Achim Stahl
10. Scheinkräfte
Zusammenfassung
Wir haben unsere bisherigen Betrachtungen auf den Newton’schen Axiomen aufgebaut. Von diesen haben wir gelernt (Kap. 6), dass sie nur in Inertialsystemen gelten. Newtons erstes Axiom kann man als Definition eines Inertialsystems verstehen. Es definiert Inertialsysteme als solche, in denen ein kräftefreier Körper in seiner Bewegung oder Ruhe verharrt. Wir wollen nun aufzeigen, wie man mit Newtons Axiomen auch in Nicht-Inertialsystemen arbeiten kann.
Hat man erst einmal ein Inertialsystem gefunden, so ergeben sich daraus weitere. Jedes System, das sich gleichförmig gegen ein Inertialsystem bewegt oder gegenüber diesem ruht, ist selbst wieder ein Inertialsystem (Abb. 10.1). Ein System, das sich hingegen beschleunigt gegenüber einem Inertialsystem bewegt, ist selbst kein Inertialsystem.
Stefan Roth, Achim Stahl
11. Himmelsmechanik
Zusammenfassung
Im Jahre 1600 wird Johannes Kepler (Abb. 11.1) zunächst Assistent von Tycho Brahe in Prag. Ein Jahr später, nach Brahes Tod, rückt er zum kaiserlichen Hofmathematiker auf. Er bekommt damit Zugriff auf das Lebenswerk Brahes, den umfangreichsten und genausten Beobachtungen von Sternbewegungen seiner Zeit.
Kepler ist ein Anhänger des heliozentrischen Weltbildes. Er hatte erkannt, dass eine Beschreibung der Bewegung der Planeten in diesem System viel einfacher ist, als im ptolemäischen System. Die Beobachtung der Position eines Planeten am Fixsternhimmel ergibt komplizierte Schleifenbahnen, wenn man die Bewegung des Planeten auf die Erde bezieht (Abb. 11.2). Wie wir im Folgenden sehen werden, sind die Bewegungen viel einfacher, wenn man die Sonne als Bezugspunkt wählt. Es ergeben sich annähernd Kreise.
Stefan Roth, Achim Stahl

Der starre Körper

Frontmatter
12. Der starre Körper
Zusammenfassung
In unserer bisherigen Betrachtungsweise haben wir Körper vereinfachend als Massenpunkte beschrieben. Ein Massenpunkt istDiese Vereinfachung wollen wir nun teilweise aufgeben und uns damit einer realistischeren Beschreibung von Objekten in der Natur nähern. Unter einem starren Körper versteht man einen ausgedehnten Körper, der nicht deformiert werden kann, selbst nicht durch äußere Kräfte. Mikroskopisch gesehen bedeutet dies, dass die Position der Massenpunkte (Atome), aus denen der Körper aufgebaut ist, relativ zueinander fest ist. Sie können nur gemeinsam durch den Raum bewegt werden.
Ein starrer Körper ist alsoWie der Massenpunkt ist auch der starre Körper eine Idealisierung. Es gibt keine echt starren Körper. Die Atome, aus denen die Körper aufgebaut sind, sind nicht ortsfest. Wirken Kräfte auf den Körper, werden sich die Atome verschieben. Der Körper wird deformiert. Doch hier wollen wir die Näherung machen, dass diese Deformationen vernachlässigbar sind. Wir werden sie im Kap. 14 wieder aufgreifen.
Stefan Roth, Achim Stahl
13. Drehbewegungen
Zusammenfassung
Wir wollen den Drehimpuls zunächst mathematisch einführen: Wir betrachten einen Massenpunkt (Abb. 13.1). Seine Bewegung ist gegeben durch:
$$\vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt}\,.$$
(13.1)
Wir multiplizieren (Vektorprodukt) von links mit dem Ortsvektor und erhalten das Drehmoment:
$$\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}\,.$$
(13.2)
Eine kurze Zwischenrechnung zeigt, dass sich die rechte Seite vereinfachen lässt:
$$\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}+\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}\,.$$
(13.3)
Der erste Summand verschwindet aber, da
$$\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}=\vec{v}\times m\vec{v}=m(\vec{v}\times\vec{v})=0\,.$$
(13.4)
Also ist
$$\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})\,.$$
(13.5)
Damit erhalten wir
$$\vec{M}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})\,.$$
(13.6)
Für Drehbewegungen stellt dieser Ausdruck das Äquivalent zu Newtons zweitem Axiom für lineare Bewegungen dar. Man nennt ihn auch den Drallsatz. Wie Sie gesehen haben, haben wir Gl. 13.1 aus diesem Axiom abgeleitet. Es ist also kein neues Axiom. Um die Äquivalenz noch deutlicher zu machen, führen wir eine neue Größe ein. Wir nennen \(\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}\) den Drehimpuls und damit ist
$$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}\,.$$
(13.7)
Diese Gleichung wurde erstmals 1754 von Leonard Euler aufgestellt. Sie heißt daher auch Euler’scher Drehimpulssatz.
Stefan Roth, Achim Stahl

Elastische Körper

Frontmatter
14. Elastomechanik
Zusammenfassung
Wir wollen zunächst untersuchen, wie sich Festkörper unter dem Einfluss äußerer Kräfte deformieren. Flüssigkeiten und Gase werden wir erst im nächsten Kapitel (Kap. 15) betrachten.
Stefan Roth, Achim Stahl
15. Hydro- und Aerostatik
Zusammenfassung
Wir haben die Diskussion der Festkörper abgeschlossen und wollen uns nun den Gasen und Flüssigkeiten zuwenden. Gase und Flüssigkeiten ähneln einander in vielen Aspekten. Aus diesem Grund wollen wir sie gemeinsam besprechen. Um die Beschreibung zu vereinfachen, führen wir einen neuen Überbegriff ein: das Fluid. Es soll sowohl Gase als auch Flüssigkeiten bezeichnen.
Eine der wichtigsten Größen zur Behandlung von Fluiden ist der Druck. Ein Fluid verspürt einen Druck, wenn Kräfte auf es einwirken. Der Druck ist definiert über die Kraft, die auf eine Fläche im Fluid oder an dessen Begrenzung wirkt. Der Druck \(p\) ergibt sich als das Verhältnis der Komponente der Kraft senkrecht zur Fläche, dividiert durch die Größe der Fläche selbst:
$$p=\frac{|\vec{F}_{\bot}|}{A}\,.$$
(15.1)
Der Druck ist eine skalare Größe, auch wenn man ihn oft als Pfeil in Skizzen markiert (siehe Abb. 15.1). Der Pfeil gibt dann die Richtung der Kraft an.
Die Einheit des Druckes im SI-System ist das Pascal:
$$[p]=1\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}}=1\,\text{Pa}\,.$$
(15.2)
Es ist allerdings noch eine Reihe älterer Einheiten in Gebrauch, die Sie in Tab. 15.1 finden.
Stefan Roth, Achim Stahl
16. Hydro- und Aerodynamik
Zusammenfassung
Nachdem wir uns mit ruhenden Fluiden auseinandergesetzt haben, wollen wir nun die Effekte kennenlernen, die bei bewegten (strömenden) Fluiden auftreten. Wir beginnen mit einer Beschreibung und Klassifikation der Strömungen, bevor wir in den späteren Kapiteln versuchen wollen, diese zu erklären. Doch zunächst brauchen wir eine Möglichkeit, Strömungen sichtbar zu machen. Eine solche Möglichkeit wird in Experiment 16.1 gezeigt. Diese wollen wir als Beispiel weiter betrachten.
Stefan Roth, Achim Stahl

Schwingungen und Wellen

Frontmatter
17. Schwingungen
Zusammenfassung
Schwingungen sind periodische Bewegungen eines Körpers. In regelmäßigen Zeitabständen (Periodendauer) wiederholt sich die Bewegung immer wieder aufs Neue. Zu jeder Schwingung gibt es eine Ruhelage, in der die Gesamtkraft auf den Körper verschwindet. Lenkt man den Körper aus der Ruhelage aus, so entsteht eine Bewegung aus dem Wechselspiel einer rücktreibenden Kraft – auch Rückstellkraft genannt –, die den Körper wieder in die Ruhelage zurückführen möchte, und der Trägheit des Körpers.
Stefan Roth, Achim Stahl
18. Wellen
Zusammenfassung
Im vorherigen Kapitel haben Sie erste Wellenphänomene kennengelernt. Sie haben Wellen gesehen, die sich auf einem Medium in einer Richtung ausbreiten, wie zum Beispiel auf einem Gummiseil oder auf der Saite einer Gitarre. Man spricht von linearen oder eindimensionalen Wellen. Wellen kann es auch in zwei oder drei Raumdimensionen geben. In Experiment 18.1 zeigen wir Wasserwellen, die sich in zwei Raumrichtungen ausbreiten. Ein Beispiel einer dreidimensionalen Welle wäre die Ausbreitung von Schall in Luft. In diesem Kapitel wollen wir die Wellenphänomene systematisch beschreiben.
Stefan Roth, Achim Stahl
19. Akustik
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir uns speziell mit Schallwellen beschäftigen. Wir können sie auch als ein Beispiel der Wellen, die wir im vergangenen Kapitel besprochen haben, auffassen. Wegen der großen Bedeutung des Schalls im alltäglichen Leben – man denke nur an Sprache oder Musik – wollen wir ihm aber ein gesondertes Kapitel widmen.
Schall breitet sich in Luft und anderen Gasen oder Flüssigkeiten als periodische Verdünnung und Verdichtung des Mediums aus. Auch in Festkörpern kann sich Schall ausbreiten, wobei sich der Mechanismus der Schallausbreitung in Festkörpern allerdings von dem in Flüssigkeiten und Gasen unterscheiden kann. Wir wollen uns im Wesentlichen auf die Schallausbreitung in Fluiden konzentrieren.
Eine Schallwelle entsteht, wenn ein Erreger die Luft an einer Stelle verdichtet (oder verdünnt). Bewegt sich beispielsweise die Membran eines Lautsprechers nach vorne, so drückt sie die Luftschicht unmittelbar vor der Membran zusammen (siehe Abb. 19.1). Der Druck in dieser Schicht steigt. Sie dehnt sich aus und drückt dabei die nächste, vor ihr liegende Luftschicht zusammen. So breitet sich die Erregung von Luftschicht zu Luftschicht aus. Luftmoleküle bewegen sich dabei zwischen den Verdichtungen und Verdünnungen hin und her. Es handelt sich folglich um eine longitudinale Welle. In Festkörpern treten auch transversale Schallwellen auf. Jede Schallwelle braucht ein Medium. Sie basiert auf der Bewegung der Moleküle des Mediums. Im Vakuum kann sich keine Schallwelle ausbreiten (siehe Experiment 19.4).
Stefan Roth, Achim Stahl
Backmatter
Metadaten
Titel
Mechanik
verfasst von
Stefan Roth
Prof. Dr. Achim Stahl
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-64365-5
Print ISBN
978-3-662-64364-8
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64365-5

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