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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in die Mechanik, wie sie an der Universität im Zyklus "Theoretische Physik" angeboten wird. Besonderen Wert hat der Autor auf eine gut lesbare, verständliche und überschaubare Darstellung gelegt. Die einzelnen Schritte sind so ausführlich dargestellt, dass der Leser sie ohne größere Schwierigkeiten nachvollziehen kann. Durch die Aufteilung in Kapitel, die eigenständige Unterrichtseinheiten bilden, und die Art der Darstellung ist das Buch auch für Bachelor-Studiengänge bestens geeignet. Im Rahmen der elementaren Newtonschen Mechanik werden zunächst die grundlegenden Konzepte (wie Massenpunkt, Bahnkurve, Bezugssystem) eingeführt. Im Zentrum stehen dann der Lagrangeformalismus und seine wichtigsten Anwendungen.Danach wird der Hamiltonformalismus eingeführt, und die Kontinuumsmechanik wird anhand ausgewählter Anwendungsbeispiele vorgestellt. Der letzte Teil behandelt ausführlich die Spezielle Relativitätstheorie.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Part 0

Einleitung

Die Mechanik untersucht die Gesetzmäßigkeiten, nach denen die Bewegung materieller Körper verläuft. Unter Bewegung versteht man die Änderung des Ortes als Funktion der Zeit. Die Bewegung erfolgt unter dem Einfluss von Kräften, die in der Mechanik als bekannt vorausgesetzt werden.

Torsten Fließbach

Elementare Newtonsche Mechanik

1. Bahnkurve

Die Bahnkurve eines Massenpunkts ist ein zentraler Begriff in der Mechanik, vergleichbar etwa mit dem elektromagnetischen Feld in der Elektrodynamik oder der Wellenfunktion in der Quantenmechanik. In diesem Kapitel führen wir die Bahnkurve und eine Reihe damit zusammenhängender Begriffe (Massenpunkt, Bezugssystem, Raum und Zeit) ein und erläutern sie. Dieses Kapitel beschränkt sich auf die Kinematik, also auf die bloße Beschreibung der Bewegung eines Massenpunkts. Ab dem nächsten Kapitel befassen wir uns mit der Dynamik, also mit der Untersuchung der physikalischen Gesetze, nach denen diese Bewegung abläuft.

Dieses Kapitel beschränkt sich auf die Kinematik, also auf die bloße Beschreibung der Bewegung eines Massenpunkts. Ab dem nächsten Kapitel befassen wir uns mit der Dynamik, also mit der Untersuchung der physikalischen Gesetze, nach denen diese Bewegung abläuft.

Torsten Fließbach

2. Newtons Axiome

Als Grundgesetze der Mechanik werden die Newtonschen Axiome eingeführt. Das 2. Newtonsche Axiom ist eine Differenzialgleichung für die Bahnkurve eines Massenpunkts. Es bestimmt die Dynamik, also die Zeitabhängigkeit der Bewegung.

Torsten Fließbach

3. Erhaltungssätze

Erhaltungssätze spielen eine wichtige Rolle in der Physik; sie erleichtern oder ermöglichen überhaupt erst die Lösung von Problemen. Ausgehend von Newtons 2. Axiom untersuchen wir die Erhaltungssätze für den Impuls, den Drehimpuls und die Energie. Dabei werden grundlegende Begriffe wie Drehimpuls, Arbeit, kinetische und potenzielle Energie, konservative und dissipative Kräfte eingeführt.

Torsten Fließbach

4. System von Massenpunkten

Wir verallgemeinern die bisherigen Untersuchungen auf ein System aus N Massenpunkten. Dabei bestimmen wir die Zeitableitung des Impulses, des Drehimpulses und der Energie des Systems.

Torsten Fließbach

5. Inertialsysteme

Newtons 1. Axiom führt die Inertialsysteme (IS) als bevorzugte Bezugssysteme ein; die Gültigkeit des zentralen 2. Axioms ist ausdrücklich auf IS beschränkt. Wir diskutieren die Auszeichnung der IS und die Gleichwertigkeit verschiedener IS. Die Galileitransformationen führen von einem IS zu einem anderen IS’. Im nächsten Kapitel untersuchen wir die Modifikationen, die sich für Nicht-Inertialsysteme ergeben.

Torsten Fließbach

6. Beschleunigte Bezugssysteme

Die Inertialsysteme (IS) sind dadurch ausgezeichnet, dass in ihnen Newtons Axiome gelten. Nicht-Inertialsysteme sind Bezugssysteme (BS), die relativ zu einem IS beschleunigt sind. In beschleunigten Bezugssystemen gelten die Newtonschen Axiome nicht. Wir bestimmen die Zusatzterme in den Bewegungsgleichungen für ein linear beschleunigtes BS und ein rotierendes BS.

Torsten Fließbach

Lagrangeformalismus

7. Lagrangegleichungen 1. Art

Der Lagrangeformalismus (Teil II) ist eine elegante und einfache Methode zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen. In diesem Kapitel werden die Newtonschen Axiome zu den Lagrangegleichungen 1. Art verallgemeinert. Diese Verallgemeinerung ist notwendig, um Probleme mit Zwangsbedingungen behandeln zu können.

Torsten Fließbach

8. Anwendungen I

Wir geben das allgemeine Verfahren zur Lösung der Lagrangegleichungen 1. Art an. Dieses Verfahren wird auf folgende Beispiele angewendet: Die schiefe Ebene, den Massenpunkt auf der rotierenden Stange und die Atwoodsche Fallmaschine.

Torsten Fließbach

9. Lagrangegleichungen 2. Art

Vielfach ist man an der Berechnung der Zwangskräfte nicht interessiert. Dann ist es wesentlich bequemer, eine Formulierung zu wählen, bei der die Zwangskräfte aus den Bewegungsgleichungen eliminiert werden. Dies führt zu den Lagrangegleichungen 2. Art.

Torsten Fließbach

10. Anwendungen II

Wir wenden die Lagrangegleichungen 2. Art auf alle Beispiele (schiefe Ebene, Massenpunkt auf der rotierenden Stange, Atwoodsche Fallmaschine) an, für die wir die Lagrangegleichungen 1. Art gelöst haben. Anhand des Doppelpendels und der krummlinigen Koordinaten wird demonstriert, dass der „Umweg“ über die Lagrangefunktion viel einfacher ist als das direkte Aufstellen der Bewegungsgleichungen. Schließlich untersuchen wir die Lagrangegleichungen 2. Art noch für ein neues Beispiel (Massenpunkt auf einem Kreiszylinder).

Torsten Fließbach

11. Raum-Zeit-Symmetrien

Wir untersuchen die Konsequenzen, die sich für mechanische Systeme aus den allgemeinen Symmetrien des Raums und der Zeit eines Inertialsystems ergeben. Für abgeschlossene Systeme führen diese Symmetrien zu Erhaltungssätzen.

Torsten Fließbach

Variationsprinzipien

12. Variation ohne Nebenbedingung

In dem hier beginnenden Teil III werden die Grundlagen der Variationsrechnung dargestellt (Kapitel 12 und 13). Dabei steht die Verständlichkeit der Ergebnisse und ihre Nützlichkeit für die Mechanik im Vordergrund, weniger dagegen die mathematischen Details der Ableitung. In Kapitel 14 werden die Grundgesetze der Mechanik als Variationsprinzip (Hamiltonsches Prinzip) formuliert. Kapitel 15 behandelt den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen in allgemeiner Form (Noethertheorem).

Torsten Fließbach

13. Variation mit Nebenbedingung

Wir untersuchen ein Variationsproblem, bei dem die gesuchte Funktion y(x) einer Nebenbedingung genügen muss. Wir geben die Euler-Lagrange-Gleichungen für isoperimetrische und für holonome Nebenbedingungen an. Als Beispiele werden die Kettenlinie und eine geodätische Linie bestimmt.

Torsten Fließbach

14. Hamiltonsches Prinzip

Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Variationsprinzip, dessen Euler-Lagrange-Gleichungen die Lagrangegleichungen der Mechanik sind. Das Hamiltonsche Prinzip ist eine elegante Formulierung der Grundgesetze der Mechanik. Diese Formulierung hat Vorbildcharakter für andere Gebiete der Physik.

Torsten Fließbach

15. Noethertheorem

In Kapitel 11 wurde gezeigt, dass aus den Symmetrien der Raum-Zeit von Inertialsystemen bestimmte Erhaltungsgrößen folgen. Auf der Grundlage des Hamiltonschen Prinzips kann der Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen wesentlich allgemeiner formuliert werden: Jede einparametrige Schar von Transformationen, unter denen dieWirkung invariant ist, führt zu einer Erhaltungsgröße. Diese Aussage wurde von der Mathematikerin Emmy Noether (1882 – 1935) abgeleitet.

Torsten Fließbach

Zentralpotenzial

16. Zweikörperproblem

Wir untersuchen die Bewegung von zwei Körpern in einem abgeschlossenen System. Hierzu gehören das Keplerproblem, die klassische Behandlung des Wasserstoffatoms, die Rutherfordstreuung und die Dynamik eines zweiatomigen Moleküls (Vibrationen, Rotationen).

Torsten Fließbach

17. Keplerproblem

Wir lösen die Bewegungsgleichungen für das 1/r-Potenzial. Diese Lösung beschreibt näherungsweise die Bewegung eines Planeten im Feld der Sonne (Keplerproblem).

Torsten Fließbach

18. Streuung

Ein Teilchenstrom wird auf Materie gerichtet. Die von der Materie gestreuten Teilchen werden in einem Detektor nachgewiesen. Das Verhältnis des gestreuten Teilchenstroms zur einfallenden Stromdichte definiert den Wirkungsquerschnitt. Der gemesseneWirkungsquerschnitt erlaubt Rückschlüsse auf die Struktur der Materie. In einer klassischen Behandlung berechnen wir den Wirkungsquerschnitt für den Fall, dass die Wechselwirkung zwischen jeweils einem Projektil- und Targetteilchen durch ein Potenzial beschrieben wird.

Torsten Fließbach

Starrer Körper

19. Kinematik

Im Teil V behandeln wir die Bewegung eines starren Körpers. Als verallgemeinerte Koordinaten für die Drehbewegung führen wir die Eulerschen Winkel ein (Kapitel 19). Die Trägheit des Körpers bei der Drehbewegung wird durch den Trägheitstensor beschrieben (Kapitel 20). In diesem Zusammenhang diskutieren wir den Tensorbegriff eingehender (Kapitel 21). Die Bewegungsgleichungen selbst werden als Eulersche Gleichungen (Kapitel 22) oder als Lagrangegleichungen (Kapitel 23) aufgestellt.

Torsten Fließbach

20. Trägheitstensor

Wir bestimmen die kinetische Energie der Rotationsbewegung eines starren Körpers. Diese Energie ist eine quadratische Form in der Winkelgeschwindigkeit. Die Koeffizienten Θik dieser quadratischen Form definieren den Trägheitstensor.

Torsten Fließbach

21. Tensoren

Wir nehmen die Einführung des Trägheitstensors zum Anlass, Definition und Rechenregeln von Tensoren zusammenzustellen. Diese mehr formale Diskussion ist keine notwendige Voraussetzung für die folgenden Kapitel; hierfür genügen die auch bisher schon vorausgesetzten Grundkenntnisse der Vektorrechnung.

Torsten Fließbach

22. Eulersche Gleichungen

Die Eulerschen Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers. Sie sind Differenzialgleichungen für die Winkelgeschwindigkeit im körperfesten System; als Koeffizienten treten die Hauptträgheitsmomente auf.

Torsten Fließbach

23. Schwerer Kreisel

Wir behandeln Kreisel im Gravitationsfeld, und zwar einen Kinderkreisel im homogenen Feld und die rotierende Erde (als nichtunterstützter Kreisel) im Gravitationsfeld der Sonne und des Monds. Für den Kinderkreisel verwenden wir die Lagrangegleichungen. Daher beginnen wir mit der Aufstellung der Lagrangefunktion eines starren Körpers.

Torsten Fließbach

Kleine Schwingungen

24. Erzwungene Schwingungen

Viele Systeme können Schwingungen um eine Gleichgewichtslage ausführen; man denke etwa an ein Doppelpendel oder ein mehratomiges Molekül. Wenn die Auslenkung aus der Ruhelage hinreichend klein ist, dann sind die Schwingungen harmonisch. Der Teil VI untersucht solche kleinen Schwingungen. In diesem Kapitel behandeln wir den eindimensionalen Fall, wobei wir dissipative und äußere Kräfte zulassen. Im nächsten Kapitel untersuchen wir die Eigenschwingungen in Systemen mit vielen Freiheitsgraden.

Torsten Fließbach

25. System mit vielen Freiheitsgraden

Wir untersuchen kleine Schwingungen eines Systems mit vielen Freiheitsgraden. Ausgehend von einer allgemeinen Form der Lagrangefunktion bestimmen wir die Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen des Systems. Schließlich werden noch Normalkoordinaten eingeführt; dies sind die Amplituden der Eigenschwingungen.

Torsten Fließbach

26. Anwendungen

Für drei Systememit mehreren Freiheitsgraden bestimmen wir die Eigenfrequenzen und -schwingungen. Im ersten Beispiel (zweidimensionale Bewegung) wird die Beziehung unseres Lösungsverfahrens zur Hauptachsentransformation deutlich. Das zweite Beispiel (gekoppelte Pendel) ist so einfach, dass wir unmittelbar Normalkoordinaten einführen können. Im dritten Beispiel (Molekül) führen wir das im letzten Kapitel angegebene Verfahren Schritt für Schritt durch.

Torsten Fließbach

Hamiltonformalismus

27. Kanonische Gleichungen

Im Teil VII führen wir zwei neue Formulierungen der Grundgesetze der Mechanik ein: Die kanonischen Gleichungen (Kapitel 27 und 28) und die Hamilton-Jacobi-Gleichung (Kapitel 29). Wir bezeichnen diese Formulierungen zusammenfassend als Hamiltonformalismus.

Torsten Fließbach

28. Kanonische Transformationen

Wir formulieren das Hamiltonsche Prinzip, betrachten die Möglichkeit der Wahl anderer Koordinaten und Impulse, und führen schließlich die Poissonklammern ein. Diese Entwicklungen sind von minderer Bedeutung für die Lösung praktischer Probleme der Mechanik; sie werden daher relativ kurz behandelt. Die vorgestellten Strukturen sind aber für die Untersuchung der Beziehungen zwischen Mechanik und Quantenmechanik wichtig.

Torsten Fließbach

29. Hamilton-Jacobi-Gleichung

Wir bestimmen diejenige kanonische Transformation, für die die neue Hamiltonfunktion (28.12) verschwindet:

29.1

$$ H'\left( {Q,P,t} \right) = H\left( {q,p,t} \right) + \frac{{\partial W\left( {q,Q,t} \right)}}{{\partial t}}\mathop = \limits^! 0 $$

Die Erzeugende der Transformation wird hier mit

$$ G = W\left( {q,Q,t} \right) $$

bezeichnet; wie wir sehen werden, ist W für die tatsächliche Bahn gleich der Wirkung. Die Bedingung (29.1) führt zu einer partiellen Differenzialgleichung für W(q,Q, t), der Hamilton-Jacobi-Gleichung. Diese Gleichung kann als Grundgleichung der Mechanik aufgefasst werden. Sie ist ein wichtiger Ausgangspunkt für die Untersuchung der Relationen zwischen Mechanik, Optik und Quantenmechanik.

Torsten Fließbach

Kontinuumsmechanik

30. Saitenschwingung

Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit der Dynamik von elastischen Körpern, von Flüssigkeiten und von Gasen. Sie ist ein umfangreiches Gebiet mit zahlreichen interessanten Anwendungen. Mathematisch betrachtet handelt es sich um Feldtheorien; an die Stelle der Bahnen für Massenpunkte treten Felder für kontinuierliche Massenverteilungen. In Teil VIII unternehmen wir einen Streifzug durch dieses Gebiet. Als Einführung in dieses Gebiet sei der zweite Teil der Theoretischen Mechanik [7] von Stephani und Kluge empfohlen.

Als exemplarische Anwendungen behandeln wir die Saitenschwingung (dieses Kapitel), die statische Balkenbiegung (Kapitel 31) und die Grundgleichungen der Hydrodynamik (Kapitel 32). Kapitel 33 bringt einen kurzen Ausblick auf andere Feldtheorien und gibt hierfür die Verallgemeinerung des Noethertheorems an.

Torsten Fließbach

31. Balkenbiegung

Wir untersuchen Verbiegungen eines Balkens oder Stabes in einem äußeren Kraftfeld. Konkret berechnen wir die statische Durchbiegung eines Balkens im Schwerefeld.

Torsten Fließbach

32. Hydrodynamik

Wir stellen die Grundgleichungen für die Bewegung von Gasen und Flüssigkeiten vor. Dazu verallgemeinern wir Newtons 2. Axiom zur Eulergleichung der Hydrodynamik. Wir diskutieren einige Anwendungen und Spezialfälle (Flüssigkeit im Schwerefeld, Bernoulligleichung, Potenzialströmung). Als Lösung der linearisierten hydrodynamischen Gleichungen erhalten wir Schallwellen.

Torsten Fließbach

33. Feldtheorien

Wir haben in den Kapiteln 30 – 32 einige einfache Feldgleichungen kennengelernt. Feldgleichungen spielen in der Physik eine wichtige Rolle; dazu gehören unter anderen die Maxwellgleichungen, die Schrödingergleichung und die Feldgleichungen der Gravitation. In diesem Kapitel gehen wir von einer allgemeinen Form der Lagrangedichte aus, stellen die zugehörigen Feldgleichungen auf und formulieren das Noethertheorem. Diese Diskussion geht über den Rahmen einer Einführung in die Mechanik hinaus. Sie setzt Kenntnisse über die spezielle Relativitätstheorie und über die jeweilige Feldtheorie voraus. Dieses Kapitel sollte daher bei einem ersten Studium der Mechanik übersprungen werden. Die hier gegebenen Ergänzungen weisen aber auf die grundlegende Bedeutung der in der Mechanik eingeführten Begriffe und Strukturen (Lagrangefunktion, Variationsprinzip, Noethertheorem) hin. Wenn diese Strukturen dem Leser später in relativ komplexen Theorien begegnen, kann eine Rückbesinnung auf einfache Anwendungen, eben die in der Mechanik, nützlich sein.

Torsten Fließbach

Relativistische Mechanik

34. Relativitätsprinzip

Die bisher behandelte Newtonsche Mechanik gilt nur für Geschwindigkeiten, die klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind. Im Teil IX stellen wir die relativistische Mechanik (auch Einsteinsche Mechanik genannt) vor; sie enthält die Newtonsche Mechanik als Grenzfall für kleine Geschwindigkeiten. Die Grundlagen der relativistischen Mechanik sind zugleich die der Speziellen Relativitätstheorie von Einstein, die alle Gebiete der Physik betrifft. Diese Grundlagen werden in Kapitel 34 – 37 behandelt, die Mechanik im engeren Sinn dann in Kapitel 38 – 40.

In diesem Kapitel ersetzen wir das Relativitätsprinzip von Galilei durch das von Einstein, und damit die Galileitransformationen durch die Lorentztransformationen.

Torsten Fließbach

35. Längen- und Zeitmessung

Die Messung einer Geschwindigkeit ist eine kombinierte Längen- und Zeitmessung. Die Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Inertialsystem des Experimentators hat daher Konsequenzen für die Messung dieser Größen.Wir diskutieren insbesondere die Längenkontraktion, die Zeitdilatation und den Begriff der Gleichzeitigkeit.

Torsten Fließbach

36. Lorentzgruppe

Wir verallgemeinern die spezielle Lorentztransformation (LT) aus Kapitel 34 zur allgemeinen LT. Die LT bilden eine Gruppe. Die Auswertung von zwei sukzessiven LT führt zum Additionstheorem für Geschwindigkeiten.

Torsten Fließbach

37. Lorentztensoren

So wie die 3-Tensoren in Kapitel 21 durch ihr Verhalten unter orthogonalen Transformationen definiert wurden, werden Lorentztensoren oder 4-Tensoren durch ihr Verhalten unter Lorentztransformationen definiert. Die Rechenregeln für Lorentztensoren werden aufgestellt. Diese eher formalen Entwicklungen werden im Folgenden nicht vorausgesetzt; die ersten beiden Seiten dieses Kapitels sollten aber in jedem Fall gelesen werden.

Torsten Fließbach

38. Bewegungsgleichung

Wir stellen die relativistische Verallgemeinerung des 2. Newtonschen Axioms auf. Hieraus folgt die relativistische Form der Energie eines freien Teilchens. Die Äquivalenz von Masse und Energie wird begründet.

Torsten Fließbach

39. Anwendungen

Wir berechnen die relativistische kinetische Energie zweier kollidierender Teilchen im Labor- und im Schwerpunktsystem. Danach lösen wir die relativistische Bewegungsgleichung für eine konstante Kraft. Anhand dieser Lösung diskutieren wir das sogenannte Zwillingsparadoxon.

Torsten Fließbach

40. Lagrangefunktion

Wir formulieren das Hamiltonsche Prinzip für die relativistische Bewegung eines Massenpunkts. Dabei betrachten wir die kräftefreie Bewegung und die Bewegung in einem elektromagnetischen Feld.

Torsten Fließbach

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