Mehrkörpersysteme

Die Gleichungen zur Beschreibung der Kinematik und Dynamik von Mehrkörpersystemen werden mit Hilfe von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe formuliert. Die benötigten Grundlagen der Vektorrechnung und die verwendeten Schreibweisen werden in diesem Kapitel beschrieben

In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Kinematik räumlicher Starrkörperbewegungen behandelt. Die Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines starren Körpers im Raum werden vektoriell beschrieben. Die zeitliche Ableitung von vektoriellen Bewegungsgrößen gegenüber verschiedenen bewegten Bezugssystemen wird definiert. Sie führt auf die Beziehungen für die Zusammensetzung zweier Teilbewegungen zu einer resultierenden Bewegung, die in der Kinematik von Mehrkörpersystemen eine zentrale Bedeutung besitzen. Starrkörperdrehungen werden durch den Drehzeiger und den daraus abgeleiteten Drehtensor geometrisch beschrieben. Es wird gezeigt, wie damit auch mehrfache Drehungen und die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers geometrisch interpretiert werden können. Als Parametrierungen von Drehungen werden die Kardan- und Euler-Winkel sowie die vom Drehzeiger abgeleiteten Euler- und Rodrigues-Parameter eingeführt und an Beispielen gezeigt.

In der Dynamik wird die Wechselwirkung zwischen Kräften und Bewegungen untersucht. Die kinetischen Größen Impuls und Drall sowie der Impulssatz und der Drallsatz werden zunächst allgemein eingeführt und anschließend auf den starren Körper spezialisiert, wobei die Eigenschaften des Trägheitstensors behandelt werden. Weiterhin werden die Begriffe Arbeit und Energie und der darauf aufbauende Arbeits- bzw. Energiesatz eingeführt. Zur Veranschaulichung physikalischer Wirkungen rotierender starrer Körper werden die Kraftwirkungen eines um eine raumfeste Achse drehenden Rotors und einige Phänomene der Kreiseldynamik dargestellt.

Die Bewegung eines mechanischen Systems wird i. Allg. durch Bindungen oder Zwangsbedingungen geometrisch beschränkt. Die Bindungen definieren die freien Raumrichtungen, in denen die Bewegung des Systems erfolgt, und die dazu orthogonalen, gesperrten Raumrichtungen, in denen Reaktionskräfte übertragen werden. Die Formulierungen der Bewegungsgleichungen gebundener Systeme werden in diesem Kapitel für Massenpunktsysteme entwickelt. Nach einer Übersicht über die Klassifizierung von Bindungen werden holonome Bindungen in impliziter und expliziter Darstellung formuliert. Für die Massenpunkte gelten die Impulssätze mit den eingeprägten Kräften und den Reaktionskräften, deren Wirkungsrichtungen entsprechend der Prinzipien von d’Alembert-Lagrange oder Jourdain durch die Bindungen festgelegt sind. Daraus werden zwei Formulierungen der Bewegungsgleichungen entwickelt: Differential-algebraische Gleichungen in den voneinander abhängigen Absolutkoordinaten der Massenpunkte und gewöhnliche Differentialgleichungen in voneinander unabhängigen Minimalkoordinaten. Als weitere Methoden der analytischen Dynamik werden das Prinzip des kleinsten Zwanges von Gauß, die Lagrange-Gleichungen zweiter Art und die kanonischen Gleichungen von Hamilton behandelt. Abschließend wird auf die numerische Lösung der Bewegungsgleichungen eingegangen.

In Anlehnung an die Vorgehensweise bei den Massenpunktsystemen werden die Bewegungsgleichungen von ebenen Mehrkörpersystemen mit holonomen Bindungen entwickelt. Gegenüber den räumlichen Mehrkörpersystemen treten vereinfachend nur Drehungen um Achsen senkrecht zur Bewegungsebene auf. Die impliziten und expliziten Formulierungen der Bindungen werden um die Drehungen erweitert. Die Impulssätze in der Ebene werden um die skalaren Drallsätze mit eingeprägten Momenten und Reaktionsmomenten ergänzt. Die Bewegungsgleichungen ebener Mehrkörpersysteme in voneinander abhängigen Absolutkoordinaten und in Minimalkoordinaten werden hergeleitet und an Beispielen gezeigt.

Die kinematischen und dynamischen Gleichungen für räumliche Mehrkörpersysteme mit holonomen Bindungen werden als Erweiterungen der entsprechenden Formulierungen für ebene Mehrkörpersysteme aus Kap. 6 aufgestellt. Die wesentlichen Unterschiede ergeben sich aus den räumlichen Drehungen der Körper. Die in Abschn. 7.1 eingeführten Bewegungsgrößen der Körper im Raum beinhalten dementsprechend die in Kap. 3 eingeführten Koordinaten der Drehbewegung mit den dazugehörenden kinematischen Differentialgleichungen.

Nichtholonome Bindungen beschränken nur die Geschwindigkeit, nicht aber die Lage eines mechanischen Systems. Der Lage-Freiheitsgrad nichtholonomer Systeme ist dadurch größer als der Geschwindigkeits-Freiheitsgrad. In Anlehnung an die Betrachtungsweisen bei den holonomen Mehrkörpersystemen werden die Kinematik und die Dynamik nichtholonomer Systeme am einführenden Beispiel eines Wagens mit zwei Rädern bzw. einer auf einer Ebene gleitenden Kufe betrachtet. Gegenübergestellt werden wieder die Bewegungsgleichungen in voneinander abhängigen absoluten Bewegungsgrößen sowie in Minimalkoordinaten und Minimalgeschwindigkeiten. Entsprechende Formulierungen werden für eine schlupffrei auf einer rotierenden Ebene abrollende Kugel hergeleitet. Ergänzend werden Bedingungen für die Integrierbarkeit von Systemen kinematischer Bindungen formuliert und an Beispielen veranschaulicht.

Die Aufstellung der Bewegungsgleichungen großer Mehrkörpersysteme erfordert systematische Formulierungen der Bindungen an den Gelenken. Wegen der geringeren Bedeutung der nichtholonomen Bindungen bei der Modellierung technischer Systeme werden Gelenke mit holonomen Bindungen betrachtet. Die Kopplungen der Körper durch Gelenke legen den topologischen Aufbau als offenes Mehrkörpersystem mit Baumstruktur oder als teilweise bzw. vollständig geschlossenes Mehrkörpersystem mit kinematischen Schleifen fest. Entsprechend der Bewegungen der Körper können dabei ebene, sphärische und räumliche Mehrkörpersysteme unterschieden werden. Sind alle Bindungen voneinander unabhängig, so kenn der Freiheitsgrad des Mehrkörpersystems mit Hilfe des Grübler-Kutzbach-Kriteriums ermittelt werden. Die holonomen Bindungen an Gelenken werden in impliziter und expliziter Darstellung vektoriell formuliert. Für die Reaktionskraftwinder an den Gelenken gelten die expliziten und impliziten Reaktionsbedingungen. Eine abschließende Übersicht zeigt die Verwendung der Gelenkbindungen in den verschiedenen Formulierungen der Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen.

Bei offenen Mehrkörpersystemen sind die Gelenkkoordinaten zugleich Minimalkoordinaten. Betrachtet werden hier Mehrkörpersysteme mit holonomen Gelenken. Die Bewegungsgleichungen werden daher günstig als gewöhnliche Differentialgleichungen in den Gelenkkoordinaten aufgestellt, da die expliziten Bindungen zumindest bei Dreh- und Schubgelenken und daraus zusammengesetzten Gelenken unmittelbar, also ohne vorherige Aufstellung der impliziten Bindungen, analytisch formuliert werden können. Erhalten wird ein lineares Gleichungssystems für die absoluten Beschleunigungen der Körper, die Gelenkbeschleunigungen und die Reaktionskraftwinder. Es bildet den gemeinsamen Zugang zu den nichtrekursiven und die wegen ihrer Effizienz oft bevorzugten rekursiven Formalismen für die Aufstellung der Bewegungsgleichungen in den Minimalkoordinaten.

Bei geschlossenen Mehrkörpersystemen hängen die Gelenkkoordinaten durch die Schließbedingungen der kinematischen Schleifen voneinander ab und sind damit anders als bei offenen Mehrkörpersystemen keine Minimalkoordinaten mehr. Die Schließbedingungen werden durch einen Schnitt der Schleifen an den hier so genannten sekundären Gelenken als implizite Bindungen in den primären Gelenkkoordinaten des aufspannenden Baumes aufgestellt. Mit Hilfe expliziter Schließbedingungen können die primären Gelenkkoordinaten durch Minimalkoordinaten ausgedrückt werden. Auf Lageebene ist dazu ein nichtlineares Gleichungssystem zu lösen, was i.Allg. nur numerisch möglich ist. Diese Zusammenhänge werden zunächst für eine einzelne Mehrköperschleife und anschließend für Systeme mit mehreren Schleifen entwickelt. Mit Hilfe der impliziten Schließbedingungen werden die Bewegungsgleichungen als differential-algebraische Gleichungen in den primären Gelenkkoordinaten formuliert. Hierzu wird ein lineares Gleichungssystem für die absoluten Beschleunigungen der Körper, die relativen primären Gelenkbeschleunigungen, die primären Gelenk-Reaktionskraftwinder und die Koordinaten der sekundären Reaktionskraftwinder aufgestellt. Wie bei offenen Systemen kann es nichtrekursiv oder rekursiv gelöst werden. Mit Hilfe der expliziten Schließbedingungen werden die Bewegungsgleichungen als gewöhnliche Differentialgleichungen in den Minimalkoordinaten aufgestellt.