Mengen und Zahlen

Wir müssen es als eine grundlegende Fähigkeit des menschlichen Geistes ansehen, gegebene Objekte gedanklich zu einem Ganzen zusammenfassen zu können. So fassen wir z.B. die Einwohner Hamburgs zu einem Ganzen zusammen, das wir die Bevölkerung Hamburgs nennen; die unter deutscher Flagge fahrenden Handelsschiffe fassen wir zu der deutschen Handelsflotte zusammen, die Apfel in einem Korb zu einem „Korb Äpfel“ usw. Ein solches Ganzes nennen wir eine Menge; die zu einer Menge zusammengefaßten Objekte bilden die Element e dieser Menge. Um auszudrücken, daß a ein Element der Menge M ist, benutzen wir die Bezeichnung a ∈M und sagen auch, a gehöre zu M oder liege in M oder auch M enthalte a. Dagegen bedeutet a ∉ M, daß a kein Element von M ist (nicht zu M gehört, nicht in M liegt). Wollen wir mitteilen, daß a und b in M liegen, so schreiben wir kurz a,b ∈ M (statt „a ∈ M und b ∈ M“). Eine Menge sehen wir als definiert oder gegeben an, wenn wir wissen, aus welchen Elementen sie besteht; dementsprechend nennen wir zwei Mengen M und N gleich und schreiben M=N, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Gibt es jedoch in einer dieser Mengen ein Element, das nicht zu der anderen gehört, so werden die beiden Mengen ungleich oder verschieden genannt, in Zeichen M ≠ N. Schließlich verabreden wir noch, daß nur solche Objekte zu einer Menge M zusammengefaßt werden, die unter sich verschieden sind, daß also kein Element von M mehrfach in M auftritt.