3. Mengenlehre heute: neue Axiome

Die Mengenlehre steht vor der Herausforderung, Aussagen zu beweisen oder zu widerlegen, die von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) unabhängig sind. Eine vielversprechende Methode besteht darin, zusätzliche Axiome zu ZFC hinzuzufügen, um diese Fragen zu klären. Mengentheoretiker:innen untersuchen daher sogenannte neue Axiome, die als grundlegende Prinzipien dienen und die Mengenlehre erweitern. Diese neuen Axiome lassen sich in drei Hauptarten unterteilen: große Kardinalzahlaxiome, Determiniertheitsprinzipien und Forcingaxiome. Große Kardinalzahlaxiome, die als verallgemeinerte Unendlichkeitsaxiome beschrieben werden, behaupten die Existenz sehr großer Kardinalzahlen, deren Existenz in ZFC nicht beweisbar ist. Diese Axiome zeigen die Unvollständigkeit des aktuellen axiomatischen Systems und bieten eine natürliche Erweiterung. Determiniertheitsprinzipien, die später erforscht wurden, befassen sich mit der Existenz von Gewinnstrategien in bestimmten Spielen mit reellen Zahlen. Sie ordnen Teilmengen reeller Zahlen nach ihrer Komplexität und untersuchen, unter welchen Umständen Spiele determiniert sind. Forcingaxiome, eng mit der Forcingmethode verknüpft, ermöglichen die Konstruktion von Modellen, in denen bestimmte Aussagen gelten oder nicht. Sie spielen eine entscheidende Rolle bei der Untersuchung der Suslinhypothese und der Kontinuumshypothese. Die Forschung zu diesen neuen Axiomen und deren Zusammenhängen bietet tiefere Einblicke in die Struktur der Mengenlehre und könnte zur Lösung offener Probleme beitragen.