1. Mengenlehre kompakt

Das Kapitel beleuchtet die Einführung der Mengenlehre durch Georg Cantor, der im 19. Jahrhundert die Mengenlehre als neues mathematisches Konzept etablierte. Cantor führte die transfiniten Mengen ein, die unendliche Mengen mit bestimmten Eigenschaften endlicher Mengen verbinden. Diese Mengen können durch Ordinalzahlen abgezählt und durch Kardinalzahlen in ihrer Größe bestimmt werden. Ein zentrales Thema ist das Diagonalargument, das zeigt, dass es mehr reelle Zahlen zwischen 0 und 1 gibt als natürliche Zahlen. Die Kontinuumshypothese, die besagt, dass es keine Mengengröße zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen gibt, bleibt bis heute unbewiesen. Die Axiomatisierung der Mengenlehre durch ZFC (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom) ermöglichte eine präzise und widerspruchsfreie Darstellung der Mengenlehre. Die Unvollständigkeitssätze von Gödel zeigen, dass es Aussagen gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden können, was die Grenzen der axiomatischen Theorien aufzeigt. Die Forcingmethode von Paul Cohen bestätigte die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von ZFC, was das mengentheoretische Unabhängigkeitsphänomen unterstreicht. Das Kapitel bietet eine fundierte und detaillierte Analyse der Mengenlehre und deren historische Entwicklung, die durch zahlreiche Beispiele und Beweise ergänzt wird.