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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Auswertung von Messungen mit linearen Abhängigkeiten

Zusammenfassung
Bei elektronischen Messungen wird vorwiegend die Abhängigkeit zweier Größen voneinander festgestellt, die man ganz allgemein mit x und y bezeichnen kann. Ihre Beziehung zueinander wird so beschrieben, daß y eine Funktion von x ist, also in Form einer Gleichung: y = f (x) (lies: y gleich Funktion von x).
Karl-Heinz Hauck

2. Behandlung von Messungen mit Kurven in der graphischen Darstellung

Zusammenfassung
Ein mathematisches Verfahren zur Glättung von Kurven aus streuenden Meßwerten läßt sich nur mit erheblichem Rechenaufwand durchfuhren, so daß hier die zeichnerische Lösung vorzuziehen ist, die, wie das Beispiel zeigen wird, zu recht befriedigenden Ergebnissen führt. Das Verfahren ist allerdings auf schwach gekrümmte Kurven begrenzt, die meist ja aber auch vorliegen — wieweit es anwendbar ist, muß von Fall zu Fall geprüft werden.
Karl-Heinz Hauck

3. Der Umgang mit Logarithmen-Skalen und ihre Eigenfertigung

Zusammenfassung
Graphisch-rechnerische Verfahren, bei denen Kurven zu Geraden umgeformt werden sollen, um ihre Auswertung zu erleichtern, benötigen oft logarithmisch geteilte Koordinatenachsen. Bei der Umformung der Kurven in den Bildern 2.2 und 2.4 zu Geraden in den Bildern 2.3 und 2.5 war noch normales mm-Papier ausreichend, weil es sich um einfache quadratische Funktionen handelte. Im ersten Beispiel konnte die quadratische Abhängigkeit zwischen den Werten x und y aus Tabelle 2.1 erahnt werden, im zweiten Falle war bekannt, daß der Zeiger-Ausschlagwinkel dem Quadrat des Stromes, der durch das Meßwerk fließt, proportional ist. Oft ist das nicht so klar, wie die Beispiele in den folgenden Kapiteln zeigen werden, so daß dem Thema der Logarithmen-Skalen zur Vorbereitung auf später zu behandelnde Fälle ein eigenes Kapitel gewidmet werden soll.
Karl-Heinz Hauck

4. Parabeln und Hyperbeln — Die einfachsten Funktionsabbildungen

Zusammenfassung
Bei der Diskussion der Geraden in den Bildern 2.3 und 2.5 war schon darauf hingewiesen, daß es sich bei den Gleichungen y = x2 und \(y = \sqrt x \) um Parabel-Funktionen handelt. Die Bilder 2.2 und 2.4 ließen diese Kurvenform auch erkennen. Durch Änderung der Achsenbeschriftungen (von y in y2 in Bild 2.3 und von α in \(\sqrt \alpha \) in Bild 2.5) und Eintragung der entsprechenden Rechenwerte waren Geraden entstanden. Diese gehorchen dann im Idealfall der allgemeinen Geradengleichung 1.1: y = m · x + n. „Idealfall“bedeutet: m = 1 und n = 0, was bei den zitierten Geraden aber nicht zutraf.
Karl-Heinz Hauck

5. Standard-Kurvenformen — Übersicht und Analyse

Zusammenfassung
Die bisher gebrachten Beispiele für die Umformung von Kurven in Geraden haben schon erkennen lassen, wie zweckmäßig und arbeitserleichternd dieses „Geradebiegen“ von Kurven sein kann. Noch deutlicher wird der Vorteil dieses Verfahrens, wenn man nicht wie bisher von bekannten Gleichungen oder Zusammenhängen ausgeht, sondern wenn umgekehrt für eine — zum Beispiel durch Messungen gefundene — Kurve die gültige Funktion ermittelt werden soll. Es handelt sich zwar bei den in diesem Kapitel gebrachten Beispielen immer noch um „ideale“ Kurven, deren Meßpunkte sich sehr sauber verbinden lassen. Es geht ja aber hier zunächst darum, die Prinzipien zu entwickeln und zu beschreiben, mit denen Kurven mathematisch analysiert und ihre Gleichungen gefunden werden können.
Karl-Heinz Hauck

6. Umgang mit Exponentialkurven (e-Funktionen)

Zusammenfassung
In vielen Bereichen der Technik spielen sogenannte Ausgleichsvorgänge eine Rolle — Vorgänge, bei denen es eine gewisse Zeit dauert, bis sich zwei Partner aufeinander eingestellt haben. Dafür einige Beispiele, die nicht unbedingt etwas mit Elektronik zu tun haben müssen:
a)
Wird zum Beispiel ein Ofen aufgeheizt oder zur Abkühlung abgeschaltet, so braucht er seine, von Konstruktion, Isolierung und umgebender Luft abhängige Zeit, um warm oder kalt zu werden.
 
b)
Wird ein kaltes Thermometer in eine heiße Flüssigkeit getaucht, so klettert der Quecksilberfaden erst schnell, dann immer langsamer werdend auf den Endstand, der mit der Temperatur der Flüssigkeit übereinstimmt.
 
c)
Oder wird eine Vakuumapparatur mit einer Pumpe „luftleer“gesaugt, so braucht auch das seine Zeit, abhängig von dem Volumen der Apparatur, der Saugleistung der Pumpe und den Undichtigkeiten der Leitungen usw.
 
d)
Für den Elektroniker geläufig ist die Aufladung eines Kondensators über einen Widerstand aus einer Quelle konstanter Spannung oder umgekehrt seine Entladung über einen Widerstand — es dauert eine berechenbare Zeit, bis er „voll“oder „leer“ist.
 
Karl-Heinz Hauck

7. Erweiterung der Grundfunktionen durch Faktoren

Zusammenfassung
Im 5. Kapitel wurden vorwiegend einfache Funktionen behandelt, deren Kurvendarstellungen durch Verwendung logarithmisch geteilter Koordinatennetze zu Geraden umgeformt werden können. So einfache Abhängigkeiten der Variablen x und y voneinander werden aber in der Praxis kaum oder gar nicht vorkommen, so daß es notwendig ist, den Einfluß von Faktoren auf die Grundgleichungen zu untersuchen und zu beschreiben, d. h. wie dennoch aus den umgezeichneten Geraden die entsprechenden Kurvengleichungen ermittelt werden können. Im 5. Kapitel handelte es sich um „Idealkurven“mit unwesentlichen Streuungen, und auch in diesem Kapitel werden solche Idealkurven behandelt, weil das Prinzip der Auswertung so klarer dargestellt werden kann. Die benutzten — meist geradzahligen — Faktoren sind nur als Beispiele anzusehen, denn in der Praxis kommen eher „krumme“Zahlen vor. Aber prinzipiell ändert sich dadurch nichts am analytischen Umgang mit den Kurven oder Geraden.
Karl-Heinz Hauck

8. Funktionen, die Sondereinteilungen der Koordinatenachsen erfordern

Zusammenfassung
Dem Kurventyp B (y = mx) kann unter bestimmten Bedingungen — insbesondere im Bereich kleiner Werte — auch die graphische Darstellung einer ganz anders gearteten Funktion so ähnlich sein, daß es zunächst nicht auszumachen ist, ob wirklich dieser Kurventyp B oder ob die jetzt zu besprechende Kurvenart vorliegt.
Karl-Heinz Hauck

9. Parameterdarstellungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden nicht nur Verfahren beschrieben, mit denen die Auswertung von Meßergebnissen ermöglicht wird, sondern es werden auch graphische Darstellungen herangezogen, mit denen Formelrechnungen erleichtert bzw. kontrolliert werden können.
Karl-Heinz Hauck

10. Änderungen am Koordinatensystem

Zusammenfassung
Die wichtige Aufgabe graphischer Darstellungen, aufwendige Rechnungen durch einfache Ablesungen zu ersetzen, wird gelegentlich nicht erfüllt, wenn man die Fachliteratur betrachtet. Man findet also manchmal ausgesprochen „ungünstige“Darstellungen der Abhängigkeit zweier Größen voneinander, die nach Ablesung eines Wertes weitere Berechnungen erfordern, um die gesuchte Größe zu ermitteln. In Fällen, wo man wiederholt auf ein Diagramm zurückgreifen muß, lohnt sich mitunter eine Umzeichnung, die dem Eigenbedarf entspricht und Rechenarbeit nach der Ablesung erspart.
Karl-Heinz Hauck

11. Diagramm-Kombinationen

Zusammenfassung
Parameterdarstellungen gestatten, wie im Kapitel 9 gezeigt wurde, die Erfassung mehrerer Variabler in einem Diagramm. Wenn nun darüberhinaus auch noch mehrere oder umständlich zu berechnende Formeln in einer graphischen Darstellung vereint werden sollen, auf die häufig zurückgegriffen wird, dann kann man sich durch Diagramm-Kombinationen helfen, wie an den folgenden Beispielen demonstriert werden soll.
Karl-Heinz Hauck

12. Computer-Berechnungen

Zusammenfassung
Im Text der vorhergehenden Kapitel wurde schon mehrfach auf die Ergebnisse hingewiesen, die nach Eingabe der x- und y-Werte in einen Computer auf dem Bildschirm angezeigt oder von einem Drucker (oder auch Plotter) ausgegeben werden. Dabei ist auch oft auf die Bedeutung des Korrelationskoeffizienten K aufmerksam gemacht worden, der möglichst nahe bei + 1 oder - 1 liegen sollte, womit die Qualität der Meßergebnisse in Zusammenhang gebracht werden kann.
Karl-Heinz Hauck

13. Literaturverzeichnis

Ohne Zusammenfassung
Karl-Heinz Hauck

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