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Über dieses Buch

In diesem Buch soll gezeigt werden, was Funktionen in der Mathematik und in Anwendungssituationen leisten können bzw. sollen. Funktionen haben bekanntlich viele Gesichter, und das Thema ist im schulischen Mathematikunterricht und auch in den Lehramtsstudiengängen prominent vertreten. Da ist es natürlich besonders wichtig, dass Studierende einen angemessenen Zugang zu diesem Thema bekommen, sodass sie einen solchen auch an ihre zukünftigen Schüler/innen weitergeben können.

Im Buch werden viele praktische und fachwissenschaftliche Aspekte angesprochen und miteinander vernetzt (z. B. zur Geometrie und zur Stochastik), die u. E. zu einem tragfähigen Gesamtbild von „Elementaren Funktionen“ führen, wobei sich an manchen Stellen auch fachdidaktische Betrachtungen finden. Dabei sollen weder Realitätsbezüge noch innermathematische Zusammenhänge und Begründungen zu kurz kommen. Dem nicht ganz leichten Ziel, Verständlichkeit und mathematische Exaktheit miteinander zu verbinden, wollen wir mit diesem Buch ein Stück näher kommen. Zahlreiche Aufgaben (teilweise mit Lösungshinweisen) runden jedes Kapitel ab und sollen Leser/innen zum Üben, Verstehen und Weiterdenken anregen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Was sind und was sollen Funktionen?

Dieses einleitende Kapitel soll u. a. dazu dienen, unsere Arbeitsweise zu exemplifizieren: Zunächst werden einige Situationen skizziert, in denen Funktionen sinnvoll und nützlich verwendet werden können, und zwar sowohl in alltäglichen als auch in mathematischen Kontexten. Dabei zeigt sich, dass Funktionen viele verschiedene Gestalten haben. Im zweiten Abschnitt werden diese Formen nach bewährtem Muster klassifiziert. Um eine sprachliche Basis für die Beschreibung und Analyse von Phänomenen zu schaffen, werden im dritten Abschnitt die wichtigsten Grundbegriffe zusammengestellt. Es folgen weitere Beispiele aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, und abschließend diskutieren wir Aspekte des Funktionsbegriffs, die helfen sollen, die Arbeitsweise mit Funktionen zu strukturieren
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

2. Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind besonders wichtige und elementare Funktionen, sie kommen schon sehr früh vor in Form proportionaler Funktionen (direkte Proportionalitäten, Dreisatz, selbst schon in der Grundschule), auch wenn sie nicht gleich von Beginn an so genannt werden. Es ist aber besonders wichtig für Lernende und künftige Lehrkräfte zu erkennen, dass dahinter seit der Grundschulzeit dasselbe mathematische Konzept steckt. Zahlreiche Beispiele sollen dies gut nachvollziehbar illustrieren. Dabei stehen zunächst die Phänomene im Vordergrund, aber im Anschluss sollen auch Begründungen und theoretische Aspekte eine wichtige Rolle spielen (z. B. auch der Aspekt der zugehörigen Funktionalgleichung). In diesem Abschnitt geht es um die Konstanz der (mittleren) Änderungsrate und grundlegende Wachstumseigenschaften, um allgemeine Darstellungen und Eigenschaften linearer Funktionen, um lineare Gleichungen in zwei Variablen, arithmetische Folgen und Reihen, stückweise lineare Funktionen und um lineare Regression.
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

3. Exponentialfunktionen

Neben den linearen Funktionen erweisen sich auch die Exponentialfunktionen als besonders wichtige mathematische Modelle für viele Prozesse in verschiedensten Anwendungsbereichen. So gehören „lineares Wachstum“ und „exponentielles Wachstum“ zu den wichtigsten Wachstumsarten in der Mathematik. In diesem Kapitel geht es zunächst um typische Beispiele exponentiellen Wachstums (Zinsen und Zinseszinsen, radioaktiver Zerfall), dann um die allgemeine Beschreibung von Exponentialfunktionen und ihrer elementaren Eigenschaften, um eine Gegenüberstellung zwischen linearem und exponentiellem Wachstum (einschließlich Verdopplungszeiten), um exponentielle Zerfallsprozesse (einschließlich Halbierungszeiten), geometrische Folgen und Reihen, und schließlich um die Euler’sche Zahl \(\mathrm{e}\) als Basis der „natürlichen Exponentialfunktion“ und den Zusammenhang von Exponentialfunktionen mit Tonleitern. Bei der Zahl \(\mathrm{e}\) kann nur ein Weg aufgezeigt werden, wie man in unserem Kontext auf diese Zahl kommt. Warum diese in irgendeiner Weise „natürlich“ ist, kann hier nicht erläutert werden, weil dazu Analysis nötig ist, die hier nicht im Zentrum stehen soll.
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

4. Logarithmen

Die Zeit der Logarithmen als Rechenhilfsmittel ist im Computerzeitalter (fast) vorbei, aber sie sind immer noch unverzichtbar zum Verständnis gewisser funktionaler Zusammenhänge; außerdem benötigt man sie zum Auflösen von Exponentialgleichungen. Logarithmen zur Basis 10 spielen hier die Hauptrolle; wir benutzen sie u. a., um die Anzahl der Dezimalstellen großer Zahlen zu bestimmen. Rechenschieber und logarithmisches Rechnen sind heutzutage überholt, gleichwohl sei ein kleiner historischer Ausflug zu diesen reizvollen Themen gestattet. Auch Logarithmen zu anderen Basen statt 10 werden behandelt; so wird mithilfe des natürlichen Logarithmus (Basis \(\mathrm{e}\)) die \(p\cdot D\)-Regel des exponentiellen Wachstums bewiesen (vgl. Abschn. 3.​6).
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

5. Verketten und Umkehren von Funktionen

Dieses Kapitel stellt Werkzeuge zum Umgang mit Funktionen bereit. Wir beginnen mit einer Reihe von Beispielen aus Schule und Alltag, die illustrieren sollen, warum man sich mit dem Verketten und Umkehren von Funktionen befasst. Im zweiten Abschnitt wird die dazu notwendige Theorie geboten und mithilfe der bereits bekannten Funktionstypen erläutert. Eine zentrale Frage ist dabei: Wie verhalten sich eine Funktion und ihre Umkehrfunktion in den verschiedenen Darstellungen (Term, Tabelle, Graph) zueinander? Als Abschluss diskutieren wir ausführlich das Problem der Füllhöhen-Kurven: Wie hoch steht das Wasser in einem Gefäß, wenn man eine gewisse Menge hineinschüttet? Es ist ein typisches Beispiel für Probleme der folgenden Art: Gesucht ist eine gewisse Funktion, die schwierig zu finden ist; die Umkehrfunktion ist jedoch wesentlich einfacher aufzustellen.
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

6. Transformationen und Symmetrien von Funktionen

Wenn man einen Funktionsgraphen geometrisch transformiert (verschiebt, spiegelt, streckt), wie ändert sich der Funktionsterm? Wie äußert sich die Symmetrie eines Funktionsgraphen im Term? Umgekehrt: Wie kann man algebraische Operationen am Funktionsterm geometrisch interpretieren? Wie erkennt man algebraisch die Symmetrie einer Funktion? Funktionsgraphen sind naturgemäß geometrische Objekte, somit kann man geometrische Abbildungen darauf anwenden. Das ist in zahlreichen Situationen sehr nützlich; allerdings ist nicht immer leicht zu erkennen, wie sich das im Term auswirkt. Ebenso ist die Symmetrie eine fundamentale geometrische Eigenschaft, die auch im Term zu erkennen ist; die Frage ist nur, wie. Hier geht es also vorrangig um die Wechselwirkungen zwischen den Funktionsdarstellungen Graph und Term. Ähnlich wie in Kap. 5 kann man dieses Thema als Werkzeug beim Umgang mit Funktionen auffassen.
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

7. Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen sind meist die ersten nichtlinearen Funktionen, die Schüler mittels Funktionstermen kennenlernen. Dementsprechend wichtig sind sie auch im Schulunterricht und in der Lehrerausbildung. Ihre Graphen (Parabeln) treten bei sehr vielen Phänomenen auf (z. B. „Wurfparabel“), die in diesem Kapitel genauer analysiert werden. Am Anfang des Kapitels geht es zunächst um die Normalparabel und die Standard- bzw. Scheitelform quadratischer Funktionen, die Symmetrieachse bei Graphen quadratischer Funktionen, um Wachstum, Krümmung und zugehörige Umkehrfunktionen. Natürlich spielt auch das Thema „quadratische Gleichungen“ eine zentrale Rolle (algebraische und geometrische Lösungen), denn diese sind ja für Lernende die ersten Gleichungen, die mehr als eine Lösung haben können. In weiteren Abschnitten werden auch die Themen quadratische Interpolation und Extremwertaufgaben behandelt, letzteres natürlich ohne Differentialrechnung und eben eingeschränkt auf quadratische Funktionen.
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

8. Potenzfunktionen

Wie verhält sich der Inhalt einer Fläche, wenn man ihre Längenmaße verdoppelt (verdreifacht, halbiert, …)? Wie verhält sich entsprechend das Volumen eines Körpers? Das sind fundamentale Fragen, und die damit verbundenen Phänomene sind tiefgreifend und teilweise überraschend, wie wir anhand zahlreicher Beispiele im ersten Abschnitt erläutern. Der zweite Abschnitt ist eher theoretisch orientiert: Wir klassifizieren die Potenzfunktionen und fassen ihre wesentlichen Eigenschaften zusammen. Der dritte Abschnitt ist einerseits weiteren mathematischen Themen gewidmet (eine geschickte grafische Darstellung, Interpolation, Vergleich mit exponentiellem Wachstum), zum andern werden berühmte physikalische Beispiele diskutiert (Fadenpendel, Bahnradius und Umlaufzeit von Planeten).
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

9. Polynome und rationale Funktionen

Wie entnimmt man dem Term eines Polynoms oder einer rationalen Funktion Informationen über seine/ihre qualitativen Eigenschaften wie z. B. das asymptotische Verhalten oder die Anzahl bzw. Lage der Nullstellen, Polstellen, Extremstellen? Ehe man das Thema mithilfe der Analysis vertieft, ist eine elementare Behandlung sinnvoll, etwa um die Vor- und Nachteile verschiedener Formen des Funktionsterms kennenzulernen (ähnlich wie bei den quadratischen Funktionen). Auch hier gibt es zahlreiche Möglichkeiten, mit einem Funktionenplotter zu experimentieren: Wie ändert sich ein Funktionsgraph, wenn man im Term einen Parameter variiert? Weiterhin werden ganzzahlige Polynomfolgen untersucht (z. B. Quadratzahlen, Kubikzahlen, allgemein \(p\)-te Potenzen), wobei Differenzenfolgen eine prominente Rolle spielen; daraus wird eine Methode entwickelt, um zu einer Polynomfolge einen Term für die Summenfolge zu bestimmen (d. h. für die Summen der ersten \(n\) Folgenglieder).
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

10. Trigonometrische Funktionen

Periodische Vorgänge sind zahlreich in der uns umgebenden Welt (Realität), z. B. Blutdruck im Herzen, Wechselstrom, Jahreszeiten, Mondphasen, etc. Mit den bisher betrachteten Funktionenklassen (linear, exponentiell, logarithmisch, quadratisch, polynomial, gebrochen rational) kann man solche Vorgänge nicht gut modellieren, mit den trigonometrischen Funktionen ist dies aber möglich. Wir werden uns im Folgenden auf die Funktionen sin, cos und tan beschränken. In einem Einführungsabschnitt geht es zunächst um das Bogenmaß von Winkeln bzw. um die Bogenlänge, um Definitionen und elementare Eigenschaften der schon genannten Funktionen. Dann folgen Betrachtungen zu Umkehrfunktionen dieser Funktionen, naturgemäß immer nur auf passenden Abschnitten. Die in Kap. 6 behandelten Transformationen von Funktionsgraphen finden hier umfangreiche Anwendungen. Natürlich werden auch viele weitere bekannte Formeln und Anwendungsbeispiele trigonometrischer Funktionen behandelt.
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

11. Funktionen in der Stochastik

Die Stochastik (Sammelbezeichnung für beschreibende Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und beurteilende Statistik) hat in den letzten Jahrzehnten einen deutlichen Aufschwung im Schulunterricht erlebt. Auch in der Lehrerausbildung spielt sie eine zunehmend große Rolle. Das war für uns einer der wesentlichen Gründe, in einem Buch über elementare Funktionen ein Kapitel der Stochastik zu widmen. Jeder von uns ist oft konfrontiert mit vielen Statistiken, die es zu interpretieren gilt, und da muss man wachsam und kritisch sein, wenn man nicht den „Fallstricken der beschreibenden Statistik“ anheimfallen will. Deswegen haben wir einen entsprechenden Abschnitt in dieses Kapitel integriert. Zu Beginn wird der funktionale Charakter (eindeutige Zuordnung) von Häufigkeiten betont (einschließlich der zugehörigen Darstellungsmöglichkeiten), und in weiterer Folge werden Betrachtungen angestellt, welche Vorteile es mit sich bringt, wenn man in so manchen Bereichen der Stochastik die funktionale Brille aufzusetzen imstande ist (Wahrscheinlichkeiten, Zufallsvariablen, Erwartungswerte, Varianzen etc.).
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

12. Funktionen in mehreren Variablen

Das Thema Funktionen in mehreren Variablen ist nicht Kernstoff im Schulunterricht. Auch in der Ausbildung für Lehrkräfte der Sekundarstufe 1 wird es keine zentrale Rolle spielen. Trotzdem haben wir uns entschieden, es hier zu thematisieren. Erstens kann man wesentliche Aspekte von Funktionen (eindeutige Zuordnungen, Kovariation etc.) auch bei mehreren Variablen leicht sehen und verstehen, und zweitens lassen sich mittels Technologie zugehörige Graphen leicht auf Knopfdruck erzeugen, sodass auch gute und für das Verständnis hilfreiche Veranschaulichungsmittel zur Verfügung stehen. Im ersten Abschnitt geht es um die Parameterdarstellung von Kurven in der Ebenen und im Raum, also um Funktionen \({\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}}^{2}\) bzw. \({\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}}^{3}\). Im zweiten Abschnitt werden Funktionen \({\mathbb{R}}^{2}\rightarrow{\mathbb{R}}\) thematisiert, wobei die Grundrechenarten und die verschiedenen Mittelwerte zweier nichtnegativer reeller Zahlen eine besondere Rolle spielen. Mittels Computer-Algebra-Systemen kann man zugehörige 3D-Graphen erzeugen und von verschiedenen Blickwinkeln betrachten, was die Anschaulichkeit dieses Themas beträchtlich erhöht. Als letzter Abschnitt werden – sozusagen als Pendant zu den linearen Funktionen in einer Variablen bzw. linearen Gleichungen in zwei Variablen – lineare Funktionen in zwei Variablen bzw. lineare Gleichungen in drei Variablen behandelt.
Hans Humenberger, Berthold Schuppar

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