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Über dieses Buch

Sie möchten eventuell Mathematik studieren, wissen aber noch nicht, was wirklich auf Sie zukommt?

Im ersten Studienjahr des Mathematikstudiums stellt das hohe Maß an Rigorosität und Abstraktion oft eine große Hürde dar - trotz der deutlichen inhaltlichen Überlappungen mit der Schulmathematik. Häufig liegt das an einer Schwerpunktverschiebung weg vom “Rechnen” hin zum Verstehen und Entwickeln von Mathematik. Dieses Buch führt Leser*innen in die wissenschaftlich-mathematische Denkweise an Universitäten ein, ohne dabei die Schulmathematik zu wiederholen. Informatikstudent*innen erhalten darüber hinaus eine Basis für das Verständnis der Konzepte des eigenen Faches und einen algorithmischen Zugang zu der oft nur als Werkzeug verstandenen Mathematik. Der Text ist insbesondere zum Selbststudium gedacht, mit vielen Programmierbeispielen in Python und zahlreichen Übungsaufgaben inkl. allen zugehörigen Lösungen und Programmcodes.

Das Buch gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil wird in die Grundlagen des logischen Arbeitens eingeführt: Mathematik hat mit Logik zu tun, aber wie genau und was ist Logik? Was ist die Basis für mathematisches Denken, wann sind mathematische Gedankengänge präzise und wie drückt man sie aus und schreibt sie auf? Im zweiten Teil geht es um die Frage, was Zahlen eigentlich sind und woher sie kommen. Von den natürlichen über die ganzen und rationalen Zahlen führt der Weg zu den reellen Zahlen, die sich meist als Dezimalzahl nicht mehr exakt hinschreiben, sondern nur noch beliebig genau approximieren lassen. Solche Rechenverfahren lässt man besser Computer ausführen, daher wird parallel zur Mathematik auch in das Programmieren mit Python eingeführt.
Alle entwickelten Algorithmen, angefangen von der Definition einer Addition durch einfaches Hochzählen bis hin zur beliebig genauen Approximation der Kreiszahl π, werden damit realisiert. Der Leser erhält so neben einer soliden Einführung in die Grundlagen der Mathematik auch das notwendige Handwerkszeug für programmiertechnische Anwendungen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einführung in das mathematische und logische Denken

Frontmatter

Kapitel 1. Logisches Schließen und Mengen

Zusammenfassung
Jedes (wissenschaftliche) Argumentieren beruht auf Logik, die hier in Form von Aussagen und Prädikatenlogik vorgestellt wird. Eng damit verknüpft ist die Mengenlehre als universelle Sprache der Mathematik. Auf dem Mengenbegriff baut der Relations- und darauf der Abbildungsbegriff auf.
Peter Knabner, Balthasar Reuter, Raphael Schulz

Kapitel 2. Der Anfang von allem: Die natürlichen Zahlen

Zusammenfassung
Die natürlichen Zahlen, gegeben durch die Peano'schen Axiome, sind die Grundlage jeder Mathematik. Die vertrauten Rechen- und Vergleichsoperationen müssen in diesem Rahmen definiert und alle wohl bekannten Eigenschaften hergeleitet werden. Damit ist auch die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Mengen möglich, und verschiedene Arten unendlicher Mengen können differenziert werden.
Peter Knabner, Balthasar Reuter, Raphael Schulz

Kapitel 3. Mathematik formulieren, begründen und aufschreiben

Zusammenfassung
Die Art und Weise wie Mathematik aufgeschrieben und gedacht wird, wird reflektiert und dies bei einer Vertiefung des Wissens über natürliche Zahlen angewendet.
Peter Knabner, Balthasar Reuter, Raphael Schulz

Mathematik = Abstraktion + Approximation: Eine Reise durch die Welt der Zahlen

Frontmatter

Kapitel 4. Von den natürlichen zu den rationalen Zahlen

Zusammenfassung
Um auch allgemein Differenzen bilden zu können, wird die Menge der natürlichen Zahlen mithilfe einer geeigneten Äquivalenzrelation zu den ganzen Zahlen (und schließlich zu den rationalen Zahlen) erweitert. Diese Konstruktionen können mit den bisher entwickelten Begriffen exakt durchgeführt werden. Allerdings treten schon bei den rationalen Zahlen Grenzprozesse auf, wenn Zahlen in einer Darstellung nicht mehr mit endlich vielen Ziffern exakt wiedergegeben werden können.
Peter Knabner, Balthasar Reuter, Raphael Schulz

Kapitel 5. Der vollständige Körper der reellen Zahlen

Zusammenfassung
Mit den reellen Zahlen werden die Lücken in den rationalen Zahlen geschlossen, die etwa den Lösungen polynomialer Gleichungen entsprechen. Dieser anspruchsvolle Rekonstruktionsprozess führt zu einer überabzählbaren Zahlenmenge, die sich aus algebraischen und transzendenten Zahlen zusammensetzt. Der Approximationsprozess mittels rationaler Zahlen ist ein allgemeines Berechnungsprinzip, das allgemein und konkret (für die Zahlen ϕ, π und e) erläutert wird.
Peter Knabner, Balthasar Reuter, Raphael Schulz

Kapitel 6. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung
Die reellen Zahlen haben noch einen Mangel: Nicht jedes nichtkonstante Polynom mit reellen Koeffzienten hat eine Nullstelle. Erweitert man aber diese Zahlen durch Einführung imaginärer Zahlen zu dem sogenannten Körper der komplexen Zahlen, ist die Existenz von Nullstellen stets gewährleistet. In diesem Abschnitt wollen wir diesen Erweiterungskörper entwickeln und anhand konkreter Beispiele erläutern, dass sich mit komplexen Zahlen oft einfacher rechnen lässt (auch wenn man an reellen Lösungen interessiert ist).
Peter Knabner, Balthasar Reuter, Raphael Schulz

Kapitel 7. Maschinenzahlen

Zusammenfassung
Computer können nicht die gesamten reellen Zahlen, sondern nur eine endliche Teilmenge der rationalen Zahlen, die Maschinenzahlen, verarbeiten. Dies führt zu Abweichungen von den allgemeinen Gesetzmäßigkeiten, die sich bemerkbar machen und auch verheerend sein können.
Peter Knabner, Balthasar Reuter, Raphael Schulz

Anhänge

Frontmatter

8. Anhang A: Einführung in die Python-Programmiersprache

Zusammenfassung
Seit der Entwicklung programmierbarer Computer entstand eine inzwischen nicht mehr zu überblickende Vielzahl an unterschiedlichsten Programmiersprachen. Jede dieser Sprachen hat individuelle Vor- oder Nachteile, und viele sind auf bestimmte Anwendungsbereiche hin ausgerichtet, während andere universell einsetzbar sind. Anfang der 1990er-Jahre gesellte sich Python zu dieser immer weiter wachsenden Familie, hat sich seitdem zu einer der beliebtesten Sprachen entwickelt und wird u. a. eingesetzt inWebanwendungen, Computerspielen, zur Datenanalyse oder auch dem wissenschaftlichen Rechnen. Python wird als universelle, interpretierte Programmiersprache kategorisiert und ist seit 2008 in Version 3 für alle gängigen Betriebssysteme frei verfügbar.
Peter Knabner, Balthasar Reuter, Raphael Schulz

9. Anhang B: Ausgewählte Lösungen

Zusammenfassung
Im Folgenden werden für einige ausgewählte Aufgaben Musterlösungen dargestellt. Weitere Lösungen finden sich im Online-Material.
Peter Knabner, Balthasar Reuter, Raphael Schulz

Backmatter

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