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2024 | Buch

Modellbildung und Simulation

Eine anwendungsorientierte Einführung mit praktischen Beispielen in MATLAB und Julia

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Über dieses Buch

In diesem Lehrbuch werden die für Ingenieurinnen und Ingenieure relevanten mathematischen Problemklassen eingeführt und dazu vorhandene Standardalgorithmen vorgestellt. Anhand vielfältiger konkreter Beispiele werden Prinzipien der Modellbildung praktisch angewendet, Implementierungen demonstriert und Simulationsergebnisse dargestellt. Dafür werden sowohl der Industriestandard MATLAB wie auch die recht junge und schnell wachsende Programmiersprache Julia verwendet. Mit Hilfe beider Implementierungen kann der oder die Leser:in sehr einfach die Gemeinsamkeiten und Unterschiede erkennen und ist für einen Umstieg vom kommerziellen Produkt MATLAB auf die freie Sprache Julia oder umgekehrt gut vorbereitet.

Zur Vertiefung sowohl des theoretischen Verständnisses wie auch der praktischen Umsetzungen befinden sich am Ende jedes Kapitels entsprechende Übungsaufgaben. Direkte Verbindungen zu weiteren, interaktiven Online-Inhalten werden an geeigneter Stelle über QR-Codes hergestellt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Wir starten mit dem Begriff der Simulation, der bereits seit Anfang der achziger Jahre in den Blättern zur VDI-Richtlinie 3633 definiert wurde. Simulation wird dort als „das Nachbilden eines Systems mit seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierfähigen Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind“ beschrieben.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 2. Gleitkommaarithmetik
Zusammenfassung
Bevor die numerischen Methoden und Algorithmen behandelt werden, die man zur computergestützten Lösung von ingenieurwissenschaftlichen Fragestellungen braucht, schauen wir uns an, wie Computer Rechenoperationen ausführen und welche Fehler sie dabei machen. In diesem Kapitel geht es daher zunächst um die Gleitkommaarithmetik, welche die Darstellung von Dezimalzahlen in Computern bereitstellt. Sie ermöglicht einen breiten Zahlenbereich, ist aber anfällig für Rundungsfehler. Bei reellen Zahlen können sich Fehler aufgrund der begrenzten Genauigkeit addieren und zu signifikanten Ungenauigkeiten in Berechnungen führen. Die Herausforderung liegt daher darin, ein Gleichgewicht zwischen Effizienz und Präzision zu finden. Hierzu werden neben den Maschinenzahlen zunächst Problemklassen und Größen eingeführt, welche zur Fehleranalyse genutzt werden können. Abschließend wird auf die Fehlerfortpflanzung eingegangen.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 3. Interpolation und Approximation
Zusammenfassung
Nicht immer können Messdaten zweifelsfrei auf physikalische Gesetzmäßigkeiten zurückgeführt werden, die den funktionalen Zusammenhang von Größen festlegen. Doch selbst wenn dies klar ist, sind Messungen in technischen Systemen oftmals verrauscht, d. h. dass die Koeffizienten von Funktionen nicht eindeutig sind. Interpolation und Approximation sind Methoden der Mathematik, die dazu dienen, in solchen Fällen die Analyse und Interpretation von Daten zu erleichtern. Die Interpolation bezieht sich dabei auf die genaue und realistische Schätzung von Werten innerhalb des gegebenen Datenintervalls. Dies wird oft in Situationen angewendet, in denen einzelne Datenpunkte feststehen und man einen Verlauf zwischen ihnen festlegen muss. Auf der anderen Seite bezieht sich die Approximation darauf, eine vereinfachte Annäherung an einen Datensatz zu finden, der auf einem selbst bestimmbaren funktionalen Zusammenhang beruht, ohne den Anspruch, dass jeder Datenpunkt exakt getroffen wird. In diesem Kapitel werden die jeweils wichtigsten und praxisrelevanten Verfahren beider Methoden vorgestellt.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 4. Differentiation und Integration
Zusammenfassung
Zur Lösung von Anwendungsproblemen werden sehr oft Ableitungen oder Integrale von Funktionen benötigt, die einen technischen Vorgang beschreiben. Numerische Differentiation und Integration sind zentrale Konzepte in der numerischen Mathematik, die es ermöglichen, Ableitungen oder Integrale zu approximieren. Bei der numerischen Differentiation geschieht dies durch die Verwendung von Differenzenquotienten. Die numerische Integration hingegen zielt darauf ab, die Fläche unter der Funktion numerisch zu approximieren. Diese Techniken sind besonders wichtig in Fällen, in denen analytische Lösungen schwer zu finden oder die Funktion nur durch diskrete Datenpunkte repräsentiert ist. Bei ihrer Anwendung ist jedoch darauf zu achten, dass die Genauigkeit der Ergebnisse von Faktoren wie der Wahl der Methode oder der Schrittweite beeinflusst wird. Wir leiten in diesem Kapitel daher die wichtigsten Algorithmen aus mathematischen Überlegungen heraus ab und gehen dabei insbesondere darauf ein, welche Abweichungen im Vergleich zur exakten Lösungen dabei entstehen können.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 5. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Wenn ein technisches System eine Vielzahl von Variablen besitzt, die gleichzeitig betrachtet und optimiert werden müssen, kommen häufig lineare Gleichungssysteme (LGS) zum Tragen. Sie werden z. B. verwendet, um Netzwerke mit verschiedenen elektrischen Komponenten zu analysieren oder um Lasten und Verformungen von Körpern wie Brücken oder Gebäuden zu berechnen. In diesem Kapitel führen wir wichtige algorithmische Verfahren wie Gauß-Elimination, LU-Zerlegung oder iterative Verfahren ein, mit denen man ein LGS numerisch lösen kann. Wenn viele Variablen vorkommen, spielen weitergehende Aspekte eine Rolle. Die Wahl einer geeigneten Methode hängt dann stark von der Struktur des Gleichungssystems, der Größe der Matrix und den Genauigkeitsanforderungen ab. Dies wird ebenso diskutiert wie der Einfluss von Rundungsfehlern.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 6. Nichtlineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Viele physikalischen Zusammenhänge sind von nicht-linearem Charakter. Wenn unter solchen Umständen komplexe technische Systeme eine Mehrzahl von Variablen besitzen, müssen sie als nicht-lineare Gleichungssysteme aufgefasst und gelöst werden. Dies tritt beispielsweise auf bei der Berechnung von Verformungen und Spannungen in nicht-linearen Materialien oder bei der regelungstechnischen Modellierung dynamischer Systeme, wenn nichtlineare Übertragungsfunktionen auftreten. Wir stellen daher in diesem Kapitel Methoden und Algorithmen vor, mit denen man nicht-lineare Problemstellungen lösen kann. Es wird dabein zunächst der ein- und danach der mehrdimensionale Fall betrachtet. Ebenso werden Überlegungen zum Rechenaufwand und zu Konvergenzordnungen vorgenommen.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 7. Gewöhnliche Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Verfahren zur numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs) gehören zu den fundamentalsten und wichtigsten Methoden der computergestützten Ingenieurwissenschaften. ODEs modellieren oftmals die zeitliche Entwicklung von technischen Systemen und kommen daher in fast allen Anwendungsfeldern vor. Da viele ODEs keine geschlossenen analytischen Lösungen haben, sind numerische Verfahren gerade hier unverzichtbar. Für die in diesem Kapitel behandelten Anfangswertprobleme, stellen wir unterschiedliche Algorithmen vor und teilen diese in verschiedene Klassen ein, da die Anwendbarkeit (Stabilität, Konvergenz und Konsistenz) stark von der Natur des jeweiligen Problems abhängt. Der Problemraum wird dann auf differential-algebraische Gleichungen erweitert, wie sie beispielsweise in Mehrkörpersystemen aufgrund von mechanischen Zwangsbedingungen vorkommen. Das Kapitel wird durch zahlreiche Beispiele abgerundet, die teils ausführlich den Modellbildungsprozess beinhalten.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 8. Eigenwertprobleme
Zusammenfassung
Eigenwertprobleme treten in technischen Zusammenhängen stets bei schwingungsfähigen Systemen auf. Es gibt daher viele bedeutsame Beispiele aus der Mechanik (Brücken und andere Bauwerke, Rotordynamik, Akustik) wie aus der Elektrotechnik (Elektrische Schaltungen, Regelkreise, Wellenfunktionen). Wir beginnen dieses Kapitel daher mit einer kurzen Einführung zum Thema Schwingungen. Nach Vorstellung des analytisch lösbaren Beispiels eines Masse-Feder-Dämpfer-Systems wird das QR-Verfahren als eine der zentralen numerischen Lösungsmethoden von Eigenwertproblemen vorgestellt.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 9. Diskrete Fourier-Transformation
Zusammenfassung
Viele Ingenieursaufgaben handeln von der Verarbeitung von Übertragungssignalen oder von der Analyse von Schwingungen um beispielsweise Geräusche oder Resonanzkatastrophen zu vermeiden. Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) spielt hier eine zentrale Rolle aufgrund ihrer Fähigkeit, komplexe Signale in ihre Frequenzanteile zu zerlegen. Sie ermöglicht also die Umwandlung von diskreten, zeitlich begrenzten Schwingungen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich sowie die trigonometrische Interpolation. Dies werden wir in diesem Kapitel einführen auf Basis einer kurzen, vorangestellten Diskussion der zugrundeliegenden Fourier-Reihen. Abschließend wird auch auf die Filterung von Frequenzen mit Hilfe der DFT eingegangen.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 10. Randwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir eine weitere wichtige Problemklasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die Randwertaufgaben. Im Gegensatz zu Anfangswertaufgaben, die in technischen Systemen vor allem eine zeitliche Entwicklung modellieren sollen, sind bei Randwertaufgaben bestimmte Bedingungen an den Rändern oder Grenzen des Definitionsbereichs fest gegeben. Sie beschreiben daher typischerweise stationäre Zustände eines Systems, bei denen die Randbedingungen konstant sind. Konkret beschränken wir uns hier auf die Behandlung finiter Differenzen, was exemplarisch für weitere mögliche Verfahren steht.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Kapitel 11. Partielle Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Die Behandlung partieller Differentialgleichungen (PDEs) ist zur Bearbeitung vieler praxisrelevanter Anwendungsfälle unerlässlich. Denn sie sind mathematische Gleichungen, die Funktionen von mehreren (räumlichen und zeitlichen) Variablen und deren partielle Ableitungen darstellen. So können Wärmeleitung, Plattenbiegungen, Diffusion in Festkörpern oder die Strömungsmechanik nur mit ihrer Hilfe realistisch modelliert werden. Wir beginnen das Kapitel mit einer Klassifikation der PDEs, die zu unterschiedlichen Lösungsverfahren führen. Als zentrales Verfahren wird dann die Linienmethode ausführlich und anhand mehrerer Praxis-Beispiele vorgestellt.
Dirk Reith, Martin Schenk, Gerd Steinebach
Backmatter
Metadaten
Titel
Modellbildung und Simulation
verfasst von
Dirk Reith
Martin Schenk
Gerd Steinebach
Copyright-Jahr
2024
Electronic ISBN
978-3-658-44250-7
Print ISBN
978-3-658-44249-1
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-44250-7

    Marktübersichten

    Die im Laufe eines Jahres in der „adhäsion“ veröffentlichten Marktübersichten helfen Anwendern verschiedenster Branchen, sich einen gezielten Überblick über Lieferantenangebote zu verschaffen.