Modellbildung

In diesem ersten Kapitel wird ein Überblick über die verschiedenen erdfesten Koordinatensysteme gegeben. Man unterscheidet globale geozentrische, topozentrisch astronomische, konventionelle globale geodätische und lokale ellipsoidische Koordinatensysteme. Globale geozentrische Koordinatensysteme sind für die Aufgabenstellungen der Satellitengeodäsie und (in der Vergangenheit) für die Geodätische Astronomie wichtig, während die topozentrischen astronomischen Koordinatensysteme die Beobachtungssysteme der Geodäsie darstellen. Während sich diese Koordinatensysteme auf die physikalische Realität beziehen, sind die durch gewisse Festlegungen definierten Koordinatensysteme einerseits als Konventionelle globale geodätische Koordinatensysteme und Lokale ellipsoidische Koordinatensysteme von Bedeutung.

In diesem Kapitel werden die Transformationen zwischen den globalen und lokalen Koordinatensystemen im Detail behandelt. Nach einem Überblick über die verschiedenen Transformationen zwischen diesen Systemen werden die mathematischen Hilfsmittel für die Durchführung der Transformationen behandelt. Anschließend werden detailliert die Zusammenhänge zwischen den einzelnen globalen und lokalen Koordinatensystemen diskutiert. Ein wichtiges Thema ist die allgemeine Ähnlichkeitstransformation mit den in der Geodäsie häufig diskutierten speziellen Fällen sowie die Bestimmung der Transformationsparameter für bestimmte Transformationen. Ein letzter Abschnitt behandelt den Zusammenhang zwischen natürlichen und ellipsoidischen Koordinaten.

Das dritte Kapitel behandelt die mathematischen Eigenschaften ellipsoidischer Koordinaten. Zunächst wird die Parameterdarstellung der Meridianellipse behandelt und die verschiedenen Breiten eingeführt, also geodätische, geozentrische und reduzierte Breite. Es folgen die Erläuterung der Parameterdarstellung des Rotationsellipsoides und der Zusammenhang zwischen kartesischen und ellipsoidischen Koordinaten. Ein wichtiges abschließendes Kapitel ist der Thematik der Ellipsoidübergänge gewidmet.

Das vierte Kapitel hat heutzutage in der Praxis nicht mehr die Bedeutung wie in der Zeit vor der Nutzung künstlicher Erdsatelliten. Dennoch hat diese Thematik einen didaktischen Wert, da die verschiedenen Beobachtungen und ihr geodätischer Nutzen für eine dreidimensionale geodätische Modellbildung sehr gut zum Ausdruck kommen. Nach einer Klärung verschiedener in der Folge benutzter Begriffe werden die Beobachtungsgleichungen der geometrischen, kinematischen und der dynamischen Methoden skizziert. Da diese Gleichungen im Allgemeinen nichtlinear sind, ist eine Linearisierung notwendig. Die hierzu notwendigen Berechnungsschritte werden im letzten Kapitel behandelt.

Das Kapitel über das Geodätische Datum wird mit dem wichtigen Begriff des Datumsdefektes terrestrischer geodätischer Beobachtungen eingeführt. Es wird im Einzelnen ausgeführt, welche zusätzlichen Informationen astronomische Beobachtungen bereitstellen. Insbesondere wird der Nutzen von Satellitenbeobachtungen für die Lagerung und Orientierung geodätische Koordinatensysteme behandelt. Von besonderer Bedeutung sind diese Überlegungen für eine getrennte Modellbildung für Lage und Höhe geodätischer Punktbestimmungen, eine Vorgehensweise, die insbesondere für die Landesvermessungswerke von grundsätzlicher Bedeutung sind.

Im Kapitel 6 werden die Koordinaten der geodätischen Lagebestimmung behandelt. Zunächst werden rechtwinklig krummlinige Koordinaten diskutiert. Es folgt die Behandlung von Flächennormalenkoordinaten, die in der Geodäsie von besonderer Bedeutung sind, da die resultierenden Beziehungen für die Darstellung von Raumpunkten durch Flächenkoordinaten und Normalenkoordianten auf den ausgewählten Abbildungsflächen von Bedeutung sind. Auch wenn die Flächennormalenkoordinaten auf der Kugel weniger wichtig sind, zeigen sie viele Eigenschaften, die auch für die in der Geodäsie wichtigen Flächennormalenkoordinaten auf dem Rotationsellipsoid bedeutsam sind. In der Geodäsie sind insbesondere die geodätischen Flächenkoordinaten in den Varianten Polar- und Parallelkoordinaten sowie die isothermen Flächenkoordinaten von großer Bedeutung.

Obwohl die Kugel in der Landesvermessung als Bezugsfläche weniger Bedeutung hat als das Rotationsellipsoid, werden aus didaktischen Gründen die verschiedenen Flächenkoordinaten und deren Transformationen behandelt. Die Zusammenhänge sind auf der Kugel wesentlich leichter nachzuvollziehen als auf dem Rotationsellipsoid – dennoch lassen sich die prinzipiellen Vorgehensweisen ebenso gut zeigen. Insbesondere die verschiedenen Transformationen zwischen den Flächenkoordinatensystemen, die später bei der Behandlung der ersten und zweiten geodätischen Hauptaufgabe von Bedeutung sind, können mittels der Anwendung von Drehmatrizen sehr anschaulich durchgeführt werden. Es werden insbesondere die differentialgeometrischen Eigenschaften der Kugel behandelt und die Berechnungen von sphärischen Dreiecken. Mit Blick auf spätere Kapitel werden sphärische geographische Koordinaten, sphärische Polarkoordinaten, sphärische Parallelkoordinaten sowie isotherme sphärische Koordinaten ausführlich diskutiert.

Die Transformation zwischen zwei Flächenparametersystemen wird im Kapitel 8 behandelt. Diese Transformationen können auf verschiedene Weise erfolgen. Eine für Flächenparametersysteme auf beliebigen Flächen mögliche Methode beruht auf der Lösung der Differentialgleichungen der geodätischen Linie, formuliert im betreffenden Parametersystem. Die Lösung als Anfangswertproblem wird als die Erste geodätische Hauptaufgabe bezeichnet, die Lösung als Randwertproblem als Zweite geodätische Hauptaufgabe. Während bei allgemeinen Flächen diese Lösungen herangezogen werden, bieten sich für sphärische Flächenparametersystemen zwei einfachere Möglichkeiten an. Eine erste Möglichkeit beruht auf den Sätzen für die sphärische Trigonometrie, eine zweite Möglichkeit beruht auf einer Folge von räumlichen Drehungen mittels Drehmatrizen. In diesem Kapitel wird die zweite Möglichkeit für die Transformationen zwischen geographischen Koordinaten, Polar- und Parallelkoordinaten sowie für isotherme Flächenparametersysteme angewendet.

Im Kapitel 9 werden die Reduktionen sphärischer Flächenkoordinaten behandelt. Damit ist die Berechnung sphärischer Flächenkoordinaten auf einer ebenen Rechenfläche gemeint, indem gewisse Reduktionen angebracht werden. Dies gelingt dadurch, indem die Kugelfläche als Abbildung auf einer Ebene aufgefasst wird. Neben diesen Berechnungsschritten ist die Reduktion gemessener Größen wie beispielsweise Winkel oder Strecken auf die Kugeloberfläche notwendig.

In diesem Kapitel werden die zweidimensionalen Modelle auf dem Ellipsoid behandelt – in der Geodäsie zumeist dem Rotationsellipsoid. Nachdem die differentialgeometrischen Eigenschaften des Ellipsoides diskutiert worden sind, werden weitere mathematische Eigenschaften des Rotationsellipsoides behandelt. Es folgt die Behandlung der in der Geodäsie wichtigen Flächenkurven, wie beispielsweise die ellipsoidischen Normalschnitte und die geodätischen Linien auf dem Rotationsellipsoid und deren gegenseitigen Beziehungen. Ein Kernthema sind die verschiedenen Parametersysteme auf dem Rotationsellipsoid. Wie auf der Kugel sind dies insbesondere die geographischen Koordinaten, die geodätischen Polar- und Parallelkoordinaten und insbesondere auch die isothermen Flächenkoordinaten. Abschließend werden Approximationen durch sphärische Beziehungen diskutiert wie auch die Berechnung von ellipsoidischen Dreiecken.

Es werden die verschiedenen Transformationen zwischen den Flächenkoordinaten auf dem Rotationsellipsoid behandelt. Im Prinzip handelt es sich um entsprechende Transformationsfälle wie am Beispiel einer Kugel. Allerdings kann man nicht die speziellen für Kugeln möglichen vereinfachenden Verfahren anwenden. Hier sind die strengen differentialgeometrischen Methoden anzuwenden, die auf die Verwendung von gewissen Reihenentwicklungen hinauslaufen. Von grundlegender Bedeutung für die Transformation von geodätischen Flächenparametersystemen auf dem Rotationsellipsoid sind die Legendreschen Reihen. Sie werden in einem einführenden Kapitel detailliert erläutert. Es folgen drei weitere Kapitel, in denen die wichtigsten Zusammenhänge diskutiert werden. Es sind dies die Transformationen zwischen geographischen Koordinaten und geodätischen Polarkoordinaten, die Transformationen zwischen den geodätischen Parallelkoordinaten und anderen Flächenparametersystemen sowie die Transformationen zwischen den Gaußschen isothermen Koordinaten und anderen Flächenkoordinaten.

Für die praktische Anwendung in der Landesvermessung werden als Referenzflächen für großräumige und globale Vermessungsaufgaben i. Allg. Rotationsellipsoide, deren Flächennormalen näherungsweise mit den Lotlinien übereinstimmen, zugrunde gelegt. Bei den klassischen Landesvermessungswerken wurden die Ellipsoiddimensionen aus Gradbogenmessungen bestimmt. Diese Ellipsoide stellen dabei bestanschließende Ellipsoide für verschiedene Bereiche dar. Auch Kugeloberflächen sind als Bezugsflächen denkbar. Sie wurden aber kaum angewendet. Dagegen wurden die ellipsoidischen Flächenparameter häufig in sphärischer Approximation berechnet. Die beobachteten Größen wie Richtungen, Winkel etc. werden auf das Referenzellipsoid reduziert und eine Dreiecksberechnung ausgeführt. Nach der Datumsfestlegung (Lagerung, Orientierung) können die Azimute berechnet werden und die (ellipsoidischen) geographischen Koordinaten mittels der ersten geodätischen Hauptaufgabe abgeleitet werden. Die anschließende Berechnung geodätischer Flächenkoordinaten beruhte früher entweder auf geodätischen Parallelkoordinaten (im Sinne Soldners) bzw. auf Gaußschen isothermen Koordinaten. Moderne Landesvermessungen beruhen vor allem auf sog. Gauß-Krüger-Koordinaten bzw. auf UTM-Koordinaten (Universal Transverse Mercator Grid System), die häufig in Form von Meridianstreifensystemen verwendet werden.

In der Geodäsie unterscheiden sich die Modelle der Höhenbestimmung von den Modellen der Lagebestimmung. Dies liegt vor allem an der unterschiedlichen Wirkung des Schwerefeldes auf Lage und Höhe. Aus diesem Grund spaltet man eine dreidimensionale Punktbestimmung in eine Lagebestimmung und eine Höhenbestimmung auf, was zur Folge hat, dass man geometrisch und physikalisch definierte Höhen unterscheiden muss. Im Laufe der Entwicklung der geodätischen Modellbildung ist man von genäherten Höhensystemen zu immer präziseren physikalisch definierten Höhensystemen gelangt. Neben dynamischen Höhen und geopotentiellen Koten sind orthometrische Höhen und Normalhöhen von Bedeutung, bzw. Näherungen wie die normalorthometrischen Höhenysteme. Diese verschiedenen Höhensysteme unterscheiden sich auch in der Art und Weise ihrer Bestimmung, bzw. ihrer Messverfahren und demzufolge auch in ihrer Genauigkeit, mit der eine Messung bzw. eine Berechnung durchgeführt werden kann.

Die Methoden zur Transformation zwischen verschiedenen Höhensystemen hängen in erster Linie von den Eigenschaften der zu transformierenden Höhensysteme, also von den Definitionen der Höhensysteme und von der Art der Messung ab. Die Transformation zwischen physikalisch definierten metrischen Höhen und geometrischen Höhen erfordert die Kenntnis der Differenzfunktion der Bezugsflächen der beiden Höhensysteme. Sie definiert die flächenhafte Transformationsformel zwischen beiden Höhensystemen. Will man beispielsweise Normalhöhen in ellipsoidische Höhen überführen und umgekehrt, so stellt das Quasigeoid die Transformationsfunktion zwischen beiden Höhensystemen dar. Entsprechend verhält es sich bei der Transformation zwischen verschiedenen alternativen physikalisch definierten metrischen Höhen. Die flächenhaften Transformationen nehmen keinen Bezug zur Art und Weise des Messvorganges. Diese besonderen Eigenschaften und insbesondere die Akkumulation von systematischen Messfehlern kann nur durch eine linienweise Transformation berücksichtigt werden. Dies gelingt allerdings nur dann, wenn die Reihenfolge der Messung nachvollzogen werden kann.

In diesem Kapitel werden die Höhensysteme im Einzelnen diskutiert. Nach einleitenden Bemerkungen über die Begriffe Vertikaldatum und Höhenbezugsfläche werden die Höhensysteme in Deutschland erläutert. Dies sind insbesondere die Amtlichen Haupthöhennetze in Deutschland, insbesondere das Deutsche Haupthöhennetz 1992 (DHHN92) und das seit 2016 gültige deutsche Haupthöhennetz 2016 (DHHN2016). Daneben werden die klassischen Höhensysteme in Deutschland diskutiert, die in den vergangenen Jahrzehnten bedeutsam waren. Diese Kenntnis scheint deshalb wichtig zu sein, um gewisse Unterschiede in den Höhenangaben richtig interpretieren zu können.

Die Verbindung nationaler Höhensysteme zur Definition eines vereinheitlichten globalen Vertikaldatumssystems und die damit enge Beziehung zum mittleren Meeresspiegel hat in den letzten Jahren zunehmendes Interesse gefunden. Sie ist eine zwingende Notwendigkeit in all den Fällen, in denen regionale Höhensysteme eines Landes durch Meeresbereiche getrennt sind und miteinander zu einem einheitlichen Vertikaldatum verbunden werden müssen. Es gibt verschiedene Argumente für die Definition eines globalen Vertikaldatumssystems. Neben geodätischen Argumenten ist die Verfügbarkeit eines globalen Vertikaldatums insbesondere für die Ozeanographie von Bedeutung. Beispiele sind Informationen über die Neigung der Meerestopographie gegenüber einer Äquipotentialfläche über lange Distanzen für die Erforschung der Meeresströmungen, aber auch Meeresspiegeländerungen und Beziehungen der Wechselwirkung Ozeane-Klima¬ent¬wick¬lung. Ein vereinheitlichtes Vertikaldatum hat auch eine sehr praktische Bedeutung für die Überwachung von Küstenbereichen an Flussmündungen und in Bereichen sehr flacher Küstenregionen. Tatsache ist, dass die Berechnung von Schwereanomalien ein einheitliches Vertikaldatum erfordert. Nur so kann konsistentes terrestrisches Schwerematerial erhalten werden und für die Kombination mit Schwereinformationen, abgeleitet mit den Methoden der Satellitengeodäsie, verwendet werden. Die Verbindung regionaler Vertikaldatumssysteme kann mit Hilfe des geodätischen Randwertproblems behandelt werden. Die Problematik der Vertikaldatumsverknüpfung wird im Folgenden dargestellt, und das integrierte Modell zur Bestimmung eines globalen Vertikaldatums und zur Verbindung regionaler Vertikaldatumssysteme wird erläutert.