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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

8. Modelle der Volatilität

verfasst von: Klaus Neusser, Martin Wagner

Erschienen in: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Auszug

Die Kurse vieler Finanzmarkttitel sind meist starken und in ihrer Amplitude nicht konstanten Schwankungen unterworfen. Perioden mit hektischen Kursausschlägen, in denen die Volatilität hoch ist, werden von ruhigeren Perioden mit niedrigerer Volatilität abgelöst. Innerhalb dieser Perioden sind die Amplituden der Ausschläge daher positiv autokorreliert: Hohe Ausschläge werden mit hoher Wahrscheinlichkeit von hohen Ausschlägen gefolgt, und niedrige Ausschläge mit hoher Wahrscheinlichkeit von niedrigen Ausschlägen. Dies bedeutet, dass die bedingte Varianz des Einschrittprognosefehlers nicht mehr konstant (homoskedastisch), sondern variabel (heteroskedastisch) ist. Dieses vor allem bei hochfrequenten Daten (etwa Tagesdaten) beobachtete Phänomen führte, ausgehend von den Arbeiten von Engle [ 92] und Bollerslev [ 35], zu einer Vielzahl von Modellen, die diese systematischen Änderungen der Volatilität zu erfassen trachten. 1 Da die Volatilität z. B. ein unerlässlicher Baustein in der Berechnung von Optionspreisen und in der Abschätzung des Marktrisikos einer einzelnen Aktie oder eines Portfolios (z. B. durch den Value at Risk (VaR) ist, kommt diesen Modellen eine überragende Bedeutung zu, siehe die Anwendung in Abschn. 8.5). Diese Feststellung bezieht sich nicht nur auf theoretische Fragestellungen, sondern vor allem auf praktische Anwendungen. So beruht die Höhe des Eigenkapitals, das Finanzinstitutionen ihren Veranlagungen gemäß dem Basel II-Abkommen unterlegen müssen, auf Schätzungen des VaR (siehe Basel Committee on Banking Supervision [ 17]). …
Fußnoten
1
Robert F. Engle wurde für diese Arbeiten 2003 mit dem Nobelpreis geehrt (zusammen mit Clive W. J. Granger). Sein gut verständlicher Nobelpreisvortrag kann in [93] nachgelesen werden.
 
2
σt bezeichnet die positive Quadratwurzel von \(\sigma _t^2\).
 
3
Dabei gilt die Konvention \(\prod _i^j =1\) für i > j.
 
4
Sei f eine beliebige konvexe Funktion auf \(\mathbb {R}\). Dann besagt die Jensen'sche Ungleichung, dass \(f(\mathbb {E}X)\leq \mathbb {E}f(X)\), wenn die Erwartungswerte \(\mathbb {E}X\) und \(\mathbb {E}f(X)\) existieren. Ist f eine konkave und − f daher eine konvexe Funktion, so lautet die Ungleichung \(f(\mathbb {E}X)\geq \mathbb {E}f(X)\).
 
5
Diese Bedingung impliziert klarerweise α1 + β < 1 und somit die Existenz der Varianz.
 
6
Da \(3\alpha _1^2 < (1-\beta )^2\), gilt \((\alpha _1+\beta )^2+2\alpha _1^2 = 3\alpha _1^2 + \beta ^2 + 2\alpha _1\beta < 1 + \beta ^2 - 2\beta + \beta ^2 + 2\alpha _1\beta = 1 + 2\beta ^2 - 2\beta (1-\alpha _1) < 1 + 2\beta ^2 - 2\beta ^2 = 1\).
 
7
Bedingungen für die Existenz höherer Momente sind von Nelson [203] ausgearbeitet worden. Dort sind auch ähnliche graphische Darstellung zu finden.
 
8
Bei der Aufteilung zwischen Region I und II wurde für νt die Standardnormalverteilung unterstellt.
 
9
Es dürfen nicht alle Parameter gleichzeitig null sein.
 
10
Die Existenz des vierten Moments ist für die asymptotische Normalität des Maximum-Likelihood-Schätzers notwendig, nicht jedoch für seine Konsistenz. Die Bedingung kann bis zu einem gewissen Grad abgeschwächt werden (siehe Hall und Yao [133]).
 
11
Wenn νt einer anderen Verteilung gehorcht, so kann man diese anstelle der Normalverteilung verwenden.
 
12
Zumindest im GARCH(1,1)-Fall ist die Annahme der Stationarität nicht notwendig (siehe Jensen und Rahbek [151]).
 
13
Die mittels des Momentenschätzers erzielten Schätzwerte können als Startwerte für den Maximum-Likelihood-Schätzer weiterverwendet werden, um die Effizienz des Schätzers zu verbessern.
 
14
Um eine fortlaufende Stichprobe zu gewährleisten, wurden die nicht verfügbaren Werte an Feiertagen durch interpolierte Werte ersetzt.
 
15
Die Ergebnisse sind allerdings kaum von einem AR(1)-Modell zu unterscheiden.
 
16
Die folgenden Ausführungen beschränken sich auf die Klasse der GARCH-Modelle. Dabei wird nicht unterstellt, dass diese Modelle den Daten am besten gerecht werden. Möglicherweise liefern andere Modelle noch bessere Ergebnisse.
 
17
Wie in Abschn. 8.1.1 angemerkt ist diese Bedingung hinreichend für die Existenz des vierten Moments.
 
18
Man beachte, dass es beim Ausweis des VaR üblich ist, bei Verlusten positive Werte anzuführen.
 
19
Beispiele finden Sie auch auf https://​www.​aau.​at/​neusser-wagner.
 
20
Beispiele finden Sie auch auf https://​www.​aau.​at/​neusser-wagner.
 
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Metadaten
Titel
Modelle der Volatilität
verfasst von
Klaus Neusser
Martin Wagner
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_8

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