Modellierung von Abhängigkeitsstrukturen durch Copulas

Inhaltsverzeichnis

1. Frontmatter

2. Kapitel 1. Einleitung

   Klaus J. Schröter

   Zusammenfassung

   Die Welt ist kompliziert. Einfache Antworten auf Fragen unserer Zeit sind meist ebenso erwunscht wie falsch. Im Kontext der Modellierung führt diese Erkenntnis zu der Herausforderung, komplexe Zusammenhänge und Wechselwirkungen möglichst wahrheitsgetreu wiederzugeben.

3. Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 2. Verteilungstheoretische Beschreibung

      Klaus J. Schröter

      Zusammenfassung

      Kapitel 1 stellt einleitend den formalen Rahmen der nachfolgenden Betrachtungen zur Verfügung. Die grundlegenden Begriffe aus dem bekannten Umfeld der Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden eingeführt, ohne dabei detailliert auf maßtheoretische Hintergründe einzugehen. Eine ausführliche Darstellung zu den wahrscheinlichkeits- und insbesondere maßtheoretischen Grundlagen vermittelt Schmidt [2011].

   3. Kapitel 3. Charakterisierung von Abhängigkeitsstrukturen

      Klaus J. Schröter

      Zusammenfassung

      In dem zweiten Kapitel werden die verschiedenen Arten von Abhängigkeitsstrukturen ausführlich beschrieben. Dabei wird das Instrument der Copulas hier noch bewusst ausgeklammert, da diese in Teil II explizit vorgestellt und behandelt werden.

4. Copulas

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 4. Grundlagen

      Klaus J. Schröter

      Zusammenfassung

      Kapitel 3 stellt den Einstieg in Teil II dar und widmet sich den Grundlagen der Theorie der Copulas. Es ist nicht das vorrangige Ziel dieses Kapitels, einen vollständigen Überblick dieser Theorie zu vermitteln. Für diese Zwecke sei etwa auf das fundamentale Werk von Nelsen [2006], Kap. 2, verwiesen, an dessen Darstellungen sich die folgenden Ausführungen auch auszugsweise orientieren.

   3. Kapitel 5. Kategorisierung

      Klaus J. Schröter

      Zusammenfassung

      In Kapitel 4 werden die wichtigsten Kategorien von Copulas und ihre bekanntesten Repräsentanten vorgestellt. Für die meisten Copulas werden ausgewählte Eigenschaften angegeben und simulierte Punktwolken illustriert.

   4. Kapitel 6. Charakterisierung von Abhängigkeiten durch Copulas

      Klaus J. Schröter

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel wird für die meisten der in Abschnitt 2.2 vorgestellten Abhängigkeitsmaße untersucht, inwieweit sie formal von den zugrundeliegenden Copulas abhängen. Das wurde in Abschnitt 2.2 noch nicht umgesetzt, weil die Copulas erst später vorgestellt wurden. Konkret wird es allgemein um Konkordanzmaße und speziell um Korrelationen, Kendalls Tau, Spearmans Rho und Flankenabhängigkeiten, inklusive der in Abschnitt 2.2 eingefuhrten Erweiterungen auf entgegengerichtete und relative Flankenabhängigkeiten, gehen.

5. Anwendungen in der Risikotechnik

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 7. Credibility-Modelle und Copulas

      Klaus J. Schröter

      Zusammenfassung

      In Teil III werden ausgewählte risikotheoretische Disziplinen und Modellbildungen vornehmlich in Hinblick auf etwaige Abhangigkeiten der zugrundeliegenden Zufallsvariablen analysiert. Die vielfach in Standardmodellen der Risikotheorie unterstellte Unabhängigkeit wird somit regelmäßig verworfen und hinterfragt sowie vielmehr nach handhabbaren Alternativen bei Abhängigkeit gesucht. Die aufkommenden Fragen und Problemstellungen bei diesen Untersuchungen sind etwa.

   3. Kapitel 8. Summen abhängiger Zufallsvariablen

      Klaus J. Schröter

      Zusammenfassung

      Vor allem in der Versicherungstechnik und dem dortigen Risikomanagement interessieren häufig Summen von Zufallsvariablen, etwa die einem Bestand zuzuordnenden kumulierten Schadenaufwendungen. Die meisten klassischen Modelle unterstellen dabei Unabhängigkeit zwischen diesen zufälligen Summanden.

   4. Kapitel 9. Bivariate Trapezverteilungen im Risikomanagement

      Klaus J. Schröter

      Zusammenfassung

      Im quantitativen Risikomanagement zählt der Einsatz von Szenario-Techniken und/oder die Szenarioanalyse zu den methodischen Standard-Disziplinen, vgl. etwa Hull [2016], Kap. 7, S. 169 ff., und Wolke [2016], S. 71 ff. Die Szenario-Techniken zeichnen sich dadurch aus, dass bestimmte Zustände und ihre quantitativen Auswirkungen ausgewertet werden, wobei es sich im Risikomanagement regelmäßig um fiktive Negativ-Szenarien handelt, die man als bad cases oder in Extremfällen als worst cases bezeichnet. Diesen Szenarien werden mitunter Wahrscheinlichkeiten bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterlegt, um eine Gesamtbewertung unter Berucksichtigung der Eintrittswahrscheinlichkeiten vornehmen zu können.

   5. Kapitel 10. Ausgewählte Abhängigkeiten und ihre Copulas

      Klaus J. Schröter

      Zusammenfassung

      In diesem abschließenden Kapitel werden ausgewählte Abhängigkeitsstrukturen betrachtet und ihre Copulas bestimmt. Zunächst erfolgen Untersuchungen zu allgemeinen Standardtransformationen, vgl. Abschnitt 2.1. Daraufhin stehen solche Einflüsse im Fokus, die spezielleren Zuschnitt auf Anwendungen in der Risikotechnik, insbesondere der Versicherungstechnik, aufweisen.

6. Backmatter