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Über dieses Buch

Das vorliegende Buch und der zugehörige erste Band über Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung geben eine gründliche Einführung in die Methoden und Prinzipien der modernen Finanzmathematik. Dieser zweite Band behandelt insbesondere Zinsmodellierung, Verallgemeinerungen des Black-Scholes-Modells zur realistischeren Modellierung von Aktienpreisen sowie Parameterschätzung und -kalibrierung. Um das Lesen und Verstehen aller Kapitel zu vereinfachen, werden jeweils einführende Abschnitte mit Motivation und Überblick voran gestellt, in denen der im Kapitel folgende Stoff ökonomisch motiviert, seine Entstehungs- und Entwicklungsgeschichte beschrieben oder auch Aspekte der Praxis gegeben werden. Technisch anspruchsvolle theoretische Konzepte werden wieder in Exkursen dort präsentiert, wo sie zum ersten Mal benötigt werden. Das Werk richtet sich an Studierende der Mathematik und der Finanzwirtschaft sowie an Praktiker in Banken und Versicherungen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Erweiterungen des Black-Scholes-Modells

Nicht nur in der Theorie, wo Verallgemeinerung ein natürlicher Beweggrund ist, sondern auch in der Praxis wird das Black-Scholes-Modell in seiner einfachen Form schon länger als nicht mehr zeitgemäß und zu stark vereinfachend angesehen, um Aktienpreisentwicklungen hinreichend realistisch zu modellieren. Dieses Kapitel stellt in der Praxis und in der Theorie populäre Verallgemeinerungen des
Black-Scholes-Modells vor und behandelt die sich aus ihnen ergebenden Probleme wie z.B. die Unvollständigkeit der zugehörigen Marktmodelle oder die Notwendigkeit des Begriffes einer schwachen Lösung einer stochastischen Differentialgleichung.
Wir bleiben hierzu zuerst im Rahmen der Modellierung von Aktienpreisen mittels Diffusionsprozessen, indem wir die Konzepte der lokalen Volatilität und der stochastischen Volatilität einführen. Insbesondere befassen wir uns mit folgenden Modellen und Resultaten:
• die Dupire-Formel für lokale Volatilität,
• das Constant-Elasticity-of-Variance-Modell (CEV Modell),
• die Definition, Existenz- und Eindeutigkeit schwacher Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen,
• das stochastische Volatilitätsmodell nach Heston,
• die Optionsbewertung mit der Fouriermethode,
• die Begriffe Arbitrage und äquivalente Martingalmaße in unvollständigen Märkten.
Den Abschluss dieses Kapitels bildet eine Betrachtung über Sprungdiffusionsprozesse, für die wir zuerst die zugehörige stochastische Analysis bereitstellen und dann wieder auf populäre Modelle zur Optionsbewertung – inklusive des Sprungdiffussionsmodells nach Merton – eingehen.
Sascha Desmettre, Ralf Korn

2. Zinsmodellierung und Zinsprodukte

Zwar verhalten sich Zinsraten in ihrer zeitlichen Entwicklung nicht so volatil wie Aktienkurse, doch es ist eine unzulässige Annahme, sie über einen längeren Zeitraum als konstant oder deterministisch anzunehmen, gerade vor dem Hintergrund der enormen Volumen des in Zinsprodukte investierten Kapitals und der langen Laufzeiten von z.B. Altersvorsorgeprodukten.
Im Rahmen dieses Kapitels werden zunächst die grundlegenden Begriffe und Produkte am Zinsmarkt erläutert.
Im Anschluss werden die drei wesentlichen stochastischen Modellierungskonzepte,
• der Ansatz der Kassazinsratenmodellierung („Short Rate Modelle“),
• der Ansatz der Terminzinsratenmodellierung („Forward Rate Modelle“) und
• der Ansatz der Marktzinsratenmodellierung („LIBOR-Modelle“)
zusammen mit ihren Vor- und Nachteilen sowie Aspekten der Anwendung vorgestellt. Dabei werden jeweils populäre konkrete Modellrealisierungen wie z.B. das Vasicek-Modell oder das Log-Normale LIBOR-Modell als explizite Beispiele detailliert analysiert. Zusätzlich werden Haupthilfsmittel wie z.B. die Zinsstrukturgleichung und ihre explizite Lösung im Fall affin-linearer Short Rate Modelle entwickelt und populäre Formeln wie die Black’76-Formel vorgestellt.
Ein Überblick über spezielle Zinsratenmodelle, die nicht in die drei Hauptklassen passen, wie z.B. das SABR-Modell oder das nicht-lineare Modell nach Epstein und Wilmott, schließen das Kapitel ab.
Sascha Desmettre, Ralf Korn

3. Kreditrisiko und Kreditderivate

Die große Kreditkrise ab 2007 wurde oft in Verbindung mit mathematischer Modellierung und komplizierten Kreditprodukten wie z.B. dem CDO („Collateralized Default Obligation“) gebracht. Im Rahmen dieses Kapitels werden zunächst Grundbegriffe der Kreditbewertung und dann die Formel von Vasicek für die Grenzverteilung der Ausfälle in einem homogenen Kreditportfolio entwickelt.
Im Anschluss werden die beiden Hauptmodellierungskonzepte,
• der strukturelle Ansatz der Ausfallmodellierung („Firmenwert-Modell“) und
• der reduzierte Ansatz der Ausfallmodellierung („Intensitätsbasiertes Modell“),
zusammen mit jeweils populären, konkreten Modellrealisierungen wie z.B. das Merton-Modell, das Jarrow-Turnbull-Modell oder das Black-Cox-Modell vorgestellt.
Ein Überblick über populäre Kreditderivate bis hin zum CDO leitet den zweiten Teil des Kapitels ein. Um Kreditderivate bewerten zu können, wird der Begriff der Copula als Werkzeug zur Modellierung mehrdimensionaler Abhängigkeiten in einem Exkurs eingeführt. Danach schließt sich die Vorstellung des in der Praxis weit verbreiteten Copula-Modells nach Li an, das im Nachgang der Finanzkrise viel kritisiert und theoretisch verallgemeinert wurde.
Ein kurzer Überblick über die Bewertung von CDOs beschließt das Kapitel.
Sascha Desmettre, Ralf Korn

4. Statistik am Finanzmarkt -- Kalibrierung der Modellparameter

Das Kapitel widmet sich der Bestimmung der Modellparameter finanzmathematischer Modelle. Dabei werden zunächst einige elementare Grundbegriffe und Verfahren der Schätztheorie (wie z.B. ML-Schätzer, Momentenmethode) gesammelt. Im Anschluss werden diese Methoden auf die Situation des Schätzens von Parametern stochastischer Prozesse, bei denen die Beobachtungen typischer weise abhängig sind, ausgedehnt. Dabei werden auch explizite Beispiele wie z.B. eine volle ML-Methode zur Kalibrierung des Vasicek- und des CIR-Modells aus Quer- und Längsschnittdaten vorgestellt.
Ein wesentlicher Unterschied zur gewöhnlichen, auf historischen Daten basierenden Statistik liegt am Finanzmarkt vor, in dem man zur Parameterschätzung oft eine implizite Methode, die sogenannte Modellkalibrierung anwendet. Hierzu werden die Modellparameter so bestimmt, dass die am Markt beobachteten, gegenwärtigen Preise möglichst gut durch die theoretischen Modellpreise erklärt werden können. Wir stellen hier speziell die Kalibrierung auf der Basis der Kleinste-Quadrate-Methode vor und erläutern, dass die Methodik einem Schätzen unter dem risiko-neutralen Maß entspricht.
Viele theoretische Größen wie z.B. die Short Rate sind am Markt nicht beobachtbar. Ihre Werte sind aber für Modellrechnungen essentiell. Deshalb wird abschließend eine Einführung in die hierfür grundlegende Methodik des Filterns gegeben.
Sascha Desmettre, Ralf Korn

5. Weitere Aspekte der modernen Finanzmathematik

Das Kapitel schließt das Buch mit einer kurzen Würdigung zweier weiterer wichtiger Anwendungen der Stochastik in der Finanzmathematik ab.
So werden zum einen Risikomaße als Maßzahlen für die Beurteilung der Risiken einer finanziellen Publikation eingeführt. Dabei kann die allgemeine Theorie nur angerissen werden. Die für die Praxis wichtigen Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall werden allerdings detailliert vorgestellt und im Hinblick auf ihre wichtigsten Eigenschaften beleuchtet.
Neben den im Buch behandelten zeitstetigen Modellen existiert auch eine umfangreiche Literatur zur Anwendung zeitdiskreter Zeitreihen in der Finanzmathematik. Wir stellen kurz grundlegende Modelle vor, die als zeitdiskretes Analogon zum Black-Scholes und zum Heston-Modell angesehen werden können.
Sascha Desmettre, Ralf Korn

Backmatter

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