Modifikation eines Modells von Verbindungsmitteln zur Prognose des Schalldämmmaßes von Leichtbaukonstruktionen mittels Finite Elemente-Methode im erweiterten Frequenzbereich

Tabelle 1, 2, 3 und 4 zeigen die Materialdaten, die innerhalb der numerischen Simulation verwendet wurden. Die Ermittlung dieser Materialdaten erfolgte anhand von unterschiedlichen Versuchsaufbauten und ist in [4] dargestellt.

Das Schalldämmmaß (oder Schalltransmissionsverlust) einer Wand ist wie folgt definiert: Der Schalltransmissionsgrad \(\tau \) ist das Verhältnis aus der durch das Schallfeld in einem Senderaum resultierenden auf die Wand einfallenden Schallintensität I_i und der von der Wand in einen Empfangsraum abgestrahlten Schallintensität I_e. Diese Definition stellt insbesondere die numerische Simulation vor größere Herausforderungen, da neben der eigentlichen Struktur des zu untersuchenden Bauteils auch Sende- und Empfangsraum und deren akustischen Oberflächeneigenschaften zu berücksichtigen sind. Ebenso ist in der Regel das gemessene Schalldämmmaß nach ÖNORM EN ISO 10140-2:2020 gerade bei tiefen Frequenzen von der Lautsprecherposition und des resultierenden modalen Schallfeldes abhängig. Die Grenzfrequenz für den überlicherweise ca. 50 m³ großen Empfangsraum liegt nach [27] bei ca. 270 Hz. Für eine möglichst fehlerfreie Abbildung der Messsituation ist daher der Senderaum und dessen Eigenschaften ganzheitlich innerhalb der Simulation abzubilden. Dadurch sind in Relation zu den interessierenden Biegewellenlängen sehr große Domänen zu diskretisieren, wodurch ein hoher Berechnungsaufwand entsteht. Um dieses Problem zu lösen kennt die Literatur verschiedene Ansätze [28, 29]

In dieser Arbeit wird das nicht diffuse Schallfeld im tiefen Frequenzbereich, der Einfluss des Raumes und der Lautsprecherposition nicht berücksichtigt. Das auf das Bauteil einfallende Schallfeld im Senderaum wird als homogenes, isotropes und diffuses Schallfeld beschrieben. Dabei wurde der Ansatz verfolgt, dass das diffuse Schallfeld auf der Senderaumseite des Bauteils als Summe von N unkorrelierten Ebenen Wellen mit gleichförmig zufällig verteilten Einfallswinkeln \(\varphi _{\mathrm{n}}\), \(\theta _{\mathrm{n}}\) beschrieben werden kann. Die Druckverteilung \(p\)_Senderaum\((x,y,z)\), als Grundbedingung in der FEM Simulation kann also wie folgt berechnet werden: Unter der Annahme, dass das Bauteil selbst schallhart ist, kann die reflektierende Komponente des Schalldruckfeldes am Bauteil wie folgt berechnet werden: Mit Die Oberflächen des Empfangsraums werden dabei absorbierend modelliert, was bedeutet das die Rückkopplung zwischen Bauteil und an der Empfangsraumoberfläche reflektierten Schallwellen besteht. Damit kann der Empfangsraum als Unendlicher Halbraum modelliert werden. Innerhalb der FEM Umgebung erfolgt dies mittels Luftvolumen, dass mittels PML „Perfect Matched Layer“ eingefasst ist. Dieser Rand kann als Absorbierende Randbedingung für die Luftdomäne angesehen werden. Es findet somit keine Reflexion des vom Bauteil abgestrahlten Schallfeldes an dem Rand des Luftvolumens statt. Zur Implementierung in die FEM und der mathematischen Beschreibung der Eigenschaften des PML wird auf [19] verwiesen.

Eine volle Diskretisierung des Raumvolumens auf der Sende- und der Empfangsraumseite ist somit nicht notwendig. Abbildung 2 zeigt eine Schematische Darstellung der Situation, die innerhalb der FEM Umgebung abgebildet wurde.

Die Anbindung an den Prüfstand und die dadurch beeinflusste Befestigung des Plattenrandes hat einen wesentlichen Einfluss auf das Schwingungsverhalten und somit auf das Schalldämmmaß einer Wandkonstruktion. [4] Bei Modellen unter Berücksichtigung von endlichen Ausmaßen der Bauteildomänen ist es somit erforderlich, die Randbedingungen der Wand zu kennen und dementsprechend zu modellieren. Da die Einbausituation bei derartigen Bauteilen stehts variiert und oft unklar ist, werden in der nachfolgenden Untersuchung verschiedene Anbindungen, entsprechend Tab. 5, an den Prüfstand modelliert.

Grundlegend erfolgt die Kopplung von Struktur und Fluid an der gemeinsamen Grenze ihrer beiden Domänen durch ein vorausgesetztes Kräftegleichgewicht und einer Kontinuitätsbedingung. Die erste Bedingung zur Kopplung von Fluid und Struktur folgt aus dem bedingten Gleichgewicht zwischen Schalldruck p_f des Fluids und der Normalkomponente \(\sigma _{\mathrm{n}}\) der mechanischen Spannungen der Wand an der Grenzfläche. Die zweite Bedingung folgt aus der Anforderung der Kontinuität an der Grenze zwischen Struktur und Fluid und bedingt das die Normalkomponenten der Geschwindigkeiten der Strukutroberfläche v und die der des Fluids v_f an der Grenzschicht gleich groß sind und kann wie folgt dargestellt werden [19]:

Die unterschiedlichen Komponenten von Leichtbaukonstruktionen sind in den häufigsten Modellen mittels Schrauben miteinander verbunden. Untersuchungen haben gezeigt, dass diese Schraubverbindungen einen signifikanten Einfluss auf das Schalldämmmaß dieser Konstruktionen besitzen. Die Abbildung dieser Verbindungen in Prognosemodellen ist daher notwendig. Die Literatur bietet unterschiedliche Möglichkeiten der Modellierung der Schraubenverbindung, deren Funktionsprinzipien in Abb. 3 dargestellt sind. Die simpelste Art der Modellierung ist die gesamte gemeinsame Fläche zwischen dem Steher und der Platte als starr verbunden anzusehen (Model a). Am häufigsten wird im tiefen Frequenzbereich von einer linienförmigen Verbindungsmodellierung (Model c) ausgegangen. Bei diesem Modell werden alle Schrauben entlang der Achse eines Stehers zu einer starren Linienverbindung zwischen Steher und Platte zusammengefasst. Erst in höheren Frequenzbereichen des Spektrums >500 Hz, bei denen der Schraubenabstand im Vergleich zur Biegewellenlänge auf der Platte größer ist, muss zu einer punktförmigen Modellierung (Modell b) übergegangen werden. Dabei wird die Schraubverbindung an deren tatsächliche Lage mittels starrer punktueller Verbindung modelliert. In [24] wurde gezeigt, dass durch eine Modellierung der Schraubenverbindung, als fixe punktuelle Verbindung (Modell b), die Modellierung zu einem zu steifen Verhalten führt. Weiteres wurde in [4] gezeigt, dass unterschiedliche Schraubengeometrie wie z.B. Schraubenkopfdurchmesser d_w, Schraubenlänge l_f und Gewindesteigung P erheblichen Einfluss auf die zu erwartende Steifigkeit und Schwingungsverhalten der Konstruktion führen. In [4, 5] konnte gezeigt werden, dass folgende Parameter einen wesentlichen Einfluss auf das Schalldämmmaß einer Leichtbaukonstruktionen haben können: Keines der in Abb. 3 dargestellten Modelle ermöglicht die Abbildung des Einflusses des Schraubenanzugsmoments auf das Schalldämmmaß des Bauteils. Hierzu wurde ein Modell entwickelt die alle der genannten Einflussparameter berücksichtigt. In [4] wurde ein Modell entwickelt, dass die Schraube als Kombination aus 2D und 1D Elementen abbildet. Das Anzugsmoment der Schraube und die dadurch resultierende Anpressung der Platte an den Steher wird dabei als punktuelle Kraft auf das Bauteil aufgebracht. Dieser Ansatz besitzt Nachteile bei der Simulation. Die Einzelkraft, regt in der Simulation das Bauteil bei der Simulation in der Frequenzdomäne sinusförmig an und weicht dadurch von der physikalischen Wirkung des Schraubenanzugsmoments ab. Das in dieser Arbeit modifizierte Modell, bei dem die Schraube durch einen vorgespannten Quader, dessen zwei parallel zu Plattenebene verlaufenden Oberflächen steif mit Platte und Steher verbunden sind, umgeht dieses Problem. Die Berücksichtigung des Schraubenanzugsmoments erfolgt durch eine in der Symmetrie Achse wirkende Normalspannung in Schraubenrichtung. Diese Normalspannung kann aus dem Anzugsmoment M und der Gewindesteigung P resultierenden Normalkraft F_Vorspannung berechnet werden. Der stationäre Spannungszustand in der Struktur, dargstellt in Abb. 4, hervorgerufen durch diese Vorspannung, dient als Ausgangszustand für die Berechnung des Schalldämmmaßes in der Frequenzdomäne. Zwischen Platte und Steher findet abgesehen von dieser Verbindung keine Kraftübertragung statt. Die Materialeigenschaften dieses Quaders werden aus dem Produkt der Materialeigenschaften der Schraube und dem Querschnittsverhältnis zwischen Schraube und Quader gebildet. Die Größe des Quaders richtet sich nach der verwendeten minimalen Elementgröße in der Diskretisierung der Struktur. In den dargestellten Arbeiten hat der Quader somit eine Querschnittsfläche von 1 cm × 1 cm.

Die in Abschn. 2 beschriebene Struktur wurde innerhalb der FEM Umgebung COMSOL entsprechend Abb. 5 modelliert und wie in Abb. 6 dargestellt diskretisiert. Abgesehen von der Schraubenmodellierung sind keine Vereinfachungen hinsichtlich der tatsächlichen Geometrie getroffen worden.

Abbildung 6 zeigt das resultierende Netz innerhalb der FEM Umgebung in der Einstellung „normal“, dass zur Berechnung der Unbekannten in allen Berechnungsschritten (Spannungsverteilung in der Struktur aufgrund der Schraubenvorspannung, Verschiebung der Struktur und Druckverteilung im Fluid aufgrund des Einfallenden Schallfelds). In Table 6 sind die unterschiedlichen Einstellungen der verwendeten Berechnungsgitter dargestellt, die für die anschließende Netzsensitivitätsanalyse herangezogen werden.

Zur Validierung wurden Messdaten herangezogen die in dem Projekt „Schall.Holz.Bau“ [5] gewonnen wurden. Im Rahmen des Projektes wurde untern anderem der Einfluss des Schraubenabstandes auf das Schalldämmaß von Holzleichtkonstruktionen untersucht. Das frequenzabhängige Schalldämmaß entsprechend EN ISO 10140-2:2020 der in Abschn. 2 beschriebene Struktur wurde dabei in einem Fensterprüfstand gemessen. Abbildung 7 und 8 zeigt den Vergleich von Messung und Berechnung des frequenzabhängigen Schalldämmmaßes für die Schraubenabstände 177 mm und 355 mm. Im tiefen Frequenzbereich <100 Hz sind insbesondere mit dem Schraubenabstand von 177 mm Abweichungen von bis zu 10 dB zu erkennen. Da das Schalldämmmaß in diesem Frequenzbereich bei der dieser Konstruktion wesentlich von den Einbaubedingungen abhängt wird vermutet, dass die Abweichung, mit der in der Simulation nicht exakt nachgebildeten Montagesituation begründet werden kann. Für weitere Untersuchungen in diesem Frequenzbereich wird vorgeschlagen, dass Montagebedingungen gewählt werden, die zwar von den angewendeten Normvorgaben abweichen, aber in numerischen Simulationen exakter abbildbar sind. Im Frequenzbereich >100 Hz bis 400 Hz stimmen für beide Schraubenabstände die beiden Kurvenverläufe sehr gut überein und die Abweichungen sind kleiner als 2 dB. Der Vergleich in Abb. 7 zeigt, den Einfluss des Schraubenabstandes im Frequenzbereich um 500 Hz. In [4] wurde gezeigt, dass diese Unterschiede durch Beeinflussung des Abstrahlgrades und der Unterdrückung von Eigenmodenformen der Platte erklärbar sind. Diese Phänomene begründen den Einbruch bei 500 Hz und können offensichtlich nicht exakt, mit Abweichungen von bis zu 6 dB, durch das Modell abgebildet werden. Über 500 Hz ist das Modell sehr gut in der Lage den Kurvenverlauf des Schalldämmmaßes nachzuvollziehen. Auch der deutlich erkennbare Koinzidenzeinbruch ist in der Simulation mit Abweichungen zu den Messergebnissen von <4 dB sehr gut zu erkennen.

Abbildung 8 zeigt den Vergleich des einzahlbewertenden Schalldämmmaßes der Messung (Schraubenabstand 177 mm) und der Berechnung entsprechend Abschn. 3.2 mit unterschiedlichen Modellen für die Schraubverbindung zwischen Platte und Steher. Einer der größten Einflussparameter der Verbindung zwischen Steher und Platte ist der Schraubenabstand [4]. Damit ist auch in der dargestellten Untersuchung erklärbar, dass die Modelle, die den Schraubenabstand und die Schraubenposition berücksichtigen („Modell“ und „Punkt“) die beste Übereinstimmung zwischen Messung und Berechnung besitzen. Weiters ist zu erkennen, dass das in Abschn. 3 vorgestellte Modell, inklusive Berücksichtigung des Schraubenanzugsmoments, die geringste Abweichung von ca. 3 dB im Einzahlbewerteten Schalldämmmaß aufweist.

Abbildung 9 zeigt den Vergleich der ermittelten Differenz zwischen dem gemessenen und berechneten frequenzabhängigen Schalldämmmaß. Die Berechnungen wurden mit den in Abschn. 3.2 beschriebenen unterschiedlichen Schraubenmodellen durchgeführt. Der Vergleich zeigt, dass die große Abweichung zwischen Modell- und Messergebnis im Frequenzbereich <100 Hz nur geringfügig durch die Art des Modells der Schraubverbindung beeinflusst wird. Womit bekräftigt werden kann, dass in diesem Bereich die Montagebedingungen des Prüfkörpers im Prüfstand hier der wesentlicher Einflussgeber ist, der in der Simulation aufgrund der Komplexität nicht korrekt wiedergegeben werden konnte. Oberhalb von 100 Hz zeigt das Modell, außer in dem bereits diskutierten Frequenzbereich um 500 Hz, eine sehr gute Übereinstimmung von 0 dB – 4 dB zu den Messdaten. Über den gesamten Frequenzbereich ist zudem zu beobachten, dass das vorgestellte Modell zu Abbildung der Schraubverbindungen die geringste Abweichung zu den Messergebnissen mit durchschnittlich 3 dB aufweist.

Um die Auswirkungen dreier wichtiger Parameter, die das Schalldämmmaß einer Leichtbaukonstruktion beeinflussen, auf die Simulationsergebnisse zu untersuchen wurde eine Parameterstudie für die Montagebedingung, das dynamische E-Modul des Plattenwerkstoffes und des Strömungswiderstandes des Dämmstoffes durchgeführt. Abbildung 10 zeigt die Berechnungsergebnisse des Simulationsmodells mit unterschiedlichen Randbedingungen an den Plattenrändern zur Abbildung der Montagesituation. Gut erkennbar ist, dass mit steigender Steifigkeit der Randbedingung das Schalldämmmaß im Frequenzbereich <100 Hz steigt. Dieses Verhalten ist in der Ligatur durch Messungen [4] bestätigt worden und wird durch das Modell plausibel abgebildet. Oberhalb von 100 Hz findet kaum eine Beeinflussung des Schalldämmmaßes durch die Randbedingung statt.

Abbildung 11 vergleicht die unterschiedlichen Berechnungsergebnisse mit variierenden dynamischen E-Modul des Plattenwerkstoffs (2000 N/mm² – 6000 N/mm²). Erkennbar ist, dass sich der Koinzidenzgrenzfrequenz f_c mit steigendem E-Modul in Richtung höhere Frequenzen verschiebt. Diese Verschiebung ist plausibel und kann mittels folgenden Ausdrucks auch nachvollzogen werden: Durch die Veränderung der Biegesteifigkeit der Platte wird neben der Lage der Konzidenzgrenzfrequenz im Spektrum auch die Steifigkeit des gesamten Wandsystems beeinflusst. Das ist vorallem im Bereich <100 Hz erkennbar. Hier hat der Wandaufbau mit der größten Steifigkeit das höchste Schalldämmmaß.

In Abb. 12 ist der Einfluss des Dämmstoffes im Berechnungsmodell dargstellt. Es werden Materialeigenschaften von drei im Bauwesen typischen Dämmstoffen (Mineralwolle, Steinwolle, EPS) verglichen. Erkennbar ist, dass sich der Masse-Feder-Masse Resonanzeinbruch im Bereich von 50-200 Hz mit der aus den Materialeigenschaften resultierenden Steifigkeit im Frequenzspektrum verschiebt. Hierbei liegt der Einbruch bei der Variante mit dem steifesten Dämmstoff (EPS) am höchsten im betrachteten Spektrum. Oberhalb dieses Einbruchs findet nur eine geringfügige Beeinflussung durch den Dämmstoff statt. Nur die EPS Variante (34000 Pa⋅s/m²; 115 kg/m³) zeigt im Bereich des Koinzidenzeinbruchs eine Erhöhung des Schalldämmmaßes. Dieses Verhalten ist mit derzeitigem Wissensstand nicht erklärbar. Literaturergebnisse zeigen bei Doppelschaligen Wänden mit steifen Dämmmstoffen zu Hohlraumbedämpfung eher eine verschlechterung des Schalldämmmaßes oberhalb der Masse-Feder-Masse Resonanz. [30]

Aufgrund der Modellkomplexität bei Finiten Elemente Modellen stellt sich stets die Frage nach dem Zusammenhang zwischen Berechnungsaufwand und zu erwartenden Fehler. Der Berechnungsaufwand hängt stark mit der Anzahl der zur Diskretisierung der Berechnungsdomänen verwendeten Elemente zusammen. Dieser Zusammenhang ist in Abb. 13 dargestellt. Ab ca. 80000 Elementen und einer damit minimalen Elementgröße von 0.03 cm in der Plattenebene (in Plattendickenrichtung wurden stets 3 Elemente verwendet) ist keine weitere Reduktion der Differenz zwischen Mess- und Berechnungsergebnis zu beobachten. Die Berechnungszeit steigt in dem Betrachteten Bereichs der Feinheit der Diskretisierung linear mit der Anzahl der Elemente an.

Zu der mit höherer Elementanzahl zunehmenden Berechnungszeit kommt in dem beschriebenen Modell hinzu, dass das auf das Bauteil einfallende Schallfeld durch eine Überlagerung einer endlichen Summe von Ebenen unkorrelierten Wellen beschrieben wird. Der Berechnungsaufwand dieser Summe stellt somit eine weitere Berechnungszeit beeinflussende Größe dar. Der Zusammenhang zwischen Anzahl der Wellen, also Summanden in der Summe in Abschn. 3.2, und des mittleren Fehlers je Terzband (Differenz zwischen Messung und Rechnung) ist in Abb. 14 dargestellt. Es ist zu erkennen, dass ab 500 überlagerten Wellen kaum noch eine Verringerung des mittleren Fehlers zu erzielen ist. In Abb. 15 ist zu erkennen, dass die Steigerung der Anzahl der Wellen fast ausschließlich im Frequenzbereich <200 Hz auswirkt.

Ein weiterer Parameter, der das Berechnungsergebnis beeinflusst ist, der Seed mit dem der Zufallszahlengenerator die Winkel und Phasen der einfallenden ebenen Wellen bestimmt. Die dadurch erzeugten pseudo Zufallszahlen besitzen mit jedem sich änderten Seed einen anderen Startwert. Der Einfluss der Variation des Seeds und der damit generierten unterschiedlichen Sets an überlagerten Ebenen Wellen auf das Berechnungsergebnis ist in Abb. 16 dargestellt. Durch das große Verhältnis von Schallwellenlänge zu Bauteilgeometrie ist wie erwartet die Variabilität durch verändertes auf das Bauteil einfallendes Schallfeld bei tiefen Frequenzen <200 Hz größer als bei hohen Frequenzen.