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Über dieses Buch

Claudia Alfes-Neumann behandelt in diesem essential Anwendungen der Theorie der Modulformen und ihre Bedeutung als grundlegende Werkzeuge in der Mathematik. Diese – zunächst rein analytisch definierten – Funktionen treten in sehr vielen Bereichen der Mathematik auf: sehr prominent in der Zahlentheorie, aber auch in der Geometrie, Kombinatorik, Darstellungstheorie und der Physik. Nach der Erläuterung notwendiger Grundlagen aus der komplexen Analysis definiert die Autorin Modulformen und zeigt einige Anwendungen in der Zahlentheorie. Des Weiteren greift sie zwei wichtige Aspekte der Theorie rund um Modulformen auf: Hecke-Operatoren und L-Funktionen von Modulformen. Den Abschluss des essentials bildet ein Ausblick auf reell-analytische Verallgemeinerungen von Modulformen, die in der aktuellen Forschung eine bedeutende Rolle spielen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Dieses essential handelt von Modulformen und ihrer Bedeutung als fundamentale Werkzeuge in der Mathematik. Diese – zunächst rein analytisch definierten – Funktionen treten in sehr vielen Bereichen der Mathematik auf: Sehr prominent in der Zahlentheorie, aber auch in der Geometrie, Kombinatorik, Darstellungstheorie und der Physik.
Claudia Alfes-Neumann

Kapitel 2. Grundlagen der komplexen Analysis

Zusammenfassung
Wir beginnen dieses essential mit einer kurzen Wiederholung einiger Aussagen aus der komplexen Analysis. Hierbei wird der Fokus auf holomorphe Funktionen gelegt. Insbesondere geben wir Resultate an, die für die Einführung von Modulformen relevant sind.
Claudia Alfes-Neumann

Kapitel 3. Modulformen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir zunächst die Operation der Modulgruppe auf der oberen komplexen Halbebene vor und betrachten einen Fundamentalbereich zu dieser Operation. Danach führen wir Modulformen ein und betrachten den von ihnen erzeugten Vektorraum.
Claudia Alfes-Neumann

Kapitel 4. Konstruktion von Modulformen und Beispiele

Zusammenfassung
In diesem Kapitel konstruieren wir Beispiele für Modulformen. Wir definieren zunächst Eisensteinreihen, die als Bausteine für den Vektorraum der Modulformen festen Gewichts dienen. Zudem legen wir den Fokus auf Anwendungen der Theorie der Modulformen in der Zahlentheorie und geben einige Beispiele an.
Claudia Alfes-Neumann

Kapitel 5. Weitere Aspekte der Theorie

Zusammenfassung
Wir beleuchten kurz zwei wichtige Aspekte der Theorie der Modulformen. Wir führen lineare Operatoren auf dem Raum der Modulformen ein, die sogenannten Hecke-Operatoren. Zudem definieren wir ein inneres Produkt für diese Räume. Ein zweiter Aspekt ist die Betrachtung von L-Funktionen von Spitzenformen. Hierbei gehen wir auch kurz auf die Verbindung zu elliptischen Kurven ein.
Claudia Alfes-Neumann

Kapitel 6. Verallgemeinerungen

Zusammenfassung
Abschließend betrachten wir kurz Modulformen halbganzen Gewichts und reell-analytische Verallgemeinerungen von Modulformen. Wir betrachten dabei klassische Maaßformen, die schon Mitte des 20. Jahrhunderts von Maaß eingeführt wurden sowie eine jüngere Klasse reeell-analytischer Modulformen, sogenannte harmonische schwache Maaßformen.
Claudia Alfes-Neumann

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