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Erschienen in:

2012 | OriginalPaper | Buchkapitel

17. Monitoring von Prognoseverfahren

verfasst von : Ulrich Küsters, Janko Thyson, Claudia Büchl

Erschienen in: Prognoserechnung

Verlag: Physica-Verlag HD

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Zusammenfassung

Frühwarnsysteme (Monitore) spielen in allen Bereichen der Betriebswirtschaftslehre und der Wirtschaftsinformatik eine wichtige Rolle, umkürzlich eingetretene, aber noch nicht diagnostizierte Entwicklungen und Ereignisse, die für ein Unternehmen von Bedeutung sind, möglichst präzise und frühzeitig zu erkennen. Frühwarnsysteme dienen damit aus betriebswirtschaftlicher Sicht vor allem dem Zweck, mithilfe geeigneter Maßnahmen rechtzeitig auf neue Entwicklungen zu reagieren.

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In instationären ARIMA-Modellen kann man deterministische Trendänderungen durch eine Niveauverschiebung des Driftparameters der ersten Differenzen modellieren und damit auch diagnostizieren.

In Bayesianischen Dynamischen Linearen Modellen (BDLM [95]) werden beim Monitoring von Varianzen nur Erhöhungen betrachtet, da diese zu einer Reduktion der Prognosegenauigkeit führen. Volatilitätssenkungen werden hingegen üblicherweise ignoriert.

Die Schätzung kann in Verbindung mit dem Monitoring zu Problemen führen, da einige theoretische Konzepte (z. B. Trigg's Monitor, siehe Abschnitt 17.3.2) zumindest in der Grundform eine Identität der potenziell unterschiedlichen Glättungsparameter im Monitor- und Prognosemodell unterstellen. Darüber hinaus führt eine Schätzung bei Zeitreihen mit Strukturbrüchen oft zu hohen Glättungsparameterschätzern, die im Rahmen der Planung eine hohe Planungsunruhe verursachen.

Alle zeitreihenbasierten Prognoseverfahren sowie die zugehörigen Monitore müssen mithilfe geeigneter Startwerte initialisiert werden. Bei der oben beschriebenen exponentiellen Glättung benötigt man etwa einen Startwert für das Niveau \(L_{{0}}\) in \(t=0\), um die Rekursionsformeln anwenden zu können. Typische Startwerte bei der einfachen exponentiellen Glättung sind etwa \(L_{{0}}=y_{{1}}\) oder \(L_{{0}}=\bar{y}\), wobei die Komplexität und Vielfalt dieser Startwertroutinen mit wachsender Methodenkomplexität ebenfalls zunimmt. Startwertalgorithmen sind fast immer methoden- und programmspezifisch, sodass auf die entsprechende Literatur verwiesen wird (siehe z. B. [15, 37, 38, 45, 58] und [95]).

McClain [67] unterscheidet hier für den Fall eines fehlenden Ausreißers (äquivalent einem Ausreißer der Stärke null) zwischen zwei ARLs: ARL1 bezeichnet die durchschnittliche Länge zwischen zwei Fehlalarmen, während ARL2 die durchschnittliche Länge zwischen einem Bezugspunkt und einem Fehlalarm beschreibt. Zwischen beiden ARLs können sich Unterschiede in der Größenordung bis zu 100 Prozent ergeben! Die in diesem Abschnitt angegebene Definition von Gardner [36] stimmt mit der ARL2 überein.

Dieses Problem wurde auch durch diverse Arbeiten in der Literatur thematisiert. McKenzie [68] leitet etwa eine Korrektur der Monitorstatistiken von Batty [9] für verallgemeinerte exponentielle Glättungsmodelle mit additiven Komponenten her. Allerdings unterstellen auch diese und vergleichbare Arbeiten einschränkende Annahmen hinsichtlich des zugrundeliegenden DGP. Darüber hinaus werden Approximationen für Quotienten von stochastisch abhängigen Zufallsvariablen verwendet, die letztlich nur eine Approximation der Varianzen, nicht aber eine exakte Herleitung der Verteilung der Monitorstatistiken ermöglichen.

So unterstellt z. B. Trigg [92], dass die Zeitreihe durch \(y_{{t}}=L_{{t}}+a_{{t}}\) abgebildet wird, wobei \(a_{{t}}\) eine Folge stochastisch unabhängiger, identisch normalverteilter Zufallsvariablen mit konstantem Mittelwert 0 und konstanter Varianz \(\sigma^{{2}}\) ist, d. h. \(a_{{t}}\sim N(0,\sigma^{{2}})\). In diesem Fall würde man als optimalen Schätzer aber nicht den statistisch ineffizienten exponentiell geglätteten Mittelwert \(L_{{t}}\), sondern den Mittelwert über alle Beobachtungen \(\bar{y}\) als effizienten Schätzer wählen. Der exponentiell geglättete Mittelwert \(L_{{t}}\) hingegen ist ein optimaler Schätzer für einen ARIMA(0,1,1)-Prozess, in dem stochastische Abhängigkeiten vorliegen [74]. Residuen von ARIMA(0,1,1)-Modellen weisen bei korrekter Spezifikation allerdings die Eigenschaften einer Folge stochastisch unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen auf, sodass der Monitor \(T_{{t}}\) auf diese Residuen anwendbar ist.

Der unten im Rahmen der Ausreißerdiagnostik skizzierte Ansatz von Bai [4] zur Diagnose von LS verzichtet auf eine Identifikation der Modellordnung und kann daher zumindest konzeptionell auf lineare Modelle und damit auch auf die additiven exponentiellen Glättungsmodelle angewendet werden.

Die Anwendung des Kalman-Filters beschränkt sich nicht auf Strukturkomponentenmodelle. In der modernen Zeitreihenanalyse werden zahlreiche andere Modelle, unter anderem auch ARIMAX-Modelle mithilfe einer Zustandsraumrepräsentation über den Kalman-Filter geschätzt, da dieser unter anderem eine einfache Berücksichtigung fehlender Beobachtungen erlaubt [49].

Die Erweiterung der Diagnostik auf saisonale SARIMAX-Modelle mit saisonalen Differenzenbildungen und exogenen Variablen ist ohne Probleme möglich, wird in diesem Beitrag wegen der umfangreicheren Notation aber nicht behandelt.

Eine einfache, wenn auch theoretisch nicht begründete Lösung besteht darin, nur die über die statistische Erwartung hinausgehenden Ausreißer nach abnehmender Stärke zu inspizieren. Generiert der Monitor im oben angegebenen Beispiel etwa 15 Signale, so wäre nach diesem Ansatz nur eine Inspektion der fünf stärksten Ausreißer erforderlich.

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Titel: Monitoring von Prognoseverfahren
verfasst von: Ulrich Küsters
Janko Thyson
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Buch: Prognoserechnung
Print ISBN: 978-3-7908-2796-5

Electronic ISBN: 978-3-7908-2797-2

Copyright-Jahr: 2012
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7908-2797-2_17

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