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03.03.2018 | Ausgabe 3/2018

Journal of Scientific Computing 3/2018

Monotone Mixed Finite Difference Scheme for Monge–Ampère Equation

Zeitschrift:
Journal of Scientific Computing > Ausgabe 3/2018
Autoren:
Yangang Chen, Justin W. L. Wan, Jessey Lin

Abstract

In this paper, we propose a monotone mixed finite difference scheme for solving the two-dimensional Monge–Ampère equation. In order to accomplish this, we convert the Monge–Ampère equation to an equivalent Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) equation. Based on the HJB formulation, we apply the standard 7-point stencil discretization, which is second order accurate, to the grid points wherever monotonicity holds, and apply semi-Lagrangian wide stencil discretization elsewhere to ensure monotonicity on the entire computational domain. By dividing the admissible control set into six regions and optimizing the sub-problem in each region, the computational cost of the optimization problem at each grid point is reduced from \(O(M^2)\) to O(1) when the standard 7-point stencil discretization is applied and to O(M) otherwise, where the discretized control set is \(M\times M\). We prove that our numerical scheme satisfies consistency, stability, monotonicity and strong comparison principle, and hence is convergent to the viscosity solution of the Monge–Ampère equation. In the numerical results, second order convergence rate is achieved when the standard 7-point stencil discretization is applied monotonically on the entire computation domain, and up to order one convergence is achieved otherwise. The proposed mixed scheme yields a smaller discretization error and a faster convergence rate compared to the pure semi-Lagrangian wide stencil scheme.

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