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Erschienen in:

2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. More Distributional and Path-Related Properties

verfasst von : Andreas E. Kyprianou

Erschienen in: Fluctuations of Lévy Processes with Applications

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Abstract

We consider some more distributional and path-related properties of general Lévy processes. Specifically, we examine the strong Markov property, duality, moments and exponential change of measure.

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As we shall see later, this is a phenomenon which is not exclusive to compound Poisson processes with strictly negative drift. The same behaviour is experienced by, for example, Lévy processes of bounded variation with strictly negative drift.

It is worth reminding oneself, for the sake of clarity, that \(X_{t_{n}}\rightarrow X_{t}\) \(\mathbb{P}\)-a.s. as n↑∞ means that, for all ε>0, there exists an almost surely finite N>0 such that \(|X_{t_{n}} - X_{t}|<\varepsilon\) for all n>N. This does not contradict the fact that there might be an infinite number of discontinuities in the path of X in an arbitrary small neighbourhood of t.

In the case that β<0, simply consider the forthcoming argument for −X. For β=0 the statement of the theorem is trivial.

As noted just after Definition 1.1, we are making an abuse of notation in the use of the measure \(\mathbb{P}\) here. Strictly speaking, we should work with the measure \(\mathbb{P}\times \mathcal{P}\), where \(\mathcal{P}\) is the probability measure on the space in which the random variable e _q is defined. This abuse of notation will be repeated at various points throughout this text.

Bingham, N.H. (1975) Fluctuation theory in continuous time, Adv. Appl. Probab. 7, 705–766. CrossRefMATHMathSciNet

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Feller, W. (1971) An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol II. 2nd Edition. Wiley, New York. MATH

Titel: More Distributional and Path-Related Properties
verfasst von: Andreas E. Kyprianou
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Fluctuations of Lévy Processes with Applications
Print ISBN: 978-3-642-37631-3

Electronic ISBN: 978-3-642-37632-0

Copyright-Jahr: 2014
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-37632-0_3