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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

8. Navigation mit Filtern

verfasst von : Prof. Dr. Rüdiger Seydel

Erschienen in: Höhere Mathematik im Alltag

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Eine Positionsbestimmung beruht auf mehreren Messungen, die ein mehr oder weniger einheitliches Bild geben können. Wegen Ungenauigkeiten und Messfehlern sind die Ergebnisse im Allgemeinen nicht eindeutig. Deswegen muss ein Messergebnis berechnet werden, das einen möglichst geringen Fehler aufweist und so mit hoher Wahrscheinlichkeit ein sinnvolles Ergebnis aus den Daten herausfiltert. Solche Methoden heißen „Filter“.

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Fußnoten
1
oder Straße mit zu beobachtendem Lastwagen, oder ...
 
2
Wenn es mehr als drei Messungen gibt, resultieren auch mehr Schnittpunkte, und nicht nur ein Dreieck. Um das Wesentliche herauszufiltern, bleiben wir hier bei drei Messungen.
 
3
\(\Vert u \Vert _{2}^{2}:= \sum _{j=1}^{m} u_{j}^{2} =u^{tr}u\,\) wobei \(^{tr}\) die Transposition bedeutet: \(u^{tr}\) ist Zeilenvektor; siehe auch Kap. 6.
 
4
\(\varSigma :={\mathsf {E}}(uu^{tr}) -{\mathsf {E}}(u) ({\mathsf {E}}(u))^{tr}\), wobei \({\mathsf {E}}(u)\) den Erwartungswert der Zufallsvariablen u bezeichnet. Typischerweise wird Normalverteilung angenommen, und \({\mathsf {E}}(u)=0\).
 
5
Ein \(\sigma _{j}=0\) würde bedeuten, dass diese Gleichung fehlerfrei ist, und abgespalten werden kann.
 
6
Das Gleichungssystem kann schlecht konditioniert sein, deswegen Lösung zum Beispiel mit orthogonalen Transformationen.
 
7
Nun ja, mit Handrechnung bzw. Taschenrechner mühsam, aber eine gute Übung. Soviel Stellen wie hier angegeben, braucht man nicht, dies soll nur einen besseren Vergleich ermöglichen für die Programmierer. (Ergebnisse gerundet)
 
Literatur
Bryson, A.E., Ho, Y.-C.: Applied Optimal Control. Optimization, Estimation, and Control. Ginn and Company, Waltham (1969)
Crassidis, J.L., Junkins, J.L.: Optimal Estimation of Dynamical Systems. Chapman & Hall, Boca Raton (2011)
Kalman, R.E.: A new approach to linear filtering and prediction problems. J. Basic Eng. 82(1), 35–45 (1960)
Strang, G.: Introduction to Applied Mathematics. Wellesley-Cambridge Press, Wellesley (1986)
Metadaten
Titel
Navigation mit Filtern
verfasst von
Prof. Dr. Rüdiger Seydel
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Höhere Mathematik im Alltag

Print ISBN: 978-3-662-64048-7

Electronic ISBN: 978-3-662-64049-4

Copyright-Jahr: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64049-4_8