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Über dieses Buch

Der vorliegende Band ist der vierte Band mit "Neuen Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht". Er enthält eine Sammlung von aktualisierten und überarbeiteten Beiträgen zur Istron-Schriftenreihe aus den letzten 25 Jahren, die uns als besonders fruchtbar und anregend erschienen, als „Best of“ dieser Schriftenreihe.

Seit 1991 gibt es eine deutschsprachige ISTRON-Gruppe, die das Ziel verfolgt, Modellierungen und Realitätsbezüge in den (all-)täglichen Mathematikunterricht zu integrieren. Die ISTRON-Gruppe gibt seit dieser Zeit eine Schriftenreihe mit Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht heraus. Diese Reihe richtet sich an Mathematiklehrende an Schulen und Hochschulen, aber auch an Studierende und Dozierende in der Weiterbildung. Die Beiträge zeigen, wie man mathematische Anwendungen und Modellierungen im alltäglichen Mathematikunterricht implementieren kann. Es werden interessante, relevante und aktuelle Themen aufgegriffen, für den Unterricht aufbereitet und lernerorientiert dargestellt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Zum Lehren und Lernen des mathematischen Modellierens – eine Einführung in theoretische Ansätze und empirische Erkenntnisse

Der Beitrag führt in knapper Form in zentrale theoretische Ansätze und in wichtige Ergebnisse empirischer Studien zum Lehren und Lernen von mathematischem Modellieren ein, mit einem Schwerpunkt auf dem deutschsprachigen Bereich. Zu Beginn wird anhand eines ausführlichen Beispiels das typische Kreislaufschema des mathematischen Modellierens entwickelt. Dann werden die mit solchen Beispielen verfolgten Ziele diskutiert. Zentral für Modellierungsprozesse sind die damit verbundenen Modellierungskompetenzen, die entlang des Modellierungskreislaufes beschrieben werden. Da Modellieren komplexe kognitive Prozesse verlangt, treten häufig Schwierigkeiten von Lernenden beim Modellieren auf, die im Einzelnen benannt werden. Nach der Darstellung einschlägiger Unterrichtskonzeptionen und möglicher Lehrerinterventionen schließt der Beitrag mit einem Ausblick auf Aktivitäten zur Förderung von Realitätsbezügen und Modellieren im Mathematikunterricht.
Werner Blum, Gabriele Kaiser

Die materialminimale Milchtüte – eine tatsächliche Problemstellung aktueller industrieller Massenproduktion

Die marktübliche 1-Liter-Milchtüte mit quadratischer Grundfläche wird auf optimalen, hier: minimalen Materialverbrauch untersucht. Dabei werden alle Herstellungsbedingungen der realen Milchtüte – wie Klebekanten u. ä. – berücksichtigt. Die 1-Liter-Milchtüte und die 0,5-Liter-Milchtüte liegen in ihren Abmessungen sehr nahe beim optimalen Wert. Die gemeinsame Optimierung der beiden Verpackungen liefert Überraschendes.
Als typisches Extremwertproblem (mit numerischer Nullpunktbestimmung) passt die Reihe in den Analysisunterricht. Dargestellt werden einschlägige Unterrichtskonzeptionen und mögliche Lehrerinterventionen, die mit zugehörigen empirischen Ergebnissen dargestellt werden.
Der Beitrag schließt mit einem Ausblick zu Aktivitäten zur Förderung von Realitätsbezügen und Modellieren im Mathematikunterricht.
Heinz Böer

Auto, Bahn, oder … ? Empfehlungen für die Urlaubsreise

Mehr als 20 Jahre nach Erscheinen des ersten Istron-Bandes ist die Frage „Mit welchem Verkehrsmittel fahren wir in den Urlaub?“ nach wie vor aktuell. In dem 1992 erschienenen Beitrag „Auto oder Bahn? Empfehlungen für die Urlaubsreise“ wurde ein Unterrichtsvorhaben vorgestellt, in dem sich die Schülerinnen und Schüler ausgehend von dieser Frage mit vielen Aspekten unseres Verkehrssystems auseinandersetzten. Nach einer Einstiegsphase, in der die Lernenden mit Daten zu Kriterien für die Verkehrsmittelwahl (Kosten, Umwelt, Sicherheit) anhand vorgegebener Materialien arbeiteten, untersuchten Kleingruppen Anreisemöglichkeiten zu verschiedenen Urlaubsorten in Deutschland und gaben schließlich Empfehlungen „Auto oder Bahn?“ für 1–4 Reisende ab. Die Empfehlungen aller Gruppen wurden zu einer Broschüre zusammengestellt.
Michael Katzenbach

Zebrastreifen, Artikelnummern und Prüfziffern – Informatik-Mathematik ganz ohne Computer

Neue Techniken haben in unserem Alltag Einzug gehalten – zu deren Verständnis spielen mathematische Überlegungen eine wichtige Rolle. Eine Unterrichtseinheit ab Klasse 6, bei der es – so ganz nebenbei – viel zu überlegen und (im Kopf!) zu rechnen gibt.
Wilfried Herget

Gebirgsbahnen – ein Anwendungsfeld für den Mathematikunterricht

Während man heute die Alpen in kurzer Zeit mit Hilfe zum Beispiel des Gotthard-Basistunnels unterqueren kann, war der Bau von Gebirgsbahnen zur Alpenüberquerung eine Meisterleistung des 19. Jahrhunderts. Welche mathematischen Fragen ergeben sich beim Bau von Eisenbahnen im Gebirge? Der vorliegende Unterrichtsvorschlag beantwortet diese Frage. Von Anwendungen der Prozentrechnung bis zu Berechnungen am Kreis reichen die mathematischen Aktivitäten, die sich aus dem Thema Gebirgsbahnen ergeben. Eine Unterrichtseinheit für das 8. bis 10. Schuljahr wird vorgestellt.
Ingo Weidig

Die Geometrie des Lederfußballs – ein Optimierungsproblem

Die geometrische Form des Lederfußballs in ihrer Entwicklung in den letzten 50 Jahren wird analysiert. Dabei erweisen sich unterschiedliche Formen als geeignet. Entweder sind die Bälle direkte Realisate archimedischer Körper, oder zumindest handelt es sich bei ihrer Symmetriestruktur um eine der drei platonischen Bewegungsgruppen. Ein Kurzbericht über eine ideale und eine reale Unterrichtseinheit ist beigefügt. Das Thema ist ein Beispiel für angewandte Geometrie, die i. W. ohne Rechnen auskommt.
Peter Bender

Modellbildungen zum Kugelstoßen

In diesem Beitrag wird zunächst die Beschreibung der Kugelbahn anhand des (bekannten) parabolischen Modells mit den Ergebnissen empirischer Untersuchungen zum Kugelstoß-Wettbewerb der Männer bei den Olympischen Spielen 1972 in München konfrontiert. Die Diskrepanzen motivieren zu einer neuen Modellbildung mit Berücksichtigung des Luftwiderstands. Diese Modellbildung erfolgt in mehreren Schritten: reale Modellannahmen, physikalische und mathematische Modellierung, numerische und analytische Behandlung. Das zweite Modell ermöglicht eine genaue numerische und auch analytische Beschreibung der Kugelbahn, über die sehr interessante Erkenntnisse gewonnen werden können.
Peter Bardy

AIDS – Was ist von einem positiven Test-Ergebnis zu halten?

AIDS-Tests finden mit hoher Zuverlässigkeit Infizierte unter den Untersuchten und klassifizieren mit hoher Sicherheit Nicht-Infizierte als solche. Trotzdem hat ein positives Testergebnis bei einem Test eine hohe Fehlerquote. Der Sachverhalt wird hier aufgeklärt und die Durchführung eines zweiten Tests begründet. Die Unterrichtsreihe wurde im Stochastikunterricht der Klasse 10 und der Oberstufe durchgeführt.
Heinz Böer

Stunden im Stau – eine Modellrechnung

Wer hat nicht schon einmal im Stau gestanden? Als Ausgangspunkt dienen konkrete Schülererfahrungen und die täglichen Staumeldungen in den verschiedensten Medien. Berechnet wird hier näherungsweise die Anzahl an Personen in einem Stau bestimmter Länge. Diese Problemstellung wird arbeitsteilig von den Schülern einer 7. Klasse (auch in einer 6. oder 8. Klasse denkbar) angegangen, die einzelnen Teile, z. B. durchschnittliche Autolänge, durchschnittlicher Abstand im Stau, werden mit Hilfe von konkreten Untersuchungen in ihrem täglichen Umfeld schrittweise gelöst und anschließend zusammengetragen. Wir stellen im Folgenden ein Unterrichtsvorhaben Stau auf der Autobahn vor, wobei wir zugleich die Erfahrungen und Ergebnisse einflechten, die sich in unserem Unterricht ergeben haben. Diese sind natürlich nicht als Vorgaben zu betrachten, sondern als ein möglicher Weg und Ausgang des Vorhabens.
Thomas Jahnke

Nutzung von Mathematik im Erfahrungshorizont von Schülerinnen und Schülern – Ideen und Beispiele für Anwendungsbezüge im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I

Anliegen dieses Beitrages ist es, Erfahrungen zu vermitteln und Antworten zu geben auf folgende Fragen: Was an Anwendungsbezügen lässt sich wie im Mathematikunterricht erfolgreich umsetzen und unter welchen Voraussetzungen?
Regina Bruder

Änderungsraten als Zugang zu den zentralen Begriffen und Resultaten der Analysis

Es wird eine anwendungsorientierte Einführung in die Differential- und Integralrechnung beschrieben, bei der ein ganzheitlicher, problemorientierter Ansatz die Grundidee der Änderungsrate als ein adäquater Zugang zu den wesentlichen Begriffen der Analysis dargelegt wird. Bei diesem Weg ergibt sich die zentrale Aussage des Hauptsatzes „wie von selbst“. Die hier vorgestellten Zugänge über Änderungsraten bzw. Rekonstruktionen sind durch die Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife besonders aktuell und vor allem auch abiturrelevant.
Hans-Wolfgang Henn

Das „Benford-Gesetz“ – warum ist die Eins als führende Ziffer von Zahlen bevorzugt?

Der „Original-Aufsatz“ (gleichen Titels) in Band 6 aus dem Jahr 2000 enthält bei den mathematischen Erklärungen viele maßtheoretische Aspekte. Diese sind zwar elementarer Natur, aber eben doch Maßtheorie. Dies soll in diesem Aufsatz vermieden werden, weil Maßtheorie kaum mit Schulunterricht kompatibel ist. Das Anliegen dieses Aufsatzes ist zu zeigen, wie eine elementarmathematische Begründung des populären Benford-Gesetzes auch auf Schulniveau möglich ist. Eine außermathematische Anwendung des prima vista vielleicht höchst theoretisch scheinenden Gesetzes wurde durch Mark Nigrini realisiert, der mittels dieses Gesetzes Steuersündern auf die Spur gekommen ist. Internationale Konzerne und Finanzbehörden interessieren sich mittlerweile für die Software von M. Nigrini.
Hans Humenberger

Einfache Paradoxien der beschreibenden Statistik

Dieser Aufsatz variiert den Satz „Wer lokal gewinnt, kann global verlieren“ auf vielfältige Weise. So, wie verschiedene Modelle die Welt auf verschiedene Weisen beschreiben und reduzieren, kann auch die Reduktion von Daten in der beschreibenden Statistik auf ganz unterschiedliche Art und Weise geschehen, je nachdem, welche Aspekte man für relevant hält. Durch viele Beispiele wird erläutert, dass im Begriff „besser“ (bzw. in „gut“) eine Reduktion steckt und dass „besser“ keine absolute Bedeutung hat. Die Alltagsvorstellung von „besser“ erweist sich in vielen Bereichen als unangemessen.
Jörg Meyer

Eine realitätsorientierte Einführung des Funktionsbegriffs

Bei der Behandlung des Koordinatensystems stellt sich die Frage, ob man zunächst das Koordinatensystem theoretisch einführen soll, damit die Lernenden dann eine gewisse Sicherheit bei der Umsetzung der Messreihen in Diagrammen haben, oder ob man das Koordinatensystem ad hoc während der Untersuchung der Messreihen behandeln kann. Im Beitrag werden in der 7. Klasse statt der „theoretischen Einführung des Koordinatensystems“ den Lernenden Diagramme in die Hand gegeben, diese zu lesen und interpretieren, womit sie auf einfache und interessante Weise vieles über Koordinatensysteme, Darstellung im Koordinatensystem, Funktionen usw. erfahren.
Johannes Schornstein

Modellbildung mit Exponentialfunktionen

Meist werden im Mathematikunterricht zuerst die mathematischen Objekte und Theorieelemente bereitgestellt, bevor dann Anwendungen behandelt werden. Hier wird am Beispiel der Behandlung von Exponentialfunktionen ein Weg beschrieben, wie Modellbildungsprozesse und Prinzipien von Modellbildung die Leitlinie für die Behandlung eines Standardthemas darstellen können. Ausgangspunkt und Zentrum sind durchweg konkrete Bearbeitungen von Schülerinnen und Schülern.
Henning Körner

Die Mathematik der Bildverarbeitung

Mit dem Boom der digitalen Fotografie wurde auch die digitale Bildbearbeitung mit Programmen wie Photoshop, Gimp, Paintshop u. ä. eine Massenaktivität. Smartphones haben die Flut der Bilder weiter vergrößert und Plattformen wie Instagram bieten Bildverarbeitungseffekt gewissermaßen kostenlos an. Mit der Mathematik hinter den digitalen Bildern versteht man also einen Teil unserer technisierten Welt, und mit ein paar Programmzeilen kann man auch Dinge ausprobieren, die in den fertigen Programmen unmöglich sind. In diesem Sinne werden in diesem Aufsatz die mathematischen Grundlagen der Bildbearbeitung dargestellt und gezeigt, wie sie zur Grundlage eigener Handlungen werden können.
Reinhard Oldenburg

Meinen Bogen setze ich in die Wolken

Die wunderschöne Erscheinung eines Regenbogens, auf den das Bibelzitat der Titelzeile hinweist, wird in vielen Mythen und Märchen beschrieben. Die Erstellung eines mathematischen Modells für die Entstehung des Regenbogens ist ein sehr gutes Beispiel für den Modellkreislauf von der realen Situation zum Realmodell, Mathematisierung, Arbeit am mathematischen Modell mit Hilfe einer dynamischen Geometriesoftware, Rückübersetzung in die Realität mit Vorhersage für die zur Diskussion stehende Situation und die Validierung des Modells durch das „experimentum crucis“.
Hans-Wolfgang Henn

Schülerinnen und Schüler entwickeln eine „Radarfalle“ – Entdeckender Mathematikunterricht als Beitrag zur Verkehrssicherheit

Schülerinnen und Schüler sind als TeilnehmerInnen am Straßenverkehr leider Gefahren ausgesetzt. Immer wieder werden sie Opfer in Verkehrsunfällen. Neben vielen anderen Maßnahmen wie Ampeln, Beschilderungen, Zebrastreifen etc. kann auch Mathematikunterricht einen Beitrag zu weniger Unfällen leisten. Mathematik hilft, Geschwindigkeiten von Autos realistisch einschätzen zu können. Insbesondere in der Nähe der Schule können auch ganz konkrete Informationen gesammelt werden, die zur Sicherheit beitragen, etwa: Wie lange fährt ein PKW mit 50 km/h von jenem Haus bis zum Zebrastreifen vor dem Schultor? Wenn ein PKW näher als jener Baum am Straßenrand ist und mit 50 km/h oder mehr fährt, kann er auf keinen Fall mehr vor dem Zebrastreifen anhalten. Im Bezug auf weitergehende Lehrziele sollen eigenständiges Lernen, Gruppenarbeit, Projektarbeit und Reflexion der eigenen Arbeit gefördert werden. Kurz: Es geht um Modellierungskompetenz.
Jürgen Maaß

Mathematik aus der Zeitung – Anregungen für den Mathematikunterricht

„In Mathe wird gerechnet!“ – ja, aber nicht nur und nicht immer! Wir möchten zeigen, dass die Zeitung eine wahre Mathematik-Fundgrube sein kann – für eine kritisch-konstruktive Auseinandersetzung mit Darstellungen, Vorstellungen, Argumenten, Zahlen und Figuren. Die hier vorgestellten Zeitungsausschnitte motivieren und regen zum kritischen Denken an, tragen die Mathematik bereits in sich, bilden so eine attraktive und lebendige Brücke zwischen der Mathematik und „dem Rest der Welt“, zeigen: Mathematik kommt vor! Typisch dabei ist, dass nicht das Rechnen im Zentrum steht, sondern vielmehr die Schritte vor und nach dem Rechnen: „Here is a situation. Think about it!“ (Henry Pollak).
Wilfried Herget, Dietmar Scholz

Der Porsche 911 – Mathematisches Modellieren für Anfänger

Dieser Aufsatz skizziert zunächst, warum mathematische Modellierungen in den Unterricht der Sekundarstufe I integriert werden sollten. Anschließend wird ein Modellierungsbeispiel vorgestellt, das in Klasse 6 oder 7 behandelt werden kann und sich auch für die Ersteinführung von Modellierungen eignet: Die Berechnung des Lackverbrauchs beim Porsche 911. Ein Beispiel für eine Klassenarbeit sowie ein Bewertungsschema ermöglichen den Einsatz im „alltäglichen“ Unterricht.
Katja Maaß

Mathematisch Modellieren lernen – ein Beispiel aus der Integralrechnung

In diesem Beitrag wird eine Unterrichtssequenz im Rahmen der Integralrechnung vorgestellt, die von einem authentischen Problem ausgehend die Arbeit mit unterschiedlichen mathematischen Modellen in den Mittelpunkt stellt. Besonders das Analysieren und Beurteilen dieser Modelle steht dabei im Mittelpunkt des Unterrichts. Abschließend werden darüber hinaus Konsequenzen für den Alltag entwickelt.
Gilbert Greefrath

Können Hunde optimieren? – Der schnellste Weg ins Wasser und seine mathematischen Modellierungen

Ein ungewöhnliches Erlebnis eines Hundebesitzers führt auf die Frage: Wenn ein Hund einen ins Wasser geworfenen Gegenstand apportiert, findet er tatsächlich immer den optimalen Weg – eine ideale Kombination aus „an der Wasserlinie entlang laufen“ und „schwimmen“? Der Beitrag analysiert das Problem mathematisch, schlägt verschiedene Herangehensweisen im Unterricht vor und stellt Fragen nach einer Erklärung der erstaunlichen Fähigkeit des Tieres.
Timo Leuders

Die Kabeltrommel „re-revisited“

Das Modellierungsbeispiel „Kabeltrommel“ wurde erstmals im Jahre 2002 in Mathematik lehren veröffentlicht. Im ISTRON-Band 12 erschien 2008 der Artikel „Die Kabeltrommel »revisited«“, der weitergehende unterrichtliche Erfahrungen und daraus resultierende zusätzliche Aspekte zur „Kabeltrommel“ aufnahm, die sich als nützlich erwiesen haben. Dieser Artikel im „Best of ISTRON“ Band schließlich stellt eine „sanfte Überarbeitung“ des ISTRON-Artikels von 2008 dar, ergänzt um Literatur und weitere Erfahrungen mit der Kabeltrommelaufgabe in Lehrendenfortbildungen und universitären Lehrveranstaltungen.
Frank Förster

Eine Modellierungsaufgabe zum Thema „Optimale Auslastung von Flugzeugen”

Im vorliegenden Artikel wird eine Modellierungsaufgabe präsentiert, die bei einer Modellierungswoche von Schüler/ innen gemeinsam mit Lehrenden bearbeitet wurde. Ziel dieser Aufgabe war es, aus realen Daten einer österreichischen Fluglinie ein so genanntes Overbooking- Management-System zu entwickeln. Ein solches System soll der Fluglinie zu jedem Zeitpunkt angeben, wie viele Flugtickets sie in den einzelnen Buchungsklassen anbieten soll. Wir werden den gut durchdachten und vor allem durchaus erfolgreichen Lösungsweg der Schüler/innen, welcher auf ein lineares Optimierungsproblem führt, verfolgen und Erweiterungsmöglichkeiten für dieses Problem vorstellen. Abschließend geben wir einen Kommentar aus fachdidaktischer Sicht.
Christoph Ableitinger, Simone Göttlich, Thorsten Sickenberger

Fußball EM mit Sportwetten

Ein besonderes Ereignis im Sport wie eine Fußball-Europa- oder Weltmeisterschaft löst oft bei vielen Menschen, die sich sonst weniger um diesen Sport kümmern, erhöhtes Interesse oder sogar Begeisterung aus. Der hier vorgelegte Vorschlag für eine Unterrichtseinheit im realitätsbezogenen Mathematikunterricht will auf der einen Seite diese Motivation für den Mathematikunterricht nutzen und auf der anderen Seite den Schülerinnen und Schülern durch eine realitätsnahe Übung zu Sportwetten helfen, zu erkennen, weshalb im Durchschnitt der Wettanbieter gewinnt und die Wettenden oft viel Geld verlieren. Einschlägige Untersuchungen zeigen, dass gerade bei Wetten im Internet bereits Kinder als Zielgruppe von besonderem Interesse sind. Außer elementarer Mathematik, wie Prozentrechnung, Schlussrechnung bzw. Dreisatz werden noch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung benötigt, um vertiefte Überlegungen zu Gewinnerwartungen zu modellieren.
Hans-Stefan Siller, Jürgen Maaß
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