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Über dieses Buch

Mathematik und Realität sind eng miteinander verbunden: Einerseits hilft Mathematik bei der Bewältigung von Problemen in der Realität, andererseits helfen Realitätsbezüge auch der Mathematik bzw. dem Unterricht (Motivation, Sinnfrage, Merkfähigkeit, Vermitteln eines ausgewogenen Bildes etc.). In bewährter Weise ist diese Verbindung zwischen Realität und Mathematik im vorliegenden ISTRON-Band konstitutiv, das Modellieren wird hier von vielen verschiedenen Seiten beleuchtet.

Dieser Band enthält Beiträge von Fachdidaktiker*innen an Universitäten sowie von Lehrkräften und Fachleiter*innen. Die Fragestellungen werden dabei primär inhaltlich und unterrichtspraktisch behandelt, weniger theoretisch-wissenschaftlich. Der Band richtet sich also vor allem an die Praxis des Unterrichts bzw. der Aus- und Weiterbildung. Beispiele der angebotenen Themen reichen von Schulgärten und Populationsgenetik über Lebensversicherungen und die Veranschaulichung großer Zahlen bis hin zu Google-Maps-Bildern bzw. Flugzeugschatten und sogar der kühnen Idee eines Weltraumliftes. Auch die Schulstufen sind breit gestreut – das Niveau der vorgestellten Modellierungsaufgaben reicht von der frühen Sekundarstufe 1 bis zur späten Sekundarstufe 2.

In insgesamt 14 Beiträgen zu Anwendungen und Modellierungen für den alltäglichen Mathematikunterricht werden interessante und im Unterricht gut umsetzbare Themen vorgestellt. Damit bereichert dieser Band den Unterricht vieler Lehrkräfte und hilft, die oft von Lernenden gestellte Frage „Wozu sollen wir das denn lernen?“ zu beantworten.

Zielgruppen:

Mathematiklehrerinnen und -lehrer der SekundarstufenLehrende in der Fort- und Weiterbildung für LehrkräfteStudierende des Lehramts Mathematik ab dem 1. SemesterLehrende der Mathematik und ihrer Didaktik an Hochschulen

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Populationsgenetik – von Gregor Mendel bis Mutation und Selektion

Zusammenfassung
Populationsgenetik ist ein wichtiges Teilgebiet der Biomathematik. Die bekannten Versuche mit Erbsen durch den Augustinermönch Gregor Mendel waren ein Meilenstein im Verständnis der Vererbung von Merkmalen. Wenn Mutation und Selektion keine Rolle spielen, gilt das berühmte Hardy-Weinberg-Gesetz, das ein Gleichgewicht der Genotyphäufigkeiten schon ab der 1. Tochtergeneration beschreibt. Wenn Mutation und Selektion berücksichtigt werden, kommen einfache Rekursionsgleichungen ins Spiel. Für den Mathematikunterricht bietet sich die Modellierung all dieser Konzepte an. Schüler*innen können dabei erfahren, dass ihre mathematische Beschreibung mit einfachen Mitteln möglich ist. Der vorliegende Artikel will zeigen, wie und mit welchem Ziel einfache populationsgenetische Modelle auch im Schulunterricht behandelt werden können. Dabei spielen Interpretationen und anschauliche (insbesondere grafische) Realisierungen des Iterationsprozesses mit einem Tabellenkalkulationsprogramm eine zentrale Rolle. Besonders interessiert man sich für die Beurteilung des Langzeitverhaltens – welches Erbmerkmal kann sich auf Dauer durchsetzen?
Christoph Ableitinger

Die immer wiederkehrende Idee eines Weltraumliftes

Zusammenfassung
Eine Liftkabine wird an ein Kabel montiert, das einen Punkt des Äquators mit einem geostationären Satelliten in ca. 36.000 km Höhe verbindet. Kann das überhaupt funktionieren? Die Idee klingt zunächst völlig verrückt, jedoch geben teure Machbarkeitsstudien der NASA Anlass zum Zweifel an der Absurdität. Für die Prüfung der Realisierbarkeit eines solchen Vorhabens sind im Rahmen dieser Studien eine Menge an Berechnungen und Modellierungen notwendig. Darunter lassen sich auch authentische realitätsbezogene Aufgaben für den Mathematikunterricht finden, wie z. B.: Wie lange dauert eine Fahrt? Wie wird das Liftkabel nach oben gebracht? Was passiert, wenn man aus der Liftkabine fällt? Mit diesem Aufsatz möchten wir aufzeigen, dass das Thema Weltraumlift immer wieder in unterschiedlichen Schulstufen ein Anlasspunkt für Modellierungen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe sein kann.
Christian Dorner, Bernd Thaller

„Mathematik im Schulgarten“ – Anlässe für fächerverbindenden und anwendungsorientierten Mathematikunterricht in der Sek. I

Zusammenfassung
Ein Schulgarten bietet Möglichkeiten, Mathematik und Biologie sowie weitere naturwissenschaftliche Fächer zu interdisziplinärem Lehren und Lernen zu verbinden. Ausgangspunkt sind für uns übliche Aktivitäten im Schulgarten, wie das Anlegen und Bepflanzen von Beeten oder Beobachtungen von Tieren und Pflanzen, die Unterrichtsthemen der Biologie und Mathematik gleichermaßen ansprechen. Die zentralen Abschnitte des Beitrags behandeln exemplarisch: i) mit „Bienen“ ein aktuelles und attraktives Thema für Schüler*innen und die Vielfältigkeit der Verzahnung von mathematischer und biologischer Modellbildung; ii) wie „Bäume, Beete und Teiche“ eingesetzt werden können, um Standardthemen des Mathematikunterrichts anwendungs- und handlungsorientiert zu unterrichten; iii) anhand von weiteren „Pflanzen im Schulgarten“, wie biologische Themen den Mathematikunterricht darüber hinaus an- und bereichern können.
Frank Förster, Konstantin Klingenberg

Lebensversicherungen im Mathematikunterricht als Beitrag zur Verbraucherbildung

Zusammenfassung
Das Thema Lebensversicherungen bietet Potenzial, Wirtschaftskontexte und Mathematik im Unterricht zu verknüpfen. Es können Kenntnisse im Bereich der Verbraucherbildung zu Versicherungen vermittelt werden, die künftig jede Schülerin und jeden Schüler betreffen werden. Zudem können mathematische Modellierungskompetenzen gefördert werden, indem elementare Finanzmathematik (Zinseszinsen, Barwerte, Äquivalenzprinzip) und stochastische Modelle (Sterbetafeln, Erwartungswerte) als wesentliche Grundlage zur Berechnung von Versicherungsprämien genutzt werden.
Nach der Berechnung von Zinseszinsen etwa bei der Modellierung von Wachstumsprozessen kann das Thema im Unterricht in zwei Doppelstunden kurz angerissen werden. Hierzu können Tabellenkalkulationsdateien oder Taschenrechnerdateien vorgegeben werden, an denen die Schülerinnen und Schüler Modelle variieren, auch eine Beschränkung auf einfachere Risikolebensversicherungen ist möglich. Das Thema bietet darüber hinaus jedoch vielfältige Erweiterungsmöglichkeiten mit unterschiedlichen Schwerpunkten: Verbraucherbildung, Finanzmathematik (Rentenrechnung, Modellierung von Darlehen), Nutzung digitaler Mathematikwerkzeuge, Variation von Realkontexten, Validierung verwendeter Modelle und Ergebnisse.
Gerd Hinrichs

Erkundungen und Abschätzungen bei Google-Maps-Bildern

Zusammenfassung
Dieser Beitrag beschäftigt sich mit der Möglichkeit, bei Google-Maps-Bildern einige interessante Informationen herauszufinden, z. B. Aufnahmezeit und -datum. Das kann man bei allen Bildern machen, bei denen man Schatten von Gebäuden, Bäumen, Säulen etc. („Objekten“) sieht. Hierbei spielen das so genannte Äquatorsystem und das Horizontsystem der Himmelskugel eine wichtige Rolle. Manchmal findet man mit Glück in der Nähe frequentierter Flughäfen auch Aufnahmen mit Flugzeugen knapp vor der Landung oder knapp nach dem Abheben. Wenn man so etwas entdeckt, stellt sich die Frage, ob man mathematisch begründet abschätzen kann, wie hoch das Flugzeug gerade fliegt. Die Antwort ist „ja“, und es werden einige Möglichkeiten dafür aufgezeigt, dabei spielt u. a. das Konzept der Ähnlichkeit im Raum eine wichtige Rolle.
Hans Humenberger

EU-Mathematik

Zusammenfassung
In der Europäischen Union wurde bislang kein mathematisches Verfahren beschlossen, nach dem den einzelnen Mitgliedsländern ihre Sitzzahl im EU-Parlament zugeordnet wird. Einigkeit besteht, dass diese Zuordnung nach dem Grundsatz der degressiven Proportionalität erfolgen soll. Wir unterbreiten drei Vorschläge für Verfahren, die dies tun.
Thomas Jahnke

Modellieren im Schulbuch – wie geht das?

Zusammenfassung
Mit der konstitutiven Integration prozessbezogener Kompetenzen in den Kerncurricula der „Nach-Pisa-Zeit“ stellt sich die Frage, wie Prozesse adäquat in Schulbüchern integriert werden können. Der Aufsatz legt dar, wie Modellieren in einem Schulbuch in spiralcurricularer Weise durchgehend in die Jahrgänge eingebaut werden kann. So sollte es einerseits Basiswissen (Wissenspeicher, Merkkästen) nicht nur zu Inhalten, sondern auch zu Prozessen geben, andererseits muss für Schülerinnen und Schüler erlebbar werden, dass es bei Prozessen wesentlich um eine Einstellung und Haltung zu Mathematik und Welt geht und weniger um einen additiven Inhalt. Im Hintergrund wirkt immer, dass die Konzeption von Schulbüchern zwei manchmal antagonistisch wirkende Aspekte berücksichtigen muss. Es sollen und müssen kognitionstheoretische und fachdidaktische Erkenntnisse umgesetzt und berücksichtigt werden, aber auch institutionelle Rahmenbedingungen, Gewohnheiten und tradierte Vorlieben.
Henning Körner

Wie viel kostet es, vertrauliche Papierunterlagen fachgerecht schreddern zu lassen?

Zusammenfassung
Das fachgerechte Entsorgen einer größeren Menge sensibler Papierdokumente im privaten Haushalt und die damit verbundenen Kosten stellen eine reale Problemstellung dar. Ab einer gewissen Menge Unterlagen, bei der es aus zeitlichen und praktischen Gründen nicht mehr sinnvoll erscheint, diese mit dem eigenen Papierschredder sicher zu vernichten, stellt sich die Frage: Wie entsorge ich die Unterlagen möglichst einfach und schnell? So geht es in diesem Artikel darum, welche Kosten mit einem fachgerechten Schreddern von Papierunterlagen durch eine Firma verbunden sind. Diese Aufgabe kann innerhalb der Sekundarstufe I in unterschiedlichen Klassenstufen durchgeführt werden. Für die Bearbeitung dieser authentischen Fragestellung sind diverse Fähigkeiten und Kenntnisse seitens der Lernenden erforderlich, da sie unterschiedliche mathematische Inhalte vernetzen und anwenden müssen. Ein durchgeführtes realitätsbezogenes, differenziertes Unterrichtsbeispiel zeigt diese inhaltliche Umsetzung auf.
Andreas Kuch

Einige einfache Modelle zum Populationswachstum von Sperbern

Zusammenfassung
In diesem Aufsatz werden wohlbekannte Wachstumsmodelle (exponentielles und logistisches Wachstum) auf reale Daten einer Sperberpopulation angewendet. Feinheiten ergeben sich durch das Arbeiten mit gerundeten ganzzahligen Werten, die aus der geforderten Realitätsnähe resultieren. Außerdem wird ein wichtiger Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen Modellen für Wachstum reproduziert. Abwechselnd werden Simulationen mit einer Tabellenkalkulation analytischen Beschreibungen gegenübergestellt und miteinander verglichen. Die Schülerinnen und Schüler sollen lernen, eine gegebene Information schrittweise immer besser mathematisch zu modellieren. Durch die verschiedenen Berechnungen zum Wachstum erlangen sie zudem Erfahrungen mit exponentiellen, logistischen und anderen Wachstumsmodellen. Wir danken Dr. Helmut Steiner (Linz) für die biologische Beratung.
Jürgen Maaß, Stefan Götz, Elena Zanzani

Zur anlasslosen Massenüberwachung

Zusammenfassung
In diesem kurzen Aufsatz geht es darum, dass die Struktur der anlasslosen Massenüberwachung die gleiche ist wie bei medizinischen Massentests, bei denen die Gesamtbevölkerung auf das Vorhandensein einer bestimmten Krankheit untersucht wird, und dass daher bei der Massenüberwachung die gleichen Probleme auftreten wie bei den Medizintests. Dazu kommt, dass alle Parameter nur Schätzwerte mit einem großen Unsicherheitsbereich sind. Hat man im Unterricht die unten geschilderte Aufgabe zu Krankheitstests behandelt, so bietet es sich an, das Verfahren auf andere Bereiche zu übertragen, und man kann mit minimalem Aufwand die Probleme, die sich bei einer einfachen anlasslosen Massenüberwachung ergeben, deutlich machen.
Jörg Meyer

Wie Rationalität verschwinden kann

Zusammenfassung
Mathematik ist die Wissenschaft von Mustern und Strukturen. Zu ihrer Anwendung gehört, eine gleichartige Struktur in unterschiedlichen Kontexten zu identifizieren. In diesem kurzen Beitrag handelt es sich um gleich gebaute Beispiele, bei denen innere Konsistenz und damit Rationalität durch Mehrheitsbildung verschwinden kann.
Jörg Meyer

Big data – small school

Oder: Likert-Skalen, Kaufempfehlungen, soziale Netzwerke, das Skalarprodukt und all das
Zusammenfassung
Die Verbindung von Konzepten der elementaren linearen Algebra (small school) mit Computational Thinking ermöglicht realistische Einblicke in die Arbeitsweise von Daten-Unternehmen im Internet und darüber hinaus (big data). Zentral ist die mathematische Beurteilung von Ähnlichkeit auf deren Basis Klassifikationen durchgeführt werden können.
Reinhard Oldenburg

Entwicklung von Modellierungsaufgaben unter Rückgriff auf das Webportal „MathCityMap“ in einem fachdidaktischen Seminar für Lehramtsstudierende

Zusammenfassung
Modellierungsaufgaben für einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht zu entwickeln, erfordert ein hohes Maß an fachdidaktischer Kompetenz (bspw. in Form von Wissen über Typen von Modellierungsaufgaben, Wissen über Entwicklung und Gestaltung dieser und Wissen über Schüler*innenlösungsprozesse), welche auch im Rahmen der Ausbildung bei Lehrkräften explizit aufzubauen ist. Damit darüber hinaus solche selbstentwickelten Aufgaben im Kontext fortschreitender Digitalisierung von Schule – wenn inhaltlich gewinnbringend – auch digital-gestützt in Unterricht implementiert werden können, bedarf es bei angehenden Lehrkräften ebenso der Entwicklung von Kompetenzen zur Umsetzung digital-gestützten Lehrens und Lernens in Schule (bspw. in Form von Wissen über die digitale Aufbereitung und Bereitstellung von Aufgaben sowie über die Nutzbarkeit und Bedienung von digitalen Lehr-Lern-Formaten). An der Schnittstelle beider Zieldimensionen von Lehrkräftebildung setzt das in diesem Beitrag vorgestellte fachdidaktische Seminar „Realitätsbezüge im Mathematikunterricht“ an: Von Mathematik-Lehramtsstudierenden werden Modellierungsaufgaben entwickelt und als mathematische Spaziergänge digital für das Webportal „MathCityMap“ (Das Webportal „MathCityMap“ ist ein Projekt der Goethe-Universität in Frankfurt aus dem Jahr 2012. Mit der Idee des Mathtrails werden hierin explizit Modellierungsaufgaben in so genannte „mathematische Spaziergänge“ eingebettet (Gurjanow u. a., 2019). Das Webportal ist online abrufbar unter: https://​mathcitymap.​eu/​de/​ [letzter Abruf: 08.06.2020].) aufbereitet. Ergebnisse dieser Entwicklungsarbeit werden im Beitrag aufgezeigt und diskutiert sowie rückblickende Reflexionen von Studierenden zu deren subjektiv wahrgenommenen Lernprozessen dargestellt.
Anna-Katharina Poschkamp, Robin Göller, Michael Besser

Große Zahlen anschaulich machen – (k)eine Kunst?

Zusammenfassung
Mit großen Zahlen umzugehen ist nicht nur ein technisches Problem – wenn es sich nicht um abstrakte Zahlen, sondern um große Maßzahlen konkreter Objekte handelt, sollte man auch gewisse Vorstellungen damit verbinden können. Mehr oder weniger gelungene Versuche zur Veranschaulichung großer Zahlen findet man reichlich in diversen Medien. Einige Beispiele werden in diesem Beitrag analysiert, um auf dieses Problem der „Alltagsmathematik“ aufmerksam zu machen, denn offensichtlich haben solche Themen auch ihre Berechtigung im Mathematikunterricht, wenn sie an passenden Stellen eingebracht werden. Es geht hier um das Verstehen von Zahlen; auch dazu sind, wie sich zeigt, mathematische Fertigkeiten unverzichtbar, aber die „nichtalgorithmischen“ Aspekte stehen im Vordergrund.
Berthold Schuppar
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